Н.И. Ионкин - Численные методы (1163659), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однако оказывается, что прирешении системы (1) явным разностным методом шаг интегрирования определяется, как правило, компонентой 2 () = 02 −2 , которая не существеннас точки зрения поведения решения системы.176Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУ()1 ()2 ()*Например, явный метод Эйлера− 1+11+ 1 1 = 0,+1− 22+ 2 2 = 0,где = ( ), = 1, 2, будет устойчив, если шаг удовлетворяет одновременно двум неравенствам 1 6 2, 2 6 2.Поскольку 2 > 1 , условие устойчивости накладывает следующее ограничение на шаг интегрирования:26 .2Приведенный пример может показаться искусственным, так как ясно, чтокаждое из уравнений системы (1) следует решать независимо от другого со§5. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений1772, = 1, 2.
Однако аналогичные трудности возникают и при решении любых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, если матрица этой системы имеет большой разброс собственных чисел.своим шагом интегрирования 6Определение.нений видаСистема линейных обыкновенных дифференциальных урав⎧⎨ ()= (), > 0⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), .
. . , ()) , и ( × ) — заданная матрица постоянных, вообще говоря, комплексных коэффициентов, называется жесткой,если:1. Действительные части всех собственных значений , = 1, матрицы отрицательные.2. Выполняется неравенствоmax | |166min | |≫ 1.166Так же, как и в приведенном выше примере, нетрудно прийти к следующему выводу. Решение жесткой системы уравнений содержит как быстроубывающие, так и медленноубывающие составляющие. Начиная с некоторого > 0, решение почти полностью определяется медленноубывающей составляющей, однако при использовании явных разностных схем быстроубывающаясоставляющая влияет отрицательно на устойчивость, вынуждая брать шагинтегрирования слишком маленьким.Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в применении неявных абсолютно устойчивых разностных методов для интегрирования жесткихсистем уравнений.Например, систему (1) можно решать с помощью неявной схемы Эйлера+1− 11+ 1 +1= 0,1+1− 22+ 2 +1= 0,2178Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУкоторая устойчива при всех > 0. Поэтому шаг интегрирования здесьможно выбирать, руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости.Понятие жесткости можно обобщить и на случай нелинейных систем. Рассмотрим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ ()= (, ()), > 0,(2)⎩(0) = ,0где() = (1 (), 2 (), . . .
, ()) , (, ()) = (1 (, ()), 2 (, ()), . . . , (, ())) .Зафиксируем какое-либо решение () системы (2) и запишем разность() = () − () между произвольным решением системы (2) и даннымрешением (). Эта разность удовлетворяет системе уравнений ()= (, () + ()) − (, ()), = 1, .(3)Проведем разложение по формуле Тейлора правой части этой системы,предполагая, что возмущение () в определенном смысле мало. Так как (, ()) = (, 1 (), 2 (), . . . , ()),имеем (, () + ()) − (, ()) = (, ())1 ()+1(︀)︀ (, ()) (, ())2 () + . .
. + () + O |()| ,2(︀ )︀где через O || обозначены величины более высокого, чем первый, порядкамалости по . В результате этого разложения система (3) запишется в виде+(︀)︀z() (, ())=() + O |()| ,где через (, ())обозначена матрица с элементами (, ()) = (, ()),, = 1, .(4)§6. Дальнейшие определения устойчивости179Обрывая разложение в правой части (4), получим так называемую систему уравнений первого приближения() (, ())=().(5)Эта система линейных дифференциальных уравнений относительно (),так как () задано.
Теперь уже можно дать определение жесткости системынелинейных дифференциальных уравнений. Это определение связано как сданным фиксированным решением () так и с длиной отрезка интегрирования. Пусть (), = 1, — собственные значения матрицы() = (, ()).Введем число жесткостиmax | ()|() =166min | ()|.166Система (2) называется жесткой на решении () и на данном интервале 0 < < еслиОпределение.1. () < 0, = 1, .2.
Число жесткости () велико на рассматриваемом интервале0 < < :max | ()|166≫ 1.min | ()|166Заметим, что первое требование означает асимптотическую устойчивостьпо Ляпунову решения ().§6Дальнейшие определения устойчивостиПри исследовании разностных схем для жестких систем уравнений обычнорассматривают модельное уравнение()= (),(1)где — произвольное комплексное число. Свойства различных разностныхсхем изучают и сравнивают на примере этого уравнения.180Глава V . Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУДля того, чтобы уравнение (1) действительно моделировало в некоторомсмысле исходную систему()= (, ()),необходимо рассматривать его при значениях , являющихся собственнымизначениями матрицы (, ())=.Кроме обычного определения устойчивости (все корни характеристического уравнения не превосходят по модулю единицу) при рассмотрении жестких систем используют и другие, более узкие определения устойчивости.
