Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Выполнив эти действия, получим, после сравнения коэффициентов при зз, е', 52) ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ е" в обеих частях, такую систему уравнений: 2 1 2 1 2 1 б 1010в20 1010 = 2 0)20 2 в10 + в100)13 + 2 Гов10 2 (34) (35) 2 3 о 1 2 в)0 012 + 2 0)101020вза + ~в)ав12в)0 2 1020 в10в12 = 1 2 1 2 3 2 2 вз + 0) звзо + 1))осо)1 +, вж в)оо)зов 2 0 -' " 2 4 ) 3 1 2 2 в)оо)и+ 2 взора+ в)ав)3Го+ 2 0))о(2. (36) Из уравнения (34) следует, что *) 0)10 подставляя это значение в,а в формулу (30), получаем 9 в)о =1, 1020= 2, взо = —, (37) 32 625 324 В)0 = — Вбо = С)00 3'24'5 Уравнение (35) принимает теперь такой вид: 1 в, + 2 1, =-О. (36) Возьмебг уравнения (31), (32), (33), заменяя в этих уравнениях в,а единицей, а в„через — 1/2 Га; получим 145 45 в„= 9 — 6Го созз = — — — Га, 4 2 Пользуясь полученными результатами, можно переписать уравнение (36) в такой простой форме; 3, 3 1 32 — Га + — Га — сом — — Гз = — ° 8 2 2 8 (40) Обратимся, наконец, к уравнению (11).
Это уравнение приводит, после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях е, к двум таким уравнениям: в)0Га = 2, 1 (41) 9+ 4о)12+ 2 взз = 2Го+ о)жра+ Гз. а) Если принять в,а = — 1, то при положительном аиачеиии параметра е пад точкой х = О будет не гребень волны, а нижняя точка долины волны. При дальнейшем исследовании формы волны достаточно ограипчиться предположеиием, что вб = 1 и е ) О. 1 и втогой аглтод стокса Из первого уравнения вытекает, что Го = 2; далее пз формул (38) и (39) получаем 35 455 оааа = — 1, юаа = — 3, оааа = — 4, оааа = †.
(42) 18 Уравнение (41) дает затем значение коэффициента Г,: 3 Г,= —. 2 Возвращаясь к уравнению (40), находим из него 7 оаы = — —. 8 Рассмотрим, наконец, уравнение (23); это уравнение дает на основе предыдущих вычислений значение коэффициента юаа: 2 оааа = — —. 3 Таким образом, все коэффициенты разложений (20) найдены, н теперь можно написать такие формулы: 7 ю, =- е (1 — еа — — е' +...~ 2 юа = за (2 — Зе' — — е' -(-... ), 3 (2 4 +''')' Г =- еа (2+ 2 +''')' (43) Возьмем последнюю формулу и заменим в ней величину Г ее зна- чением (17), получим са = — (1+ еа+ — з ). 87а I 3 2я (, 2 (44) <о„= е(1 — е — — е ) 7 8 Это есть формула, определяющая скорость прогрессивной волны по ее длине 7 и по относящемуся к ней параметру з. Коли в формулы (2) мы подставим вместо коэффициентов оа найденные их значения (43), то определим весь поток жидкости.
Полагая в этих формулах р = О, найдем параметрические уравнения профиля установившейся волны конечной амплитуды. Дадим уравнения этой волны, беря в качестве параметра не величинуз,аю„. Из формулы Гл. у, те Огня волн копвчпоп амплитуды (45) легко находим я как функцию о,; имеем 2 31 4~ я =' о1(1 + о1 + 8 о1) . Подставляя зто значенпе я в формулы (43) и обозначая о, через Ь, получаем оо = Ь' (2 + Ь' + —. Ь '), оо = Ьз ( — + — Ь'), 32 313 625 ; 324 о, = Ь'~ —.-~- — 'Ь'), о, = —,Ь', о, = — Ь'.
Рв 24 ' 5 Из формулы (3) находим оо = — —,(Ьо+ 2Ь'+ — Ье) Внося зти значения величин о в разложения (2) и переходя к ко- ординатам х, у, записываем параметрические уравнения волны: х = — — (а + Ь я1п а + — Ь (2 + Ь + — Ь ) яш 2а + Х ( ° 1 ог 29 4~ 2я 2 6 + — Ьз ( — + — Ьо) я(п 3а+ — Ьз ( —, + — Ь') зш 4а+ 3 ~2 14 ) 4 (3 18 ) 125 . 54 + 24 6'яш 5а+ 5 Ь'я1пба), у = —,( — — Ь' (1+ 2Ь'+ — 'Ь')+ Ьсояа+ 2я ( 2 (, 4 3 (2 4 + — 64 ( — + — Ьо) соя 4а+ — Ьо соя 5а + — Ьо соя ба~ .
(48) 1 4 232 313 о1 125 о 54 о 4 ~3 18 24 5 Перепишем формулу (44) для скорости с в зависимости от нового параметра 6, найдем с' =+(1+ Ь'+ — Ь'). (47) Полученные уравнения волны повторяют, но с добавлением чле- нов пятого и шестого порядка, уравнения, найденные Стоксом. Выведем некоторые следствия из полученных результатов.
