Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 87
Текст из файла (страница 87)
1П для получения формул, определяющих волновое сопротивление судов типа Мичелля при их установившемся движении, легко приводят к формуле, устанавливающей волновое сопротивление таких судов при их неустановившемся движении. Для получения этой формулы рассмотрим сначала вспомогательную задачу о неустановившемся движении источника дебита Д (1), перемещающегося со скоростью с (1) под поверхностью жидкости. Свяжем с движущимся источником прямоугольную систему координат Охуз, начало которой поместим в проекцию источника на плоскости невозмущенного уровня, а ось Ох направим параллельно скорости источника.
Обозначим через ~р (х, у, з; ~) потен- «) Рис. 66 даи редакторами. (Прим. рад.] 1 !о. дВижение источника под пОВеРхнОстью жидкости 599 Пиал абсолютных скоростей, записанный в координатах, связан- ных с движущимся источником. Б з 13 гл. 11 было показано, что функция ф удовлетворяет на поверхности жидкости следующему граничному условию *): Представим функцию ф в следующем виде: !1151 ф= — ( — — — )+ — Ф(х, у, г; с), 4Я (,СС, Яв) 4 (2) где Л! = )/ хв + ув + (г — 9)', Л, = )с х' + ув + (г + ь)'; здесь с",( 0 — третья координата источника.
Функция Ф (х, у, г; 1) — искомая гармоническая функция в :нижнем полупространстве. Для определения этой функции отметим формулы вв х () ссй ~ е-ксв-Ы)вск!хсов авив!по)с)0 1 й! 2я О -х (3) ов х ) ссй ~ ексх~х) ы!хсовв+У в!ио))10 1 йв 2я о Будем искать функцию Ф в виде следующего интеграла, содержащего неизвестную функцию А (й, 8; 1): вв х Ф = — ~ й с)й ~ А(й, 0; С)ек!хвх)+ск! .ахов!по)с20 (4) 1 2я Подставим эту функцию в граничное условие (1); получим, пользуясь формулами (3), и й ссй ~ ~ — „— 21йссозΠ—, +(яй — с'й'соз'0 — сйс'созО)А— Г двА . дА о — х 2д~)~ ексвскСх сов вве вси е)сСО 0 Отсюда получаем дифференциальное уравнение для определения функции А: двА дА д„— 2ейс соз 0 — + (дй — с'й' соз' 0 — Йс соз О) А = 2д~).
дс *) Это условие было установлено для плоских движений, но самый вывод его переносится беао всяких иаыенепий и иа пространственные движения, надо лишь заменить у иа в, 599 гл. [у. ИеустАновившиеся ВОлнОВые дВижения Введем вместо А новую неизвестную функцию В, полагая В =- А ехр [ — йг ([) соз О], где з([) = С)с сМ. е Для функции В получаем уравнение — "'~+ИВ= В(д 0).
Интегрируя это уравнение, находим В = С1(/с, 0) соз ]Гф[+ Сз ([с, О) з1п ]/суй + + — [ Р'(т, О) з[п []' бТс(г — г)] с[т, Ухе 2 где Р ([, О):= АД ехр [ — йг ([) соз 0]. Вернемся теперь к функции А и составим выражение (4) потенциала скоростей Ф = Ф1+Фз+ Фз (6) полагая 0 х Ф ( й сов ]Г~ф[ЦД ~ С ([с 0)ее[енине[оеесссеес[зеЩ 2я,) х О х Ф = — [с з[п )~ 4[2[ с[А Сз ([с 0) ее(х+СН12[(х+х>ссс сеи мс е[с[0 2я 2 1 с х О л Ф ~ се(21Ы+12[[хи)ссх 212 2!а 2[1[0 хс е [«[А 2= — )= 2Я )/'ЗА (7) ~с ~ Р(т, 0) з1п [)гдов ([ — т)) с[т.
