Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 94
Текст из файла (страница 94)
з 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. И. НЕКРАСОВА И МИЧЬЛЛЯ 633 Ври!!аднзз этим формулам другой вид, пользуясь разлозкениез! (4); получим а0 2к з ' ~~азсоз~(а — — )О+ — п~, 2 я!и — 0 з=о 2 (10) а0 2 з ! а ° з!и ~()з — — ) О + — л~, 1/ 2я>и — 0 з=з 2 Возьмем теперь формулу (О) и применим ее к точкам поверхности жидкости, получим формулу для вычисления левой части уравнения (8): У' = .. ~~ йз!Лз — О. (11) )(зм)1(;и) У Теперь основное уравнение задачи (8) запишется так: „[ а!'.! + з1 я!и ( 6 — 6 ) + ~заза!и ~(з — 6 ) О+ 6 я1 (12) я!и — 0 2 1!!'(и) = 1 + Ь,и + Ь,и' + Ь,и' + Между коэффициентами Ь„Ь„Ьз и ам а„аз существуют такие соотношения: з з а„= — Ь„а, = Ьз — Ь„аз — — 2Ь,Ь, — Ьз — Ьз.
Возьмем уравнение (8) и умножим обе его части на з'з, получим ыуз з аз — = — 4дуз — . 00 = 00 ' (13) Это есть уравнение А. И. Некрасова в теории предельной волны Стокса. Уравнение (12) дает возззоясность вычислить коэффициенты а„ и тем самым построить поток жидкости. Но более просто можно найти эти коэффициенты, если несколько изменить уравнение (12) и ввести, наряду с коэффициентами ати новые коэффициенты Ьз, разлагая функцию 1/1 (и) в ряд Маклорена: 634 гл. ч. теОРия ВОлн кОнечнОЙ Амплитуды Польэуясь формулой (И)и второй иэ формул (9), находим 1 1 ау ей е,Р ! Г 1 — — 1е — 1! ! — 1е — со! РЯ вЂ” = — се 1' 2яш — 9 . е е — .
ее ЛО 4к ~' 2 (7 (р-и) ! (,,~е! пли еду Лсе ерР . 1 [. /О и! Уе — = — 1р 2я!п — 0[я!и ( — — —,) + 86 2в 1' 2 ( (,6 6 ) +Ь ' Г(0+ 1. 9)-+1+6 Г(20- +О) — й ',— +Ьея[п~(30 [ —,'. О) — — ",. ~-[-...~. Преобраэуем эту формулу к такому виду: едл ЗУЗ, '/, . ! 011 7 !З !О Уе — = — ' . Лс'ет 2я[п —,9[ — — — Ь,— —.' Ь вЂ” —.Ь Х Ыо пе 1 ' 2 [[, 8 40 Р60 е 332 '/ 1, 71, 7 13 10 и соя —,О+ ( — — ' — 6, — — 6 — — Ье) соя — Π— ' 2 ( 80 ' 32 88 е 280 ) 2 1 7 13 1О + ( —. + —. Ь! + — '.
Ье — —.. Ь [ соя — О -[- 1 224 !76 ! 56 е 136 ер ' 2 ( 1 7 13 1О 1 7 + ( — + —.Ь, + —,Ье -'- — Ье) соя —,О+...~. ( 440 ЗО2 ' 272 ' ' 80 ') 2 (14) Затее! имеем иэ формулы (И) Уе = с' ~,Р 4яш' — 9[(1+ Ь,')+ 2(Ь, + Ь,Ь,) сояО+ -[- 26е соя 20 + 26е соя 30) (15) и, далее, Уе = 2с' ~/ 2я!Ве — 0[(1+46,')+ 4(6, + ЬА+ Ьз)сояО+ + 2 (2Ь, + Ь,') соя 20 + 4 (Ь, + Ь,Ье) соя 30), Э'р'е 4 Е ЕУ . 1 1 Е е ! — = — с' у' 2 я[п — О [(1 — Ь, + 46, '— 26,6, — Ь ) соя — 0 + + (5Ь, — 2Ь, + 10Ь,Ь, — 46е + 5Ь ) соя — ' О + 2 + (46е — 7Ь,Ь, + 86е — 7Ье) соэ — О + 2 + (ИЬ,Ь, + ИЬ,) соя — О +...1. 7 Подставим это разложение и рааложение (14) в уравнение (12).
Сравнивая коэффициенты прн косинусах одинаковых дуг, находим систему уравнений для определения Ь„Ье, Ь, и параметра орсй ~л яе се 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. П. НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 635 Выпишем;и у систему; 46з 26 Ьз = й (0,125 — 0,175 Ь, — 0,08125Ь, — 0,05398 Ьз), 56, — 26; + 106,6з — 46, + 56," ==- =-й (0,0125 + 0,218756, — 0,147726з — 0,00788Ь,), 46', — 76,6з + 86з — 76з = = й(0 00446 + 0 03977361 + 0~2321436з — 01!39706з) 116,6з -'; 11Ь, == й (0,00227 + 0,017856, + 0,0 з779Ь„+ 0,23756з).
