Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 97
Текст из файла (страница 97)
I 9 з 769 з 8 192 (32) 1 в, исслкдовАнин лОРЛА Рзлея 855 Отсюда имеем ее " = ай — — (ай)в — —,(ай)в, (зз) Внося в уравнение (31) величину ай вместо ее в~, получим у = —, ~ — фв + — (ай) — — (ай) ) + а соя йх + 24 (ай) ) соя 2йх + 17 155 — (ай)в ) соя 3йх + 125 + Зй (ай) соя ййх + 584й (ай)'соя 5йх. (34) Подставим значение ее в~, определяемое формулой (33), в форму- лу (29), получим св = — 1 + авйв + — авйв) . (35) Сопоставляя эту формулу с формулой (14), устанавливаем, что добавление к функции тока (3) двух дополнительных слагаемых — з е ввеввсоя2х и — е е в'еввсоя Зх в в 2 12 значительно увеличивает степень точности получаемых результатов.
Отклонение давления от постоянной величины при функции тока (19) на два порядка по отношению к ее в меньше, чем для функции тока (3). Имея в виду крайне незначительные отклонения давления — — Фе от постоянной величины (например, при зе ' = 0,1) для функции тока (19), Рзлей мог утверждать, что эта функция тока действи- Это соотношение связывает скорость потока с длиной волны Х = 2яй и с ее амплитудой а.
Если величины е и й будем считать данными, причем е') д1й, то из формулы (35) можем определить ай и затем найти иа равенства (33) величину фв; параметр е можно заменить параметром а (считаемым данным), используя последнюю из формул (2). Таким путем моявет быть установлена формула, аналогичная формуле (18) и определяющая то значение функции тока, для которого линия тока будет открытой поверхностью жидкости. Вернемся к формуле (24); для рассматриваемой функции тока зта формула может быть переписана, с точностью до шестой степени параметра зе в, на основе равенств (29) и (30) так: — = С+ — я е-ю соя х. Р 8в в- в р Зй гл. у. твогня волн конвчнои ямплитгды бзя тельно дает установившиеся периодические волны конечной амплитуды.
В статье, относящейся к 1917 г. (172), Рэлей дает еще более точное решение задачи, добавляя к функции тока (19) еще два члена: ,в„-4Ф яте-яэ 72 — е4е соя 4х+ — е'е соя 5х. 4ЯО Выполнив изложенное здесь исследование, Рэлей решил вычислительным путем задачу о волнах установившегося вида и высказал пожелание, чтобы эта же самая задача была решена строго математически и тем самым было бы устранено мнение, высказывавшееся в свое время крупными математиками, о невозможности существования периодических установившихся волн(90].
я 7. Энергия прогрессивных и стоячлх волн конечной амплитуды Для упрощения записи всех формул при вычислениях придадим этому выражению функции тона такой вид: $ — — аез" соя )сх. (1) Мы будем определять кинетическую и потенциальную энергию массы жидкости, заключенной между свободной поверхностью и двумя вертикальными прямыми я х= — — ' я л и х=— я ограничивающими одну волну. Найдем скорость У частицы жидкости; применяя формулу (1), получаем у' = аякяеы" При изложении теории установившихся и прогрессивных волн бесконечно малой амплитуды были определены кинетическая и потенциальная энергия периодических волн.
Пользуясь найденными в настоящей главе формулами, определяющими установившиеся и прогрессивные волны конечной амплитуды, найдем для таких волы выра'кения их механической энергии. Воспользуемся для этого формулами метода Рэлея. Функцию тока ~р, определяющую движение жидкости при наличии установившихся волн, возьмем в простейшем виде, даваемом формулой (1) $ 6. Опуская в этой формуле слагаемое — су, получаем функцию тока прогрессивных воли, причем переменное х должно быть заменено через х' — ся, где х' — абсцисса в системе координат, связанной с движущейся волной, ф = — ае~" соя (х' — сс).
~ 7 энеРГия пРОГРессиВных и стоячих Волн 657 или, пользуясь обозначениями (2) 4 6, Уз = сэеэсээ Заменим здесь ею его выражением е'Р = (1 + 2ее Р соя х,)е ю, установленным в $ 6, получим У' =- с'я' (1 + 2зе ь соя х )е "'. (2) Кинетическая энергия рассматриваемой массы ягидкости записы- вается так: Т= — 'р 1 )х 1 Уз,)у.
— л л' (3) заменим здесь х, у соответственно через х,й, у,!Й и подставим вместо У' его выражение (2), получим ю Т = Рзсэе' ~ дх, ~ (1+ 2ее-~ соях,)с-аь Иуь (4) у, = — ф, + яе Р соя х,. Приняв это, выполним в интеграле (4) замену переменных, вводя вместо х„у, новые переменные интегрирования $, ~ры полагая х, = я, у, =- †, + яе Р соя $. (5) Переменное $ будет изменяться от — н до н, переменное ~р,— от ~)~э до оо, где $', — значение функции ~, для волновой поверхности. Отметим, что г)х, г) у, = " "' д5 дф, = — ' Й г.й~, = — (1 + яе-~ соя $) И$ офн йй, чч) э( Отсюда формула (4) перепишется так: л Т = 2— ,с'я' ~ н~, ~ (1 + 2ес-Р соя я) (е-'Р -)- зе-эР соя 5) д$. 2И о л Ф, Внутренний интеграл равен, с точностью до первой степени я Уравнение линии тока в переменных хы уы ф, записывается сле- дующим образом при взятой точности подсчетов: гл.