с В этом общем выражении потенциала скоростей остаются неопределенными функции С, (12, О) и Сз (12, 8). Эти функции могут быть определены из дополнительных начальных условий задачи. Составим выражение полного потенциала скоростей для начального момента времени; найдем ~р(х, у, 2; 0) = — [ — — — ] + 0 (9) ! [ [1 Л2 ~[с с[я ~ С (12 0)сх[21с[ме[хссхе+емсеЩ (6) 1 е -х ! 1О. движение истОчникА нод нозеэ'Костью жидкости ы) з,р (о, л, =; о) ф (О) ( 1 ! о! 4Н ~Н н / ~ !о '[/б)од,. ~ ( ()О О) О!н+с)!!!!о со О!Оо!ОО! я (О) о Из этих уравнений можно найти с помощью интеграла Фурье функции С, (А., 0) и Со (!о, 0), если известен потенциал скоростей и форма поверхности жидкости в начальный момент времени и, кроме того, даны начальные значения дебита источника и его производной по времени. Предположим, например, что в начальный момент времени жидкость не имеет скоростейи поверхность ее горизонтальна; допустим вместе с тем, что дебит источника и производная его по времени равны нулю прн ~ = О.
В таком случае функции С, (!о, О) и Со (!О, О) будут нулями и потенциал Ф будет состоять лишь из одного слагаемого, а именно из Ф,. Рассмотрим затем движение с другими начальными условиями. В момент времени ~ = 0 жидкость получает скорости, происходящие от потенциала источника и стока, симметрично расположенных относительно горизонтальной плоскости. В этом случае будем иметь !р(х, у, г; О) = — [ — — — ) = О.
1;)(О) / 1 1 4л [, П! Во !'о= — о Следовательно, С, (!о, О) = О. Если, затем, при горизонтальной начальной поверхности жидкости дебит ь) (~) выбран так, что () (~) = О, то будет равна нулю и функция Со (!о, О). Такой случай представляетсн, в частности, если в начальный момент времени источник постоянного дебита ()о получает некоторую скорость с, которую и сохраняет неизменно во все время двнн!ения. При этих условиях имеем Г (й, О) = 2Ще '"" "о, ~Г(т, 0)з!и [)/я)0(~ — т)[о[т = ~ ' [)/дУс(е """' о — сов ~ А!)00) + ойссозОзшфдй![ и потенциал Ф запишется так: Ь $ ЕЕ. ~ Ф оо!оох)о!0[!ооо!!Ооо о+о о!о М ! р' бй [сое (йс! соз О)— — сов[l дИ[ — ! [)!дй з!н()00!созО) — йссозйз1п у бе![) ОО (10) 593 гл. 1ч.
Иеустлновившиеся ВОлнОВые ЛВижения Для дальнейшего нам достаточно будет знать вырах(ение функции для у = О. Полагая в формуле (7) у = — О и пользуясь формулой (5), находим Фз = ~ ~~ = ~ е"*'с) з)п [ [)'дй (( — т)) () (т) дт х я .) ))фс е о Е(а[лез())-з (т)] сез е(я Преобразуем эту формулу, замечая что интеграл ~ Е(8(-. Ш- (в))сс Е,[О 1 Ел -в (11) представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка от й [х + 8 (1) — 8 (ти. В силу этого будем иметь для Ф, такое выражение: Ф, = 2~ [)'дй(й~е н ы з(п [[(дА(1 — т)] 0(т) х с е Х уо(й [х+ 8(1) — 8(т)))((т.
(12) 9 11. Волновое сопротивление судна типа Мнчелля при неустановившемся движении Формула для вычисления волнового сопротивления судна типа Мичелля может быть получена на основании результатов предыдущего параграфа, если воздействие корпуса такого судна заменить воздействием простого слоя источников, распределенных на диаметральной плоскости судна. Плотность простого слоя определяется из условия обтекания поверхности судна.
Пусть уравнение поверхности судна будет у = 1'(х, г) для у ) О, у = — )'(х, г) для у( О. *) Здесь для удобства анан у сизменен на обратный. Согласно 9 20 гл. 111 условие обтекания запишется так е): Чтобы удовлетворить этим условиям, распределим на диаметральной плоскости О корабля простой слой источников плотности (',) = — 2 —,. д! (1) М, ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СУДНА ТИПА МИЧЕЛЛЯ 593 Фо = 8л ')) о[о (9 9) о[9 о[9') Р' Д)с е"("С)сй Х В о Х ~ зш [Р' Я)с (( — т)) с (т) Хо ()с [(х — 9) + г (() — г (т)] ) с[т, о где для краткости записи положим Ел дс д/ (5, ь) Обращаясь к формуле (2) 9 10, получаем полное выражение потенциала абсолютных скоростей в точках диаметральной плоско- сти корабля ор (х, О, г; () = Э '( )/(х о)о ( (о ро -[- 2 ~ ~/ фс ео(о+") с[й ~ с (т) з(п [ [~хд)с (( — т) [ Х о о ХК.[й((* — В)+ (~) — (т))) [)ф(~, ~)[Ь [~ о (о) р' (х — й)о + (о + ь)о (2) Волновое сопротивление, как горизонтальная результирующая сил давления, определится формулой Л = Ц) рао[а.
