Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Пользуясь найденными выражениями функций В„..., 7)о, получаем ,ьог,, ы =. е' —, ~ гово ьа+ Р (8 П- 13соя 2и7+ 5 сов 4и)1еооь выло 7ва, со 32со ( )'- (' — = е в — е соя 7га сов ив+ ЭЧ ~о оГ7в оьь о в со о + 2е — ео7вь сов воа ввп и7 (1 — сов 2ю) + 4со 7вв + ео ( — е"' (2 + соя 27ва) (1 — соя 4ю) + 6"о + — Р ы сояо ьва (8 + 13 сов 2ю + 5 соя 4ю)) . Пользуясь этими разложениями, находим о т ~ ЫЬ ~ ( — ) ьва= — вьв = — ~сояо ив + е' —, (8 + 13 сов 2и7 + 5 соя 4и7)~, Й 32со о ~ бЬ ~ ( —,'")'( = — в — юа [сово ьа + е' (18 + 13сов 27Р— 3 сов 4ю)1 . 2со 32со о о Складывая эти формулы почленно, получаем выражение кинети- ческой энергии: Т = Р ео~ — совою-)-ео ~ (12+13сов2га+ соя4и7)~.
~ Р 76св о о Чтобы получить окончательное выражение кинетической энергии, ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 662 следует подставить в эту формулу вместо о' его выражение йо о" = оо — — е -1- ° ° ° 4оо Выполняя вычисления, получаем окончательное выражение кинетической энергии: Т =- — Реесоз'ш+ Р ео(8+9соз2ш+соз4по) (14) 2оо 64о" о Найдем теперь выражение потенциальной энергии (8), принимая в качестве переменных интегрирования а, Ь и отсчитывая потенциальную энергию от среднего уровня жидкости: ои П = рд~ АЬ ~ цАЬ.
о Подставим сюда вместо ц его разложение (13); пользуясь значениями коэффициентов этого разложения, получаем выражение потенциальной энергии: П = — Реез1пепо+ "Р ео(10 — 9соз2и — соз4ш). (15) 2оо 64о~ Складывая формулы (14) и (15) почленно, получаем выражение полной механической энергии стоячей периодической волны конечной амплитуды: 2оо 32 ое (18) о ЛР ~ йое ~ яэ (, +6й'е~ (17) среднее значение потенциальной энергии превышает среднее значение кинетической энергии. Придадим формулам (16) и (17) другой вид, заменяя в них величины з и /с их выражениями через амплитуду А и длину волны А = /сз/о„ /е = 2я/)о.
Получим Е = рооХА'~1+ 4 ( ) 1 ' Средние значения кинетической и потенциальной энергии за пе- риод колебания равны соответственно а а. ОсН ОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ стОЯЧих ВОЛН ггз й 8. Основные уравнения теории стоячих волн конечной амплитуды дох дх ~дар 1ду 1 др — — + — +у — = — — = 'дн да ~дЕо ) да р аа ' дох дх / дау ~ ду т др да дь '1 деа ( дь = р дь ' К этим динамическим уравнениям следует добавить уравнение непрерывности. Если через хео уе обозначить декартовы коорди- наты частицы жидкости в момент времени 1 = — О, то уравнение непрерывности запишется так: дх дх, дх дуо (2) ду дао ду дуо о) В дальнейшем мы налагаем эту теорию с некоторыми иамеиеииями э деталях.
В начальных параграфах гл. 1 были исследованы собственные колебания тяжелой жидкости в предположении, что амплитуда этих колебаний весьма мала. Волны, образующиеся при этих колебаниях, носят название стоячих волн. Теперь мы обратимся к определению стоячих волн, учитывая конечную величину их амплитуды. Будем рассматривать плоскую задачу гидродинамики и предположим, что яоидкость, имеющая открытую свободную поверхность, обладает бесконечной глубиной.
Поставим задачу: найти для такой иоидкости потенциальные движения, периодические по отношению к горизонтальной координате и по отношению ко времени. При таких движениях жидкости на ее поверхности будут образовываться стоячие волны; вместе с тем можно сказать, что эти движения жидкости являются собственными ее колебаниями данной длины в направлении горизонтальной оси. В дальнейшем будет показано, что период этих колебаний зависит от длины волны, а также и от амплитуды колебаний, так как рассматриваются нелинейные колебания. Решение поставленной задачи найдем применением переменных Лагранжа. Определение стоячих колебаний конечной амплитуды с помощью переменных Лагранжа было предложено Я.
И. Секерж-Зеньковичем [42), который впервые построил общую теорию стоячих волн конечной амплитуды *). Уравнения Лагранжа дляплоских движений тяжелой жидкости пишутся так: 664 ГЛ. У. ТЕОРИИ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АЫПЛИТУДЫ Установим следующую зависимость между декартовыми координатами х„уа и координатами Лагранжа а, Ь: х, = а, у, = — Ь+/(а). (3) Припишем частицам жидкости, принадлежащим поверхности, значение Ь, равное нулю; тогда уравнение поверхности жидкости в начальный момент времени примет вид уо / (ха). Этим равенством определяется смысл функции /(а). Преобразуем уравнение (2) к переменным а, Ь, получим или, пользуясь формулами (3), (4) Решим уравнения (1) относительно вторых производных дах/д(а и дау/д(а; пользуясь уравнением (4), найдем дах дН ду дН ду — = — — — + —— ды да дЬ дЬ да дау дН дУ дх ды дЬ + да дЬ где Преобразуем зти уравнения к новым искомым функциям 6 и т), полагая х = а + 6, у = Ь + т(.
