Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУПонятие устойчивости разностного методаИзвестно, что на практике вычисления проводятся приближенно, то есть призадании исходных данных и в процессе самих вычислений допускаются погрешности. Численный метод называется устойчивым, если погрешности, допущенные на каком-то этапе вычислений, не оказывают существенного влияния на результат. Разумеется, такого описательного определения недостаточно для исследования устойчивости конкретных алгоритмов. Существуютматематически строгие и более узкие определения устойчивости, некоторыеиз них будут приведены в следующих параграфах.
Сейчас ограничимся тем,что рассмотрим несколько характерных примеров.Явление неустойчивости часто возникает в процессе решения разностныхуравнений. Так, если решать уравнение+1 = ,где ∈ Z+ , ∈ C — некоторая константа, а 0 — задано, то при || > 1 погрешность будет возрастать при переходе от шага к шагу (+1). Действительно,пусть вместо в результате ошибок округления получено значение̃︀ = + .Тогда при вычислении +1 получим значение̃︀+1 = ̃︀ = + = +1 + ,то есть погрешность +1 = на новом шаге увеличится. В этом случае метод неустойчив, и при проведении расчетов на ЭВМ при достаточно большом может произойти переполнение разрядной сетки.
Если же || 6 1, то погрешность, допущенная на каком-либо шаге вычислений, не будет возрастатьна следующих шагах.Процесс численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений также может оказаться неустойчивым. Поясним это напримере простого уравнения⎧⎨ ()+ () = 0, > 0, > 0,(1)⎩(0) = .0Его решение () = 0 − монотонно убывает с ростом .
В частности, длярешения этого уравнения справедливо следующее неравенство:|()| 6 |0 |, > 0,(2)§4. Понятие устойчивости разностного метода169означающее непрерывную зависимость (иначе говоря, устойчивость) решенияуравнения (1) от начальных данных.Естественно требовать, чтобы и для разностных схем, аппроксимирующихуравнение (1), выполнялись оценки, аналогичные (2).
Однако такие оценкидля разностных схем выполняются далеко не всегда.Рассмотрим, например, явную разностную схему Эйлера длярешения задачи (1):+1 − + = 0, > 0,где > 0, ∈ Z+ , 0 = 0 , и перепишем ее в видеПример 1.+1 = , ∈ Z+ ,|+1 | 6 | |, ∈ Z+где = 1 − .Тогда оценкабудет выполняться тогда и только тогда, когда || 6 1, то есть при 626 . В этом случае схема называется условно устойчивой, а само неравенство2 6называется условием устойчивости. Если оно нарушено, то || > 1, ипогрешности, допущенные в процессе вычислений, будут возрастать с ростом.
Таким образом, требование устойчивости явной схемы Эйлера вынуждаетпроводить счет с достаточно малым шагом по времени. Например, если == 2000, то < 0.001 и чтобы провести счет до = 1 необходимо сделать 1000шагов по времени.Пример 2.уравненияПриведем пример абсолютно устойчивой разностной схемы. Для′ () = (, ()),(3)рассмотрим неявную схему Эйлера+1 − = (+1 , +1 ),где ∈ Z+ , 0 = 0 .Эта схема называется неявной потому, что для нахождения +1 приходится решать уравнение+1 − (+1 , +1 ) = .170Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУЭто уравнение можно решить, например, с помощью метода Ньютона, описанного в §3 главы III .
Для уравнения (1) неявная схема Эйлера принимаетвид+1 − + +1 = 0, > 0,откуда получаем+1 = , = (1 + )−1 ,причем || < 1 при любых > 0.Приведенные выше примеры являются типичными, потому что, как правило, явные схемы устойчивы лишь при достаточно малых шагах , а срединеявных схем существуют абсолютно устойчивые.Исследуем на устойчивость двухшаговый разностный метод, построенныйв примере 3+1 − 31= − −1 .(4)22Метод является явным, поэтому следует ожидать, что он будет условно устойчивым. Покажем, что это действительно так. В применении к модельномууравнению+ () = 0, > 0 (постоянная), > 0, (0) = 0(5)метод (4) принимает вид31+1 − + ( − −1 ) = 0,22 = 1, 2, . .
