Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Разностные методы решения задач математической физики{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,(8)+1 ∈ ,(9) ∈ ℎ ,где — погрешность аппроксимации на решении:+1+1+ +1+1− −1 − 2+1++ ( , +1 ).= ( , ) = −ℎ2Задача.Доказать, что(10)(11)(︀)︀ = O + ℎ2 .Для оценки погрешности воспользуемся нормой ‖·‖ в пространствесеточных функций на слое, которую мы ввели в предыдущем параграфе.Теорема.

Пусть функция (, ) имеет достаточную гладкость (четырераза дифференцируема по и два раза по ). Тогда чисто неявная разностнаясхема сходится к решению исходной задачи в норме ‖·‖ с первым порядкомточности по и вторым порядком точности по ℎ.Доказательство. Пусть 0 ∈ ℎ — узел, на котором достигается максимумпогрешности на ( + 1)-м слое:⃒ +1 ⃒⃒⃒ ⃦⃦⃒⃒ = max ⃒ +1 ⃒ = ⃦ +1 ⃦ .0066Для доказательства теоремы воспользуемся, фактически, принципом максимума. Запишем уравнение (7) относительно узла 0 :(︀)︀(1 + 2) +1= 0 + +1+ +1+ 0 ,00 −10 +1=> 0.ℎ2Оценим левую и правую части равенства по модулю с учетом того, что(1 + 2) > 0:⃒⃒ ⃒ ⃒⃒ ⃒⃒)︀⃒ ⃒(︀⃒⃒ 6 ⃒ ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ ⃒ .(1 + 2) ⃒+1−1+100000Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующих функций.

При таком переходе правая часть неравенства можеттолько увеличиться:⃒⃒ ⃦ ⃦⃦⃦⃦ ⃦⃒ 6 ⃦ ⃦ + 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .(1 + 2) ⃒+10§3. Чисто неявная разностная схема123⃒⃒⃒ =Так как по предположению ⃒+10имеет вид⃦⃦⃦ ⃦(1 + 2) ⃦ +1 ⃦ 6 ⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦⃦ , то полученное неравенство⃦⃦⃦ ⃦+ 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .Отсюда следует, что⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + ⃦ ⃦ .Из этого неравенства вытекает:∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ + ⃦ ⃦ .=0Учитывая, что начальная погрешность равна нулю, получаем оценку∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6⃦ ⃦ .=0Из (11) следует, что⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 + ℎ2 ,где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ, и∑︁ = +1 6 .=0Таким образом получим окончательную оценку:(︀)︀‖ +1 ‖ 6 1 + ℎ2 ,(12)где 1 = > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.

Устремив и ℎк нулю, получим:⃦⃦lim ⃦ +1 − +1 ⃦ = 0. →0ℎ→0Равенство предела разности нулю означает, что решение разностной схемысходится к решению исходной задачи.Наличие оценки (12) означает, что схема имеет первый порядок точностипо и второй — по ℎ. Чисто неявная схема является абсолютно сходящейсяразностной схемой, так как оценка (12) была получена без всяких ограничений на и ℎ.124Глава IV . Разностные методы решения задач математической физикиЗамечание.вияЕсли в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые усло+10+1 = = 0,то для можно вывести оценку, аналогичную полученной выше:∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦ .⃦ 6 ⃦0 ⃦ + ⃦=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво по начальному условию и по правой части уравнения.§4Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения.

Сходимость, устойчивость внорме 2 (ℎ )Рассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]}, (1)2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ],(2)(1, ) = 2 (),(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе даннойглавы на множествах и соответственно.Введем вторую разностную производную для дискретной функции =( , ), определенной на множестве ℎ :,= − 2 + −1+1.2ℎЭта производная является дискретным аналогом второй производной по функции (, ).Поставим в соответствие уравнению (1) его дискретный аналог в виде+1,+ ,+1 − =+ ( , + 1 ),22(︀)︀где ( , + 1 ) = , + 2 ∈ ℎ .2(4)§4. Симметричная разностная схема.

Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивостьв норме 2 ( )Определение.125Слой + 1 = +22называется полуцелым слоем.Добавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), ∈ ℎ .(5)(6)В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблонвида−1+1−1+1+1Заметим, что данная схема, с точки зрения нахождения численного решения, похожа на ту, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе, вчастности, матрица системы, соответствующей этой схеме, является трехдиагональной со строгим диагональным преобладанием. Это значит, что решениеразностной схемы (4) – (6) такой задачи существует, единственно и находитсяс помощью метода прогонки.Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получимзадачу относительно :+1,+ ,+1 − =+ , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,2{︃0+1 = 0+1 ∈ ,+1= 0,0 = 0,где ∈ ℎ ,(7)(8)(9)— погрешность аппроксимации на решении исходной задачи (1)–(3): = ( , ) = −+1+1− , + ,++ ( , + 1 ),22( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .(10)126Глава IV .

Разностные методы решения задач математической физикиЗадача.Доказать, что(11)(︀)︀ = O 2 + ℎ2 .Переходим к изучению вопросов сходимости и устойчивости разностнойзадачи (4)–(6).Рассмотрим вещественное пространство −1 сеточных функций , заданных на одномерной сетке ℎ , содержащей ( − 1) узел и обращающихсяв нуль на границе (0 = = 0).Значение функции ∈ −1 в -м узле сетки, = 1, ( − 1), обозначимчерез . Заметим, чтоdim −1 = − 1.Введем скалярное произведение и норму в пространстве −1 :(, ) =−1∑︁ ℎ, ‖‖2 (ℎ ) =(︃ −1∑︁=1)︃ 212 ℎ,, ∈ −1 ..(12)=1Заметим, что если взять значения сеточной функции , рассматриваемойна сетке ℎ , принадлежащие одному слою, пусть -ому, то эти значения образуют функцию , принадлежащую пространству −1 .

Тогда, если будетверна оценка⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦⃦6 2 + ℎ2 ,2 ( )ℎгде константa не зависит от и ℎ, то это будет означать сходимость рассматриваемой разностной схемы к решению исходной задачи в норме 2 (ℎ )со вторым порядком точности по и ℎ.Наряду с вещественным пространством −1 будем рассматривать гильбертово пространство 2 — линейное пространство функций, интегрируемыхс квадратом на интервале (0, 1):∫︁1 2 () < ∞.0Введем скалярное произведение и норму в пространстве 2 :∫︁1⎛∫︁1 ()(), ‖ ‖2 = ⎝(, ) =00⎞ 21 2 ()⎠ , (), () ∈ 2 .§4. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения.

Сходимость, устойчивостьв норме 2 ( )127Задача на собственные значенияРассмотрим задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля) дляфункции () ∈ 2 , обладающей достаточной гладкостью:⎧ 2⎨ + () = 0, ∈ (0, 1),(13)2⎩(0) = (1) = 0,причем () ̸≡ 0.Решениями данной задачи являются собственные значения и собственные функции (): = 2 2 , ∈ N,0 < 1 < 2 < .

. . < < . . . , = ̸= 0. () = sin(),Одним из свойств собственных функций задачи Штурма-Лиувилля являетсятот факт, что эти√функции образуют ортогональный базис пространства 2 .Положим = 2 и получим:√ () = 2 sin().Тогда функции { ()}∞=1 образуют ортонормированный базис в пространстве 2 :( , ) = .Значит, произвольную функцию ()∈2 можно разложить∑︀∞по базису { ()}∞:()=(),гдекоэффициенты = (, )=1 =1называются коэффициентами Фурье.Тогда справедливо равенство Парсеваля:‖ ‖22 =∞∑︁2 .=1Рассмотрим теперь разностный аналог задачи Штурма-Лиувилля для сеточной функции ∈ −1 :{︃, + ( ) = 0, ∈ ℎ , = 1, ( − 1),(14)0 = = 0,128Глава IV .