Интеграл распространяется на всю поверхность корабля. Подставим сюда вместо р и направляющего косинуса нормали к поверхности корабля с осью Ох их значения: (д~р да '1 д( р=р( — — с — ) — ярг, а= — — ° ~до дх( дх ' Применяя теорему Остроградского к интегралу Ц) урга с)О, Возьмем вместе с тем на части О' плоскости Охз, симметричной 5 относительно оси Ох, простой слой стоков плотности (). Обозначим через 9, О, 9 координаты какого-нибудь источника диаметральной плоскости Б и составим выражение потенциала скоростей. Мы будем предполагать, что двия ение судна начинается или без скорости и ускорения, или же судно сразу получает некоторую скорость, которую и сохраняет во все последующее время своего движения.
В том и другом случае потенциал Ф приводится лишь к одному слагаемому Фо. Выпишем для у =- 0 выражение этого слагаемого для всего простого слоя источников и стоков. Пользуясь формулой (12) 9 10 и формулой (1), получаем 594 гл гу. неустановившиеся ВОлнОВые дВижения легко установить, что его значение есть нуль.
Поэтому Л = — р ~~ ( — — е — ) — о[х е[г. В этой формуле интегрирование распространяется дважды на область Я. Будем входящие в подынтегральную функцию производные дадо, д<р/дх брать для у = О. Распространяя интегрирование лишь один раз на область О, получаем следующую формулу для А: Л = — 2р ~~ [ — — с — ) — о(х е[г. Г д<р д<р т д/ (3) [, до дх /о=о дх Подставим сюда вместо ~р его выраяоение (2). Имеем ( —" ,— —",„) =~~ рд,в [и~( о (С) х — с Г'(х — о)о+(о+ 9)о Г[(х — о)о+(о — Ь)о] ' ! „, 1+ 2~ дйео("щей~с(т) соз []/дй(( — т)] х [(х — Г)г Р(о+ 9)о]д» о о Х Хо [й ((х — ь) + г (г) — г (т))] дт); подставляя в (3), получим Л = — Ме+ 8ЯРЯ1Г(х, г)о[хо]гЯоГ(9, 9) о[зо[9~ дйео('оС>о[й Х 3 3 о ! Х ~ с (т) соз [1/ яй (г — т)] Хо [й ((х — $) -(- г (г) — е (т))] о[т. (4) о В этой формуле число М имеет такое значение: М = 4яр~~ф(х, г)о[хе[г~~~ 1 ~'(* — ю+(+и 1р(~'~) ~ ~' и является присоединенной массой корабля при его движении в горизонтальном направлении.
Второе же слагаемое правой части формулы (4) дает собственно волновое сопротивление при условии, что в начальный момент времени и скорость, и ускорение судна равны нулю, а равно и при условии постоянства скорости, полученной мгновенно в начальный момент времени. В этом последнем случае формула (4) может быть значительно упрощена.
! с!. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СРДНА ТИПА МИЧЕЛЛЯ 595 Я = — г! соз [осс ссссо(! — т)[с[т ~ есо[сх-зсзсс !ссзв с[0 2д,) Переменим здесь порядок интегрирования, что даст возможность взять квадратуру по переменному т. Выполняя соответствующие вычисления, получаем сУзс с е ' зс ~ есзсСх-омссуссзв ~ е '" [ е 1,сО ССсссс90+ Ссзв Всссзз — Сс7 ! Подставим зто выражение в формулу (4); найдем, отбрасывая слагаемое — Мс' и выполняя небольшие преобразования, з С' Л = — сер ~ фс с(сс ~ езаассзо ' + ' "с[О )С гессе О+)гз Ассс50 — )У~Я.! о х >х Я
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
