Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость+1−1115+1Для построенной разностной схемы решение на ( + 1)-м слое находитсяявно, поэтому и рассматриваемая разностная схема называется явной:+1 = + (− 2 + +1) + , = 1, ( − 1),ℎ2 −1{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), = 0, .Представленные явные формулы позволяют утверждать, что решение разностной схемы(4) – (6) существует и единственно, значит, мы получили положительный ответ на вопрос 2.Перейдем к исследованию оставшихся вопросов. Как мы уже упоминалив главе «Интерполирование и приближение функций», существует два подхода к измерению близости точного решения задачи (1) – (3) (непрерывнойфункции) и численного решения задачи (4) – (6) (сеточной функции):1. Спроектировать непрерывную функцию (, ) на дискретное пространство и измерять близость функций (, ) и в норме дискретногопространства.2.
С помощью интерполирования восполнить функцию до непрерывнойи сравнивать рассматриваемые функции в пространстве непрерывныхфункций.В этом курсе будем пользоваться первым подходом. Под проекцией функции (, ) непрерывных аргумнтов (, ) будем понимать сеточную функцию = ( , ), определенную в узлах сетки ℎ . Обозначим через точноезначение решения (, ) дифференциальной задачи (1) – (3) в узле ( , ).Определение.Сеточная функция вида = ( , ) = − , ( , ) ∈ ℎназывается погрешностью решения разностной схемы (4) – (6).(7)116Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиВыразим = + и подставим это выражение в разностную схему.Получим систему уравнений для , аналогичную разностной схеме, но с нулевыми краевыми условиями и нулевой начальной функцией: − 2 + +1+1 − = −1+ ,ℎ2+1= 0,0+1 = 0 = 0,( , ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ .(8)(9)(10)Здесь =−1 − 2 + +1 +1− −+ ,ℎ2(11)Сеточная функция, задаваемая равенством (11) называетсяпогрешностью аппроксимации разностной схемы (4) – (6) на решении исходной задачи.(︀)︀2Задача.
Доказать, что = O + ℎ .Определение.Решение. Здесь и далее ( , ) ∈ ℎ , = 0, , = 0, . Далее всюдупри использовании формулы Тейлора будем предполагать, что разлагаемаяфункция обладает нужной гладкостью, то есть имеет непрерывные производные до соответствующего по ходу разложения порядка.Разложим ( , +1 )в узле ( , ) по формуле Тейлора:( , +1 ) = +1= ( , ) + ′ ( , ) + ( 2 ).Разложим (+1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора:11(+1 , ) = +1 = ( , )+′ ( , )ℎ+ ′′ ( , )ℎ2 + ′′′( , )ℎ3 +(ℎ4 ).26 Разложим (−1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора :11(−1 , ) = −1 = ( , )−′ ( , )ℎ+ ′′ ( , )ℎ2 − ′′′( , )ℎ3 +(ℎ4 ).26 Полученные разложения подставим в формулу(11)(︀)︀ и после приведения по2добных слагаемых получим оценку = O + ℎ .§2.
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость117Введем норму в пространстве сеточных функций на -м слое, = 0, :‖ ‖ = max | |.066Мы рассматриваем решение разностной задачи по слоям, поэтому нет необходимости вводить норму как максимум модуля для всех слоев.Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) обладает достаточной гладкостью (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда для сходимости решения разностной схемы (4) – (6) к решению исходной задачи (1) –(3) в норме ‖·‖ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:Теорема.=6 0.5.ℎ2При этом условии, выполняется оценка:⃦⃦ +1(︀)︀⃦− +1 ⃦ 6 1 + ℎ2 , = 0, 1, .
. .где 1 > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.Докажем, что выполнения условий теоремы достаточнодля сходимости разностной схемы к решению исходной задачи.Запишем выражение для +1 в виде(︀ )︀+ +1+ +1 = (1 − 2) + −1Доказательство.и оценим левую часть равенства по модулю с учетом условия 1 − 2 > 0.Тогда получим⃒ +1 ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒(︀⃒ ⃒ ⃒ ⃒)︀⃒ + ⃒+1 ⃒ + ⃒ ⃒.⃒⃒ 6 (1 − 2) ⃒ ⃒ + ⃒−1Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующих векторов. При таком переходе правая часть неравенства можеттолько увеличиться:⃒ +1 ⃒⃒⃒ 6 (1 − 2) ‖ ‖ + 2‖ ‖ + ‖ ‖ .Полученное неравенствоверно⃒ +1⃒ для всех = 0, , а значит, оно выполнено и⃒для максимального из⃦ ⃦⃒.
Следовательно, можно заменить левую частьнеравенства на норму ⃦ +1 ⃦ , и, с учетом приведения подобных слагаемых,будем иметь‖ +1 ‖ 6 ‖ ‖ + ‖ ‖ .118Глава IV . Разностные методы решения задач математической физики⃦⃦Получили рекуррентную оценку для нормы ⃦ +1 ⃦ . Из этой оценки вытекает неравенство:∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ + ⃦ ⃦ .=0Как показано выше из предположений о гладкости (, ) следует оценка⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 + ℎ2 ,где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.
