Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(3) С целью несколько упростить написание всех дальнейших формул мы не поставили перед правой частью этой формулы множителя размерности функции Н,; вследствие этого параметр разложений я есть безразмерное число, а имеет размерность 1ьТ к. Подставим выражение (3) функции Н, в уравнения (1), получим о —. = йе яшйа вши о, —, = — йе сояйаяши. дк», кь дкч кь О дик ' даа Интегрируя эти уравнения, находим кь $, = — — ек' яш йа яш и + (к (а, Ь), ао кь Ч, = — екь соя йа яш и + т, (а, Ь). сь (4) Функции ьк (а, Ь), тк (а, Ь) произвольны, для их определения воспользуемся уравнением (2).
Так как функция $, должна обращаться в нуль при и = О, то функция 1, (а, Ь) обращается в нуль тождественно. Отсюда 666 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ вытекает, что производная дт,!дЬ = О; следовательно, функция т, зависит лишь от переменного а. В силу основного граничного условия функция Н, должна равняться щг при Ь = О и при всех значениях переменных а, по. Таким образом, должно соблюдаться условие ! й сояйа спи = д( — соя йаяшоа+ т,)~.
Оо Отсюда получаем ΄— уй, оп, (а) = О. (5) Интегральное условие (18) з 8 удовлетворяется при п .= 1 тождественно. Итак, система уравнений первого приближения имеет такое решение: ьо — — — — е яшйаяшю, оь Оо тв =- — е сояйая1пое, а, = — уй, зо ао (б) Это решение отвечает взятому частному решению (3) уравнения Лапласа. Покажем, что при таком выборе функции Н, получаются стоячие волны из линейной теории.
Действительно, координаты х, у точки поверхности жидкости определяются в рассматриваемом случае формулами ь й х = — а — с — я1пйая1пю, у == я — сояйая'опт. Оо Оо Из первой формулы имеем, учитывая лишь первые степени параметра е, . О а = х + е — я1п йх яш ж а, Подставляя это выражение во вторую формулу, находим уравнение стоячей волны, получаемое в линейной теории: а у = е — соя йх я1п в.
Оо Формула (12) з 8 дает известное выражение частоты стоячей волны: и' = дй. Все дальнейшие вычисления коэффициентов рядов (7) — (12) будут основаны на взятом частном решении (3) уравнения Лапласа; следовательно, стоячие волны конечной амплитуды будут, в определенном смысле, развитием бесконечно малых стоячих волн. Обратимся теперь к определению функций $о, Чо, Н,. Согласно уравнениям (15) †(17) $ 8 зти функции будут определяться 2 2. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 6ЗЗ из уравнений доГ,т дН2 'Р (Чт, Н,) о,— '+о,— '= — — '+ дио диг да Р (а, Ь) дгт)2, дта)т дН2 Р (дт, Н,) аатг - г дш2 дЬ Р (а, Ь) дгг дт]2 Р Дт Чт), да дЬ Р(о, Ь) (у) (9) Подставляя сюда вместо функций с индексом 1 их найденные вы- ражения, получаем систему уравнений дтст Π— ' =.
о дм2 дН2 Йат ьь — — — — е я]п)оа в]п и, да оо дН,, дат ьь — — + — 'е соя]оа в]п и аЬ ' а, = — е' (1 — сов 2и). 2ЬЬ 2оо о (1О) дгт)2 Оо — . = аиг + — 'еоьь (1 — соя 2ит), (11) 2оо дгг дт)2 — +— да аЬ (12) Из этих уравнений находим уравнение для функции Н,: тгь за' гьь ЛН2 = — ео — — ' е' сов 2и. Оо ао Решение этого уравнения, периодическое относительно ш, имеет следующий внд: Н, = — е — — е соя 2и+ т оьь 322 оьь 4ао 4оо о + ~р (а, Ь)+ ~ (р сов тш+ д яшти)1, (13) т=т где ро, р, д — гармонические функции переменных а, Ь с периодом 2я/й относительно координаты а. Подставим зто выражение функции Н, в уравнения (10) и (11), получим д%2 Ьат ьь ° о, — = — — е в)п Йа в]п и— дтоо а, да — — + ~~~2 ( — соя ти+ — жити)1, та — г оо —.— — — е совйав!пи+ — е сов2и— аг~, Ьа, ьь Ь' гоь о демо о, ао др ад„ ~ дь + ~~~~] ( аь + аь ц ' Отметим, что частные производные функции ро (а, Ь) должны быть приравнены нулю, чтобы интегралы этих уравнений были перио- 670 ГЛ.
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЕ АМПЛИТУДЫ дическими функциями переменного и. Следовательно, р, — величина постоянная, значение ее определено ниже. Интегрируя составленные уравнения, получаем оооьо = — е яш(оа вши -1- — оо а„ де + ~~ — 2( —,сояти+ ешти)+(1(а,Ь), (14) Ооо)2= — — е соя(оая'ши — — е ' соя2и+ Ьа оь 1Ь оо 4о„ ооо . Чо 1 1~Рт Чт + — е -'- 2 — ~ — сов ти -1- — я1п ти ) - ~ т, (а Ь). 4оо ' оРЭ то~дь ' ' дЬ 1 |а =1 Уравнение (12) будет удовлетворяться при условии д( дт —..' + — '= О. да оь Составим теперь условие для поверхности жидкости: Но (а, О, и) = ит(2 (а, О, и1). Ьо Зьо — — 4 соя2и+Ро+~ (р (а,О)сояти1+д (а,О)яшпои) 4оо 4ао т=1 = — — соя 1оа я1п и -',— — (1 — соя 2и ) -(- о, ьо ат1(а, О) ао 4ао оо (др (а, О) да (а, О) + — ~ — ( ", совти+ яопти1.