Мырассмотрим два таких определения.Областью устойчивости разностного метода называетсямножество точек комплексной плоскости = , для которых данный метод, примененный к уравнению (1), устойчив.Определение.Рассмотрим, например, явную схему Эйлера:+1 − = ( , ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 = (1 + ) , = .Условие устойчивости |1 + | 6 1 для комплексного числа = 0 + 1 означает, что(0 + 1)2 + 21 6 1.Таким образом, область устойчивости данного метода представляет собойкруг единичного радиуса с центром в точке (−1, 0).Im 11Re §6. Дальнейшие определения устойчивости181Рассмотрим теперь неявную схему Эйлера+1 − = (+1 , +1 ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = +1 .Перепишем это уравнение в виде+1 =1 .1−Область устойчивости метода определяется условием⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒ 1 − ⃒ 6 1,которое эквивалентно неравенству|1 − | > 1и представляет собой внешность круга единичного радиуса с центром в точке(1, 0).Im Re Разностный метод называется -устойчивым, еслиобласть его устойчивости содержит полуплоскость, задаваемую условиемОпределение.Re < 0.182Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУОтметим, что уравнение (1) асимптотически устойчиво при Re < 0. Поэтому всякий -устойчивый метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любом > 0), если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Нетрудно видеть, что неявный метод Эйлера является-устойчивым, а явный метод Эйлера не является -устойчивым.Рассмотрим схему второго порядка аппроксимации:+1 − (+1 , +1 ) + ( , )=.2(2)В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = (+1 + ).2Отсюда находим+1 = ,1+0.5где = 1−0.5. Неравенство || 6 1 выполнено при Re 6 0.
Следовательнометод (2) является -устойчивым.При решении жестких систем уравнений было бы желательно пользоваться именно -устойчивыми разностными методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг . Однако класс -устойчивыхметодов весьма узок. Известно, что не существует явных линейных многошаговых -устойчивых методов. Среди неявных линейных многошаговых методов нет -устойчивых методов, имеющих порядок аппроксимации вышевторого. Таким образом, схема (2) является одной из лучших -устойчивыхсхем. В связи с тем, что класс -устойчивых разностных схем весьма узок,было введено несколько определений устойчивости, являющихся менее ограничительными, чем определение -устойчивости.Определение. Разностный метод называется ()-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол левой полуплоскости:| arg(−)| < , = , > 0.§7. Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка183Im В частности, (︀ )︀2Re -устойчивость совпадает с -устойчивостью.Известно, что ни для какого не существует явного ()-устойчивоголинейного многошагового метода.
Построены ()-устойчивые неявные методы третьего и четвертого порядка аппроксимации. К ним относятся чистонеявные многошаговые разностные схемы, у которых правая часть (, ) вычисляется только при новом значении = + , а производная ′ () аппроксимируется по нескольким предыдущим точкам и точке = + . Например,схема25+4 − 48+3 + 36+2 − 16+1 + 3= (+4 , +4 )12имеет четвертый порядок аппроксимации и ()-устойчива при некотором > 0.§7Разностные методы решения краевой задачи дляобыкновенного дифференциального уравнениявторого порядкаИнтегро-интерполяционный метод (метод баланса) построенияразностных схемРассмотрим первую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка. Требуется найти непрерывную на отрезке 0 6 6 1 функцию(), удовлетворяющую уравнению(︂)︂()− ()() + () = 0, ∈ (0, 1)(1)и краевым условиям первого рода при = 0, = 1(0) = 1 , (1) = 2 ,(2)184Глава V .
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем ОДУгде 1 , 2 — числа.Будем предполагать, что (), (), () — заданные достаточно гладкиефункции, удовлетворяющие условиям() > 1 > 0, () > 0,1 = .При сформулированных условиях решение задачи (1) – (2) существует и единственно.Введем сеткуℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.Обозначим− 1 = − 0.5ℎ, + 1 = + 0.5ℎ,22(),= (± 1 )() = ()± 122и проинтегрируем уравнение (1) по на отрезке [− 1 , + 1 ]. В результате22получим уравнение+ 1+ 1∫︁∫︁2+ 1 − − 1 −22()() + () = 0,2− 1(3)− 122которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке [− 1 , + 1 ].22Далее заменим+ 1+ 1∫︁ 2∫︁ 2()() ≈ ()− 1− 122и введем обозначения+ 11 =ℎ2∫︁+ 11(), =ℎ− 12∫︁ ().(4)− 122В результате вместо уравнения (3) получим уравнение+ 1 − − 122ℎ− + = 0.(5)§7. Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка185Выразим далее ± 1 через значение () в узлах сетки.
Для этого проинте2грируем равенство()′ () =()на отрезке [−1 , ]. Имеем∫︁ − −1 =−1Обозначая∫︁() ≈ − 12()⎛⎜1 = ⎝ℎ,()−1∫︁⎞−1 ⎟⎠(),(6)−1получаем − −1= , , + 1 = , .22ℎЗдесь и далее используются общепризнанные в теории разностных схем обо −−значения , = +1ℎ , , = ℎ −1 ([1], стр.259).Подставляя эти выражения в уравнение (5) получаем− 1 = или1(+1 , − , ) − + = 0ℎ( ), − + = 0.(7)Это уравнение по построению является разностным аналогом дифференциального уравнения (1). Оно записывается для = 1, ( − 1) и дополняетсякраевыми условиями:0 = 1 , = 2 .(8)В дальнейшем, как обычно, решение разностной задачи (7) – (8) будемобозначать буквой , так что = ( ), ∈ ℎ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