Учитывая, что⃦ 0⃦⃦ ⃦ = 0,∑︁ = +1 6 ,=0получим окончательную оценку:⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦ 6 1 + ℎ2 , 1 = .⃦(12)Здесь константа 1 не зависит от и ℎ.Из данной оценки следует, что при → 0, ℎ → 0⃦⃦⃦ +1 ⃦⃦ = ⃦ +1 − +1 ⃦ → 0.⃦Следовательно, решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи. Наличие оценки (12) означает, что разностная схема (4) – (6) имеет первый порядок точности по и второй — по ℎ.Перед тем, как доказать необходимость, введем понятие устойчивости разностной схемы. Для разностной схемы (4) – (6) c нулевыми краевыми условиями, получим задачу, совпадающую с (8) – (10). После проведения оценок,аналогичных показанным выше, получим∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦0 ⃦ +⃦ ⃦ .=0Полученное неравенство можно записать в виде:⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦0 ⃦ + 1 ⃦ ⃦ ,где константа 1 = не зависит от и ℎ.Эта априорная оценка означает устойчивость решения разностной схемыпо начальным условиям и правой части уравнения.§2.
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость119Перейдем к доказательству необходимости. Рассмотрим однородное уравнение относительно : − 2 + +1+1 − ,= −1ℎ2где = 0, ( − 1), = 1, ( − 1).Покажем, что при нарушении условия теоремы появятся неограниченныевозрастающие гармоники — функции вида = ℎ , где 2 = −1, , ℎ ∈ R, ∈ C.(13)Подставим выражение (13) в рассматриваемое относительно однородное уравнение и выразим :)︁(︁ℎ = 1 + ℎ − 2 + −ℎ = 1 + 2 (cos ℎ − 1) = 1 − 4 sin2.2чтоПредположим, что > 0.5. Тогда найдутся (например =1 − 4 sin2ℎ)такие,ℎ< −1,2и || > 1. Тем самым, неограниченно возрастает при → ∞, и о сходимостиговорить не приходится.Следовательно, если условие теоремы нарушено, то решение разностнойсхемы не будет сходиться к решению исходной задачи.Разностные схемы могут сходиться условно (и быть условно устойчивыми) и абсолютно.
Условная сходимость определяется наличием ограничений на шаги сетки любого характера, для абсолютной сходимости требуется, чтобы такие ограничения отсутствовали. В приведеннойвыше теореме условие сходимости имеет вид ℎ2 6 0.5. Следовательно, явная разностная схема является условно сходящейся.Замечание 4.Важно помнить, что сходимость и устойчивость разностной схемы доказывается в конкретной норме. В данном параграфе доказана сходимость и устойчивость решений разностной схемы (4)– (6) в норме‖·‖ , которая является достаточно сильной нормой, а значит, обеспечивает более точную оценку, по сравнению, например, со среднеквадратичнойнормой.Замечание 5.120§3Глава IV .
Разностные методы решения задач математической физикиЧисто неявная разностная схема (схема с опережением). Погрешность, устойчивость, сходимостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]}, (1)2{︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе даннойглавы, на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) следующую разностную схему:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ( , +1 ),ℎ2{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ , (4)+1 ∈ , ∈ ℎ ,(5)(6)где = ( , ) — искомое численное решение в точке ( , ) ∈ ℎ .В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон вида−1+1+1Как видим, разностная схема является неявной, а именно, для получениярешения на (+1)-м слое необходимо решить трехточечное уравнение. В связи с этим возникает вопрос о разрешимости разностной задачи.
Покажем, чтоэта задача имеет единственное решение, и укажем алгоритм его нахождения.Выразим +1 из уравнения (4):(︀ +1)︀+1+1 = + −1− 2+1 + +1+ +1 ,§3. Чисто неявная разностная схема121где = ℎ2 , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .Перенесем слагаемые, относящиеся к ( + 1)-у слою, в левую часть уравнения и получим следующую систему уравнений относительно неизвестных −1{+1 }=1:{︃+1+1−−1+ (1 + 2) +1 − +1= + +1 , = 1, ( − 1),+10+1 = +1, = +1.12Эта система имеет трехдиагональную матрицу порядка ( − 1):⎛⎞1 + 2−0 ...00⎜ −1 + 2 − . . .00 ⎟⎟⎜⎜ ....... ⎟ ,.........=⎜ .. ⎟⎟⎜⎝ 000 .
. . 1 + 2− ⎠000 ...−1 + 2обладающую строгим диагональным преобладанием: >∑︁| | , = 1, ( − 1).=1̸=Матрицы со строгим диагональным преобладанием обладают свойствомневырожденности, поэтому || ̸= 0, и решение задачи (4) – (6) при каждомфиксированном существует и единственно. Так как матрица — трехдиагональная, разумно использовать метод прогонки для нахождения решениясистемы.
Этот метод является разновидностью метода Гаусса, адаптированной для матриц специального вида, и, в отличие от классического методаГаусса, требует числа действий O( ). Кроме того, так как рассматриваемаяматрица обладает строгим диагональным преобладанием, метод прогонки будет устойчивым, а значит, ошибки округления нарастать не будут.Введем сеточную функцию погрешности решения разностной схемы, равную разности приближенного и точного решений: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из последнего соотношения и подставив это выражение в разностную схему, с учетом линейности уравнения (4) получим уравнение для с нулевыми краевыми и начальным условиями:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ,ℎ2( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(7)122Глава IV .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