По вычислениян Ыичелля, зта система уравнений илзеет следующее решение: 6, -:= 0,0397, Ь, = 0,0094, Ь, = 0,002, к = 8,25. (17) Отсюда для коэффициентов аи а„аз получаем такие числовые значения: аз =- — 0,0397, аз = — 0,0078, аз = — 0,001. Подставим в формулу (16) вместо й его найденное значение. Выполняя вычисления, получаем формулу, связывающую скорость потока с длиной предельной волны Стокса: с'= ' ВХ= 1,20 л .
9 1/3 з'й Если через с, обозначить скорость бесконечно малой волны длины ), то будем иметь с = 1,095 с,. Определим удвоенную амплитуду 2а волны Стокса. Для этого найдем по формуле (15) квадрат скорости Уз для О = н, получим Ф' = с' у' 4 (1 + Ь, — 26з — 26зЬз + 2Ьз — 2Ьз). Подставим это значение з'з в формулу (7) и заменим Ь„Ь„Ь, пх числовыми величинами (17); получилц выполняя подсчеты, 2а = 0,1421. (19) Отметим, что вычисленная по формуле Стокса (20) скорость с при значении амплитуды (19) несколько превосходит скорость, определяемую по формуле (18). Из формулы (20) 636 гл.
ч. твогия ВОлн конкчнои Амплитуды получаем . =1,919 — ". 2л Составим теперь дифференциальные уравнения волновой поверхности. Для этого подставим в формулы (10) вместо а„а„аз нх числовые значения, указанные вьппе; получим а !. 1 Г 16 лб !6 1 — — — ~соя ( —, — —,) — 0,0397соя( — '. О+ —. л)— аб 2л з, ! 'Ь (~6 6) (,б б ф' 2яш —, В /1! 1 (17 1 — 0 0078соя( —. О+ — л) — 0 001 соя ~ — „, л+ —. л)1, — — ~ягл ( —, — —,) — 0,0397 я!и ( — О + —.
Л)— аб 2л з, ! 'Ь (б 6) ' ' ' !6 6 1/ 2 я!в — О 2 — 00078 я ! и ( —, О + —. л) — 0 001 яш ( —, О + —. л 1. I11 1 ! . !!7 — — ) — (,— 6 )! Результаты интегрирования написанных уравнений собраны в приводимой ниже таблице (табл. 1). Табл и па 1 гх Уез' чч! — му! По числам второго и третьего столбцов этой таблицы построен рис. 75.
В четвертом столбце приведены отношения квадрата скорости частицы на поверхности к квадрату скорости потока. По числам пятого столбца можно судить о точности выполненных подсчетов: при совершенноточном решении все числа этого столбца $ 2. УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА 637 должны были бы равняться единице. Как видно, вдоль долины вол- ны точность приближенного решения больше, чем в области угло- вой точки.
У Л -РРРР б,Ж7 Ряс. 75, В заключение отметим, что и решения Мичелля, и решение Некрасова основаны, по существу дела, на идеях второго метода С~оке~. 3 4. Уединенная волна ср (х, у) = 2р2 (х) + у2р2 (х) + у22рз (х) + ... (1) Подставим это разложение в уравнение Лапласа. Приравнивая нулю коэффициенты прн различных степенях у, приходим к соотношениям, связывающим коэффициенты разложения (1): ~~12~р 1 222~р 2р2 = — — — 2рз = — — — 2 2 Иа~ ' 2 3 2~х2 ,уз~ 34 Ихв или и Фо 2Р2 = — —— 2 Ихз' (2) Скот Рэссель нашел экспериментальным путем, что по поверхности канала конечной глубины может распространяться на большие расстояния с постоянной скоростью и без изменения своей формы отдельное возвышение поверхности жидкости — уединенная волна (180). Первые теоретические исследования уединенной волны были проведены Буссинеском (87), [88) и Рэлееи (168). Предположим, что по каналу небольшой глубины распространяются прогрессивные безвихревые волны.
Обозначим через 2р (х, у) соответствующий потенциал скоростей в координатах, связанных с волной. Ось Ох проведена по дну канала, а ось Оу— вертикально вверх. Представим функцию 2р (х, у) в виде ряда по степеням переменного у: ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛНТУДЫ Отсюда получаем для составляющих скоростп такие выражения: Ыть Нть 1 з Ы ЕО 1 3 Ы Р1 1 4 И зь и = — — — у — + —,у — + —.у — — — у— ах сх 3 йхз 2 ° 3 схз 4! йхь и = — ~рь (х) — 2уьрз (х) — Зуз~рз (х) — 4уз~рь (х) — 5уьсрь (х) + ...