ч, теогпя волн 1соне'1ЛОЙ Амплитуды сля включительно, 2ле оо; отсюда получаем Т = — 'Р со со ~ е-'"" Йсрг. оо 1 Выполняя интегрирование, имеем о лр Т = — с'сое 2оо о При взятой точности подсчетов величина зе ' равна произведению амплитуды волны а на число Й: о зе 1 = асс.
Следовательно, предыдущая формула может быть переписана так: Т= — ас. лр 2 (6) Подставим сюда вместо с' его значение тогда получим окончательное выражение кинетической энергии прогрессивной волны с точностью до второй степени отношения ее амплитуды к длине: Т = — уранао(1+ — „, ). (7) Интересно отметить, что формула (6) повторяет, по своему виду, формулу для кинетической энергии прогрессивной волны бесконечно малой амплитуды. Найдем затем потенциальную энергию прогрессивной волны И 1" П =: ру ~ 11х~ усоу. (8) — сс о Выполняя внутреннее интегрирование в формуле (8), получаем юо П = — рд ~ Узах. 2 — о!о Интегрирование по у берется от среднего уровня жидкости, принятого за ось Ох; величина У, стоящая в верхнем пределе внутреннего интеграла, есть ордината волновой поверхности, соответствующая абсциссе х.
Пусть будет У = В,совах+ Весов 2ах+ Во соз Зйх+... 7 7, ЭНЕРГИЯ ПРОГРЕССИВНЫХ И СТОЯЧИХ ВОЛН 559 Подставим сюда вместо У его разложение (9), получим ла 7 П = — рз ~ ~ ~В В„созт/гхсозп/гхпх, 2 — ЛМЛ7=1Л=1 или, пользуясь свойством ортогональностн тригонометрических функций, ы П = — рд ~~, В,„~ соз~т/сх71х.
п~=-1 — Юэ Выполняя интегрирование, получаем общую формулу для потен- циальной энергии: П = — 'рд),~" В'. 4 В 9 6 было дано уравнение установившейся волны в форме (18). Применим это уравнение к данному случаю, учитывая лишь третьи степени числа а/7. Имеем Вт = а, Вэ = вэ (а/7)' Вз (а/1) ° Подставим эти коэффициенты в общую формулу для П, получим 4рл'С+ 4 у 64(л) Сравнивая это выражение потенциальной энергии с выражением (7) кинетической энергии, видим, что кинетическая энергия прогрессивной волны конечной амплитуды превосходит (для достаточно малых значений отношения а/)1) потенциальную энергию этой волны. Полная механическая энергия Е прогрессивной волны, взятая для одной волны, имеет значение Е = — рд)1~'[1+— с точностью до вторых степеней отношения а/Х.
Обратимся теперь к вычислению кинетической и потенциальной энергии стоячих волн конечной амплитуды. В основу этого вычисления будут положены формулы 99 6, 7 гл. 1, определяющие движение жидкости с помощью координат Лагранжа. Рассмотрим массу жидкости, заключенную между двумя вертикальными прямыми х = — )1/2 и х = Х/2,' ограничивающими вместе со свободной поверхностью объем жидкости в одной стоячей волне, 660 Гл.у.
Теогия ВОлн конечнои Амплитуды Кинетическая энергия этой массы жидкости записывается, как и выше, в виде формулы (3). Введем в эту формулу вместо переменных интегрирования х, у новые переменные а, Ъ, являющиеся лагранжевыми координатами произвольной точки рассматриваемого объема жидкости. Новые переменные а, Ь и переменные х, у связаны аависимо- стями х =- а + 5 (а, Ь; «), у = Ь + 4) (а, Ь; «). (10) При изменении х, у в пределах — //4< х< //4, —" < у< 1', где У вЂ” ордината свободной поверхности, отвечающая абсциссех, переменные а, Ь будут изменяться в пределах — я//4 < а < яl/4, — оо < Ь < О. д6 дЬ 1 -'-— д4 да 0(х, у) 1+— дч дЬ дч да Но выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю (см.
$ 8); таким образом, функциональный детерминант преобразования (10) равен единице, и благодаря этому формула (3) для кинетической энергии может быть записана так: а а!4. т= —,' р ~ «Ь ~ Ь' « . хи (11) На основе формул теории стоячих волн выражение ух может быть представлено так: (12) Функции $ и т) изображаются рядами, расположенными по степеням малого параметра е: $ = е$, + е4$ -(- еа~ + еах. (13) т) = ет)4 + е'4)4+ с~4)а + еат)4 + При изложении теории стоячих волн будут определены значения тех коэффициентов этих разложений, которые здесь выписаны.
Функциональный детерминант преобразования (10) имеет следую- щее выражение: 661 о 7. эиеРГия НРОРРессивных и стоячих ВОлн Таким образом, с точностью до четвертой степени параметра е включительно, будем иметь В первом разложении опущено слагаемое с $„так как $7 == О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