. ,т.е. представляет собой разностное уравнение второго порядка с постояннымикоэффициентами+1 + + −1 = 0,(6)где3 = −1 + , = −0.5, = .2Разностное уравнение (6) имеет частные решения вида = 1 , = 2 , = 0, 1, . . . ,(7)где 1 , 2 — корни характеристического уравнения 2 + + = 0.(8)§4. Понятие устойчивости разностного метода171По аналогии с разностным уравнением первого порядка +1 = считают,что разностное уравнение второго порядка (6) устойчиво, если оба корня непревосходят по модулю единицу, т.е. |1,2 | ≤ 1.При этом условии линейно независимые частные решения (7) ограниченыпри → ∞. Если же хотя бы один из корней, 1 или 2 уравнения (8) большеединицы по модулю, то разностное уравнение (6) считается неустойчивым.При оценке корней уравнения (8) не обязательно искать их в явном виде.Здесь может оказаться удобной следующаяОба корня уравнения (6) с действительными коэффициентами, лежат внутри или на границе единичного круга || ≤ 1 тогда и толькотогда, когда выполнены условияЛемма 1.(9)1 + + ≥ 0, 1 − + ≥ 0, ≤ 1.Рассмотрим сначала случай, когда 2 −4 < 0, т.е.
уравнение (8) имеет два комплексно сопряжённых корня. Тогда |1 | = |2 |, 1 2 = и |1 |2 = |2 |2 = .Перепишем неравенства (9) в видеДоказательство.|| − 1 ≤ ≤ 1.(10)Следовательно, если выполнены условия (9), то ≤ 1, |1 |2 = |2 |2 ≤ 1.Обратно, из условия |1 |2 = |2 |2 ≤ 1 следует√ ≤ 1.Кроме того 4 > 2 , т.е. > 0 и || < 2 ≤ 1 + , следовательно, выполнены неравенства (9).В случае 2 − 4 ≥ 0 оба корня уравнения (8)√︀1,2 = 0.5(− ± 2 − 4)(11)действительны. Из условий (10) получаем√︀√︀|| ≤ 1 + ≤ 2, 2 − 4 ≤ (1 − )2 , 2 − 4 ≤ 1 − , − + 2 − 4 ≤√︀≤ − + 1 − ≤ 2, т.е.
|1 | = 0.5| − − 2 − 4| ≤ 1.√√Далее, − − 2 − 4 ≤ − ≤ 2, т.е. |2 | = 0.5| − − 2 − 4 ≤ 1.Обратно, если |1,2 | ≤ 1, то из (11) получаем неравенства√︀√︀−(2 − ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 + , −(2 + ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 − ,которые эквивалентны неравенствам√︀√︀−(2 − ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 − , −(2 + ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 + .172Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ√√Отсюда получаем || ≤ 2, 2 − 4 ≤ 2 + , 2 − 4 ≤ 2 − .Возведя последние два неравенства в квадрат, приходим к первым двумнеравенствам (9).Неравенство ≤ 1 следует из условия 2 ≥ 4 и доказанного выше неравенства || ≤ 2.Лемма 1 доказана.Возвращаясь к схеме (4), видим, что нам надо проверить условия (9), где3 = −1 + , = −0.5, = .2Отсюда следует 1 + + = > 0, 1 − + = 2(1 − ), а это означает, чтосхема устойчива при условии ≤ 1 т.е.
≤ 1 . Следовательно, рассмотреннаядвухшаговая разностная схема (4) условно устойчива.Общий -шаговый линейный разностный методПерейдем теперь от частных примеров к общему -шаговому методу∑︁=0− =∑︁ − ,(12)=0где > 0, 0 , 1 , . . . , −1 — заданы. Будем считать, что коэффициенты , , = 1, не зависят от .Пример.В применении к уравнению (1) метод (12) принимает вид:∑︁( + ) − = 0.(13)=0Решение этого разностного уравнения с постоянными коэффициентами будемискать в виде = , ∈ Z+ .Подставив эту форму решения в уравнение (13) и сократив на − , придемк уравнению∑︁ (, ) =( + ) − = 0.(14)=0Уравнение вида (14) называется характеристическим уравнением разностной схемы (13).Определение.§4.