о,2.2 Ы~ дь дЬ т=1 (15) Иэ этого тождества получаем следующие соотношения: Ро = — то (а, 0) = сопяс, ао О) = тврт(а, 0) (18) д др (а (т= 1,3,4,...), (17) оо дь В дро(а О) 2Ь2 = 4ро(а, 0) — —, (18) оо О) = т'д (а,О) (т = 2,3,4,...), (1О) оо дЬ да (а ао дЬ Выше было указано, что функции Н„Н„...
не должны содержать слагаемых вида е"ь сов (оа яоп и, определяющих функцию На основании предыдущих формул это условие приводит к следую- щему тождеству относительно а и и: 1 9. коэФФицивнты гядов, опгвдвляющнх стоячив волны б71 Н,. Поэтому в выражении функции 7/1 (а, 6) не должно быть члена ет~ сов /еа. Отсюда вытекает, что первое слагаемое правой части тождества (15) должно обращаться в нуль. Это определяет величину а1: а1 = О. Определим функцию р (а, 6), удовлетворяющую граничному условию (17).
Так как функция $1 должна обращаться в нуль при а = + я//7 и при всех значениях 6 и к7, то гармоническая функция р (а, 6) может быть представлена рядом р (а, 6) = а, + ~ а,е'"ь соя //еа (20) 7=1 с неизвестными коэффициентами и. Для определения этих коэффициентов слул1ит граничное условие (17), которое дает следующее тождество: 7 ~ /а;сов//еа = т'(й, + ~ а;соя//еа). '7=1 7=1 Отсюда следует, что и, = О, /и/ — — тэи7.. Если / ~ тв, то и7 — — 0; если же / = т', то и * может быть взято произвольно. В этом последнем случае бесконечная сумма в формуле (20) будет содержать лишь одно слагаемое: р,„(а, 6) = и„ре"е7Ф сов тЧеа, и тогда соответствующий член в бесконечной сумме формулы (13) будет ит е77Е1Ь сов та/еа сов тю.
Это слагаемое в выражении функции Н, определяет стоячую волну длины 2я/(/етя) с основной частотой колебания (по линейной теории), равной 2я/(та). Таким образом, мы встречаемся здесь с теми добавочными стоячими волнами, о которых говорилось в Я 3, 4 гл.
1. Совершенно такое же заключение можно вывести и из рассмотрения второго члена в бесконечном ряду (13), основываясь на граничном условии (19). Во всем дальнейшем рассмотрении мы ограничиваемся построением стоячих волн конечной амплитуды, порождаемых лишь одной стоячей волной, возникающей иа функции (3). В силу этого бесконечная сумма в формуле (13) обращается лишь в одно слагаемое: р, (а, 6) соя 2к7. 672 ГЛ.Ч.
ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Функция р, (а, 6) определяется граничным условием (18); если повторить следующие рассмотрения, то окажется, что йа сэа(а, Ь) = — соя 2нс. 2ао Следовательно, Зйь стть = 4 е™ь+ — соя 2лс — — ест~соя 2й+ бт,(а, 0). (21) Пользуясь полученными результатами, составим формулы (14), получим оьяь = гс (а, 6), йс оьт), = — е"' (1 — соя 2пс) + т, (а, 6). 4о, Так как функция 8, должна обращаться в нуль при и = О, то функция ст (а, 6) будет тождественно равна нулю; в силу этого функция ос, (а, 6) не будет зависеть от 6 и, благодаря равенству (16), будет сводиться к постоянному числу С. Итак, Лс вьь = О, т|с = — есть (1 — сов 2ас) + С.
4оь ь Для определения числа С воспользуемся интегральным условием (18) 1 8, которое в данном случае запишется так: (т)ь+ дд —.'1 сса = О. Выполняя вычисления, находим ..сй Отсюда получаем значение величины С: С=О, и окончательные формулы, определяющие второе приближение, запишутся так: $,=0,от, =О, т~ь = — е'"ь (1 — сов 2ю), йа (22) 4ов ь йь йь яйь Нв = — е'"'+ — сов 2пс — — е'"ь сов 2пс.
4оь 2оь 4оь ~ (ч.+ * —,.') — сй сссй Г йз — (1 — соя 2кс) 2 —,ссй Ь йс + С вЂ” —,соя'(са(1 — соя 2ю) с(а = О. 4ооь Ь 2, коэФФициенты РЯДОВ, ОпреДелЯютцих стОЯчие ВОлны 672 Обратимся теперь к определению третьего приближения. Полагая в уравнениях ((5) — (17) я 8 и = 3, получаем следующую систему уравнений: д~, д~~~ ао а 2 + 01 — 2 + аз дН1 + Р (т)2, Нт) + Р (т)т, Нз) да Р(а, Ь) Р(а, Ь) дНз Р (йз Нт) Р (5 Нз) дФ2 азчз дзт)2 тте а 2 + 111 д 1 + 112 дзт) дЬ Р(а, Ь) Р(а, Ь) Р (ст чз) Р(йз Нт) Р (а, Ь) Р (а, Ь) а~з, аиа да ' дЬ Используя выполненные выше вычисления, придаем этой системе такой вид: д25з дНз Ьаз ао — З З 2 езьв1п/са в!и и— дите да ае кз езкь я1п /са (ятп ит — я(п Зит), 2аз о (23) а,— = — — '+ — '+ — е'к' е соя/саяшю— дтеа дН, С Каз ЬКЗ К кь оаз дЬ ~а, 402 — — ез"' соя /са втп Зю, (24) 402 о ,з + Чз — езтть соя/са (3 я)п ит — я)п Зит).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