Получим новую систему уравнений: д'-Г дН (7 (а), О) — — — — + дЬа да /7 (а, Ь) да1) до (7(6, Н) (5) ды дЬ /7 (а, Ь] Преобразуем затем уравнение непрерывности (4); найдем дй, д«) )7(а,«)) да ' ЬЬ )7(л Ь) (6) дх дх да «7Ь ду ду аа дд« дл да дха ду„ «7Ь дЬ ««х«~ '«уа «7х дх аа дЬ ду ду дл дЬ $ з. ОснОВные уРАВнения теОРии стоячих ВОлн 665 Вдоль поверхности жидкости давление имеет постоянное значение, равное, например, нулю. Отсюда вытекает основное граничное условие нашей задачи: Н (а, О; ~) =- дв (а, О; ~). При ~ = О функция 6 (а, Ь; Г) обращается в нуль для всех значений переменных Лагранжа, при этом же значении 8 функция ц (а, Ь; ~) должна обращаться в неизвестную пока функцию 7 (а).
При погружении на бесконечную глубину координаты л, у должны стремиться соответственно к х, и рю что обусловливается предполагаемым угасанием волнового движения на бесконечной глубине. Таким образом, функция $ должна стремиться к нулю при Ь = — сю, а функция ц должна стремиться к функции 7 (а). Функции $ (а, Ь; ~), В (а, Ь; г), 1 (а) должны иметь по отношению к переменному а данный период, равный длине волны Х =- 2лй.
По отношению ко времени 8 функции $, т) должны иметь данный период т, определяемый частотой колебания волны си т =- 2л/О. Величина й дается, величина о определяется в процессе решения задачи. Будем предполагать, что переменное а изменяется между — л!й и л/й, при этих значениях а и при всех значениях Ь и времени ~ функция $ должна быть нулем: $ (-~ лй, Ь; й) —: О. Ко всем этим условиям должно быть добавлено еще одно условие, указывающее, что в каждый момент времени ось Ох есть средний уровень жидкости. Это условие записывается так: ли ки упт = О или ~ (ц(1+ — )~ да = О.
— ли — юа (7) Определив содержание задачи и ее условия, укажем метод решения. Мы будем искать стоячие волны весьма малой, но конечной амплитуды, зависящие от некоторого малого параметра з и приводящиеся к горизонтальной прямой при нулевом значении этого параметра. В силу этого условия будем искать неизвестные функции задачи в виде рядов, расположенных по степеням параметра е. 666 гл.
ч. ткогия волн конкчнои амплнтгды Положим 6 = е$, + ез$з + езэз + е'5а+..., Ч еЧз + е Чз + е Чз + е Ча + Н = еН, + езН + езНз + еаН + ..., 1 (а) = — е~, (а) + ез)з (а) + ез1з (а) + еа(з (а) +..., о, = о, + ео, + е'о, + езо, +... Все коэффициенты этих рядов подлежат определению. По отношению к переменным а, Ь и Ь коэффициенты написанных рядов должны удовлетворять тем условиям, которые были указаны выше по отношению к суммам этих рядов.
Преобразуем уравнения (5) к новому независимому переменному ш, полагая (13) при изменении Ь от 0 до т переменное ш будет изменяться от 0 до 2я. Выполняя преобразование переменного, приводим систему уравнений (5) к такому виду: дз5 дИ, 'Р(гь В) о' — = — —, дшз да ' Р(а, Ь) дзч дЫ Р (6, 6') (1 з) 14 оз Ч ди4 дЬ В (а, Ь) Система уравнений (6) и (14) будет положена в основу решения нашей задачи. Подставим ряды (8) — (10), (12) в уравнения (6) и (14); сравнивая коэффициенты при различных степенях е в обеих частях этих уравнений, приходим к следующей системе уравнений для определения коэффициентов указанных рядов: д%„; да4 (15) (16) д5 дна а+ а да дЬ (17) (и=1 Интегральное условие (7) приводит к следующей системе условий, а — з Е" )=а а — з о, з=о ) =-1 дЬ З~ З Р(а,а) з=1 Е " ' ВЯ),ч„;) В(а, Ь) ,2,3,...).
(8) (9) (10) (11) (12) К 9. козФФицикнты индов, опгвдвляющих стоячив волны 667 которые должны выполняться при любом значении и: к (Чи+Ч~-~ д, +Ч~-к д,' -',- +Чк д, ) аа = ( ) — ~к (а=1,2,3,...). я 9. Вычисление коэффициентов рядов, определяющих стоячие волны Дадим индексу и в уравнениях (15) †(17) з 8 значение 1,получим систему уравнений первого приблия1ения дк»„дя, о4~„дУ, дик да ' джь дд — + — = О. д», дЧ, да дд (2) Из уравнений (1) и (2) получаем уравнение Лапласа для функции Н,: дь77, ьь77„ дик,, дьк Возьмем решение этого уравнения, обладающее периодом Х по отношению к координате а и периодом 2я по отношению к переменному и: Н, =- ек' соя йа я1п и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