Понятие устойчивости разностного метода173Можно было бы искать условия, при которых все корни уравнения (14)лежат внутри или на границе единичного круга. Однако это оказываетсядостаточно сложным даже для квадратного уравнения. Поэтому в случаеобщего -шагового разностного метода (12) поступают по-другому.Предположим, что шаг достаточно мал. Тогда корни уравнения (14)будут близки к корням уравнения (, 0) = 0,то есть уравнения∑︁ − = 0,(15)=0которое также называется характеристическим. Заметим, что последнее уравнение определяется только способом аппроксимации производной ′ () и независит от того, каким способом аппроксимируется правая часть исходногоуравнения (3).При анализе -шаговых разностных схем для нелинейного уравнения(3) обычно ограничиваются рассмотрением упрощенного характеристического уравнения (15).Говорят, что схема (12) удовлетворяет условию (), есливсе корни характеристического уравнения (15) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичногокруга нет кратных корней.Определение.Таким образом, выполнение условия () соответствует устойчивости разностного метода для уравнения ′ () = 0.
Однако часто схему и для общегоуравнения (3) называют устойчивой, если она удовлетворяет условию (). Такая терминологическая неточность оправдана тем, что из условия () следуетсходимость решения разностной задачи (12) к решению исходной дифференциальной задачи (3). Приведем без доказательства следующую теорему (см.[2]).Пусть разностная схема удовлетворяет условию () и |′ | 6 на отрезке 0 6 6 . Тогда при 0 6 = 6 и всех достаточно малых выполняется оценка⎛⎞∑︁| − ( )| 6 ⎝ | | + max | − ( )|⎠ ,Теорема.=066−1174Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУгде | − ( )| — погрешности в задании начальных данных, = 0, ( − 1), — константа, зависящая от , и не зависящая от , — погрешностьаппроксимации на решении исходного уравнения (3): = −∑︁=0(− ) +∑︁ − .=0Таким образом, исследование сходимости метода (12) сводится к анализупогрешности аппроксимации и проверке условия ().Замечание 1.Методы Адамса − −1 ∑︁= −=0всегда удовлетворяют условию (), так как для них 0 = −1 = 1, то есть = 1 = 1, что следует из уравнения − −1 = 0.При указанном подходе, в отличие от рассмотренных примеров, не различаются абсолютно устойчивые и условно устойчивые разностные схемы, так как параметр заранее считается достаточно малым.Замечание 2.Мы уже упоминали в §3 данной главы, что наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных -шаговых методов равен 2,а явных — (2 − 1). Однако оказывается, что методы наивысшего порядка неустойчивы в том смысле, что они не удовлетворяют условию ().
Аименно, если нечетно, то никакой устойчивый метод не превосходитпорядка = + 1. Если четно, то никакой устойчивый метод не превосходит порядка = + 2 ( — порядок аппроксимации). Для явных схемнаивысший порядок аппроксимации устойчивых методов = .Замечание 3.Нетрудно привести пример схем, не удовлетворяющих условию ().Так, явная двухшаговая схемаПример. + 4−1 − 5−22−1 + −2=63(︀ )︀имеет третий порядок погрешности аппроксимации = O 3 (чтобы убедиться в этом, достаточно проверить условия -ого порядка аппроксимации,полученные в §3 текущей главы). Характеристическое уравнение (15) дляэтой схемы 2 + 4 − 5 = 0имеет корни 1 = −5, 2 = 1, и, тем самым, условие () нарушено.§5. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений§5175Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравненийМногие из рассмотренных выше методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без изменений на системы дифференциальных уравнений.
Однако в случае численного решения системы уравнений могут возникнуть дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью процессов, описываемых данной системой. Поясним это на примере системы, состоящей из двух независимых уравнений⎧1 ()⎪⎪+ 1 1 () = 0,⎪⎪⎪⎪⎨ (0) = ,101()2⎪⎪+ 2 2 () = 0,⎪⎪⎪⎪⎩ (0) = ,202>0(1)>0где 1 , 2 — положительные постоянные.Система (1) имеет решение1 () = 01 −1 ,2 () = 02 −2 ,монотонно убывающее с ростом . Предположим, что 2 гораздо больше, чем1 . Тогда вторая компонента 2 () затухает гораздо быстрее, чем первая и,начиная с некоторого момента времени * , поведение решения почти полностью определяется первой компонентой 1 ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