Функция ьр, (х) тождественно равна нулю, так как на дне канала и должно быть нулем. Отсюда, на основании формул (2), получаем Ч'з (х) == Ч'ь (х) = тз (т) = = О~ и выражения для и, и запишутся так; ЛТО 1 з ЗТО 1 4 ЫТО и = — — + —,у — — — у — + Лх Е Лхз 4! Лзь (3) Изч и= у — '— йхз — ~" = с+ ез/($), зх где с — некоторое постоянное число, которое будет связано со скоростью потока в бесконечности и нли, что то яье, со скоростью движения волны. Что же касается функции /(е), то будем считать, что при $ = ОО она имеет конечное значение и все ее производные стремятся к нулю при $=-+-сО.
Решенке, которое будет построено, будет удовлетворять этим требованиям. Отсюда имеем, обозначая штрихами дифференцирование по переменному С помощью этих равенств разложения (3) могут быть переписаны так: и=с+а/ 2 еу/ + 4|ау/ +. еу/+ ЗЧау/ + ° ° ° (4) Вдоль свободной поверхности ньидкости давление сохраняот по- Функция ьсь (х) остается пока произвольной. При изучении задачи об уединенной волне Рэлей предполагал, что коэффициенты последовательных членов разложений (3) весьма мало меняются при изменении переменного х. Аналитически это предположение можно передать тем, что функция с(~рзЫх зависит от переменного х, умноженного на некоторое малое число е, т. е.
зависит от переменного $ — ех. В согласии с этим поло- жим л 4. ундиненная Волна 639 стоянную величину, поэтому будем иметь следующее равенство: (и' + и') + 2ду = С (5) для величтлн у, равных ординатам точек свободной поверхности. Обозначая через й глубину канала при отсутствии волн, представим у так: У = й + е'Ч (9) + 'Ч (9) + (6) гДе фУнкЦии т~л(9), т)т(9),... поДлежат опРеДелению.
Подставим ряды (й) и (6) в интеграл Бернулли (5), получим с' + 2сет) + е'(/т — су')") + е' ~ — су'/'ч — у'~~" + у'~' ) + + 2у(Ь+е'т~т+ е'т1э+...) = сопзь. (7) Одновременно с этим условием должно удовлетворяться в точках поверхности жидкости кинематнческое условие лу э= и —. лх Пользуясь написанными выше разложениями, придаем этому условию такой вид: — е'М + —, еЪ'1"' + (с+ еа~ алуа~" + елул7тг ( ) (ез чл 1 еэ Чт + ) (8) Будем теперь сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях з в обеих частях условтлй (7) и (8).
Коэффициенты при вторых степенях з в условии (7) дают уравнение с) + ут)л = О. Коэффициенты прн третьих степенях е в условии (8) дают уравне- ние Из этих двух уравнений получаем у = — — т)„ст = уЬ. х с Рассмотрим коэффициенты при четвертых степенях е в условии (7),получим уравнение )' — сй'~" + 2ут1, = О. ((О) Рассмотрение коэффициентов при пятых степенях з в условии (8) 640 ГЛ. У, ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ приводит к уравнению — 1Ч1+ — Ь| =с — +1 —. 2 ю ЛЧ2 аЧ1 6 зч 66 Исключим из этих двух уравнений функцию Ч„придем к уравнению ~'Ч~ — — Ьз/"' = — (2Ц' — сЬ21 ') — 1 — 1' . Внесем сюда вместо 1 его выражение через Ч, получим в реаультате простых вычислений уравнение для функции Ч, 19): 62Ч, 9 сЧ1 — + — Ч1 — — — О.
э22 А2 Интегрируя это уравнение один раз, получаем Л2Ч1 9 — '+ — Ч,=С,. Щ 2А2 Интегрируя еще раз, получаем Ь'(+'' = — ЗЧ',+С,Ч„+ С,; отсюда имеем (11) 3 У' — ЗЧ,'+С1Ч1+С2 где а — наибольшее значение величины Ч„отвечающее гребню волны, который соответствует нулевому значению переменного $.
Величина а связана с константами интегрирования зависимостью (12) 322' — С,и — С, = О. Интеграл (11) есть эллиптический интеграл первого рода, поэтому при всех изменениях верхнего предела Ч, он имеет конечное значение, но величина с должна изменяться от — оо до оо. Это может быть лишь в том случае, если подрадикальный многочлен )1 = — ЭЧ'1 + С1Ч1 + С, имеет двойной корень. Этот корень найдется из уравнения — = — ОЧ1 + С1 = О 2 сЧ1 и будет иметь значение, если положить С, = р', 1 — 3 Трехчлен Л обращается в нуль при этом значении Чг, если постоян- 1 ь увдиннннАя ВолнА 641 ная Се имеет такое значение: 2 ,е 9 Отсюда Л = — 3111+ С и + — С, у'С, = — 3(11, + — Р) (11, — — Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