Положим в формуле (4б) переменное а равным нулю, в резуль- тате получим ордннату Ь, высшей точки гребня волны: 61= — [(Ь+ — Ь + 24 Ь)+( Ьь+ 6 Ь + ~ Ь)) ° (48) Положим затем в той же формуле а = я; после подсчетов получим ординату низшей точки долины волны: (49) 1 2. ВТОРОИ МЕТОД СТОКСА Назовем амплитудой волны а полусуыму величин йг и ( — Ьг); найдем а= — ~Ь ( Ьз ( Ьь) з 133 ьь 2л ~ 2 24 ) ' Определим отсюда Ь в зависимости от а, получим Подставим это значение Ь з формулу (47), получим тогда выражение скорости через длину и амплитуду волны: с — — [4-2-( — ) + — ( — ) 1.
Из формул (448) и (449) можно вынести заключение, что высота Ьг гребня больше, неягели погружение ( — Ь,) низшей точки долины волны: 13 4 Н37 Ь ( Ь ) Ьг ) Ь4 + Ьз 43 = ( ~. ) + 3 ( ~ ) + 4 ~ — ) )0 (50) Приравнивая нулю ординату у, находим значения переменного и, отвечающие двум точкам пересечения волны со средним уровнем: 1 3 а= — л — — Ь+... 2 2 1 3 а= — — л+ — Ь+... 2 ' 2 Значения х, отвечающие этим числам и (т. е. абсциссы точек пересечения волны со средним уровнем), будут Х (1 1 4 Х (1 1 2Ла х= — — ~ — л — —,Ь) = — — ~ — л — —.— +...), 2л ~ 2 2 ) 2л ~ 2 2 Х Х ( 1 1 1 Х ( 1 1 2ла 2л ~ 2 2 ( 2л (, 2 2 Х Из этих формул выводим заключение, что ширина возвышающейся над средним уровнем части волны, равная Х(2 — а, меньше ширины долины Х(2 + а.
Сопоставляя это заключение с формулой (50), приходим к выводу, что низшие части волны имеют более пологие очертания, нежели высшие. Вернемся к уравнению (4) и положим в нем у = О, получим К =- с; таким образом, скорость частицы жидкости при пересечении среднего уровня равна скорости потоков в бесконечности. Проинтегрируем обе части уравнения (4) по х от — )ь(2 до )ь(2; мы получим тогда следующий результат, указанный 626 гл.ч. ТКОРия ВОлн конечной Амплитуды Леви-Чнвита: м2 ра1 я й — ма Итак, среднее аначение квадрата скорости частиц жидкости, текущих по ее поверхности, равно скорости потока в бесконечности.
Возьмем формулу н, пользуясь формулой (5), перепишем ее так: -Ф" =( — '.")' -( —:.")' Составим по формулам (2) правую часть этого равенства, получим ( — ~) + ~~~) = 1+2 у ю„е-а" созтх+ ~~~~ ю„'е-'а" + и=1 и=1 + 2 ~~) ~~~ ю„ю,„е-а<" +'") соз (и + т) а. п=1 т=г Подставим это разложение в предыдущую формулу и результат проинтегрируем по а от я до — я, т. е.
вдоль всей линии тока (1= =сопзэ в пределах волны. Выполнив вычисления, получим Т = Х (1+ Е щ2 за" ) . а=1 (51) Частица жидкости, находящаяся на большой глубине, проходит расстояние между двумя вертикалями, проведенными через две последовательные нижние точки долины волны, в течение времени Т, = й!с.
Формула (51) показывает, что частица жидкости, сЛ описывающая линию токаф = — р, проходит расстояние между 2к взятыми двумя вертикалями в течение большего промежутка времени. Этот промежуток времени Т отличается от Т, тем больше, чем меньше величина р, т. е. чем ближе взятая линия тока к свободной поверхности жидкости, (1 = О. Так как основное течение направлено слева направо, то отсюда вытекает, что в жидкости устанавливается стоксово течение, идущее справа налево.
Это течение имеет заметную величину лишь у поверхности жидкости, как это следует из присутствия показательного множителя в общем члене ряда (51). $ 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА 627 Переходя от установившейся волны к волне прогрессивной, замечаем, что при своем движении эта волна создает в направлении своего распространения некоторое добавочное течение во всей жидкости, но сколько-нибудь заметное лишь у поверхности жидкости.
Наиболее полное определение волнового течения с помощью второго метода Стокса было сделано Вильтоном )205). Приведем значения коэффициентов рядов (2), дапяые Виль- тоном; пользуясь принятыми памн обозначениями, имеем аь =. Ь, Ь2 + 0 5Ь4 ) 2 417Ь2 + 15 59752 + 64 08Ьш ф =- 1,5Ь'+ 1,583Ь'+ 8,215Ь' + 55,01Ь', "4 2 66752+ 4 347Ь'+ 24 01Ье ь 166 2Ьга 4 —" = 5,208Ь' + 11,53Ь'+ 67,40Ь', — ' = 10,8Ь'+ 30,26Ь'+ 186,5Ь", —,' =- 23,34Ь' + 79,20Ь'+ 498,3Ь", — ' = 52,01Ь'+ 207,4Ь" -)- 1390Ь", ф = 118,6Ь'+ 543,4Ь", — "," = 275,6Ь" + 1426Ъ", —" = 649,8Ьы —" = 1551522, /1 ' ' 12 — = 1+ Ь'+ 3,554+ 19,08Ь'+ 154,7Ь'+ 12975".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