Разностные методы решения задач математической физикипричем () ̸≡ 0. Будем искать собственные функции в виде( ) = sin( ), ∈ R, = 1, ( − 1).Распишем уравнение (14) подробнее:+1 − 2 + −1+ = 0ℎ2и перенесем слагаемые, содержащие , в правую часть:(︀)︀+1 + −1 = 2 − ℎ2 , = 1, ( − 1).Очевидно, что+1 +−1 = ( +ℎ)+( −ℎ) = sin ( +ℎ)+sin ( −ℎ) = 2 sin( ) cos(ℎ).Следовательно,2 sin( ) cos(ℎ) = (2 − ℎ2 ) sin .sin( ) ̸= 0, так как собственные функции не могут быть нулевыми, значит(︂ )︂ℎ22 ℎ= 1 − cos ℎ = 2 sin.22Отсюда следует, что(︂ )︂42 ℎ = 2 sin.ℎ2Для того, чтобы найти , воспользуемся краевым условием для : = sin = 0,откуда следует, что = , ∈ N. Тогда собственные значения равны)︂(︂42 ℎ, = 1, ( − 1), = 2 sinℎ2а соответствующие им собственные функции имеют вид = sin( ), ∈ 1, ( − 1).Системафункций ( ), = 1, ( − 1) ортогональна,√√ а если положить = 2, то совокупность сеточных функций ( ) = 2 sin( ) образует ортонормированный (в смысле скалярного произведения (12)) базис пространства −1 .

Следовательно, любая сеточная функция ( ),−1 = 1, ( − 1), однозначно разложима по базису { }, то есть1 ( ) =−1∑︁=1 ( ),§4. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивостьв норме 2 ( )129где = (, ), = 1, ( − 1) — коэффициенты Фурье. Имеет место равенство Парсеваля:−1∑︁‖ ‖22 (ℎ ) =2 .(15)=1Воспользуемся рассмотренной задачей Штурма-Лиувилля для доказательства следующей теоремы.Пусть функция (, ), являющаяся решением задачи для уравнения теплопроводности (1) – (3), имеет достаточную гладкость. Тогдасимметричная разностная схема (4) – (6) сходится к решению исходной задачи со вторым порядком по и вторым порядком по ℎ в 2 (ℎ )-нормепространства сеточных функций.Теорема.Обратимся к рассмотрению задачи (7) – (9) для погрешности решения разностной схемы :Доказательство.+1+ ,,+1 − =+ ,2{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,где (︀ — погрешность)︀ = O 2 + ℎ2 :( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(17)+1 ∈ ,(18) ∈ ℎ ,аппроксимациина(16)решениизадачи(1) – (3),+1+1− , + ,= ( , ) = −++ ( , + 1 ), ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .22(19)Будем искать погрешность в виде=−1∑︁ ( ) ( ), ∈ ℎ ,(20)=1где ( ), = 1, ( − 1) — дискретные функции только аргумента , а , =1, ( − 1) — собственные функции задачи, зависящие только от ∈ ℎ :, + ( ) = 0, = 1, ( − 1),0 = = 0.(21)130Глава IV .

Разностные методы решения задач математической физикиЗадача (21) была рассмотрена выше.Функции имеют вид√ ( ) = 2 sin( ),, = 1, ( − 1)и образуют ортонормированный базис в −1 . Эти функции соответствуютсобственным значениям , равным(︂)︂42 ℎ, = 1, ( − 1), = 2 sinℎ2 −1Так как функции { }=1образуют ортонормированный базис пространства −1 , то любой элемент пространства −1 можно разложить по этим функциям, следовательно, представление (20) корректно.Разложим по базисным функциям погрешность аппроксимации на решении:−1∑︁ () ( ) ( ),(22) ==1где ) — дискретные функции только аргумента .Подставим выражения (20) и (22) в уравнение (7): () (−1∑︁ −1( (+1 ) − ( ))1 ∑︁ ( ) =( (+1 ) + ( )) ( ), +2=1−1∑︁+=1 () ( ) ( ).=1Принимая во внимание уравнение (21), получаем−1 (︂∑︁=1)︂−1∑︁ (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) ( ) = () ( ) ( ).2=1−1Так как { }=1 — система линейно независимых функций, то полученноеравенство выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих функциях ( ), = 1, ( − 1) равны: (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) = () ( ),2 = 1, ( − 1).Разрешим это уравнение относительно ( + 1)-го слоя, домножив обе частина ̸= 0 и сгруппировав слагаемые с (+1 ) и ( ):(1 + 0.5 ) (+1 ) = (1 − 0.5 ) ( ) + () ( ).§4.

Характеристики

Список файлов лекций