Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 84
Текст из файла (страница 84)
570 гл гу нвустановившився ВолноВыи дВижБния ном месте поверхности жидкости или вблизи точки г = 0 в данный момент времени. В начале координат функция ~ стремится к бесконечности, как 1ф г. Вместе с тем следует отметить, что формула [15) применима для подсчета величины дифракционной волны для углов 0, 'немного отличающихся от я — и и от я + а. Задача о дифракции неустановившихся гравитационных волн была впервые рассмотрена Л. А.
Бойко и решена им путем разложения искомого решения в ряды по функциям Бесселя [2!. Примененный нами метод решения задачи Коши — Пуассона, основанный на рассмотрении разветвленных решений уравнений математической физики, был затем использован Б. И. Себекиным для определения дифракции неустановившихся волн гранями двугранного угла раствора, соизмеримого со 180' [37[. В последующей работе Б. И. Себекин решил задачу Коши — Пуассона для двугранного угла проиавольного раствора и для бассейна конечной глубины; для решения этой задачи были применены методы интегральных преобразований [38]. В этих же работах наряду с задачей Коши — Пуассона были изучены и другие задачи дифракции, а именно задачи о дифракции волн, вызванных погруженными источниками периодического и непериодического дебита. В статье С.
С. Войта дано решение задачи о волнах, воабуждаемых периодически действующим источником, в предположении, что жидкость имеет бесконечную глубину и распространение волн стеснено присутствием вертикальной полуплоскости [5!, [39[. В соавторстве с Б. И. Себекиным С. С. Войт дал решение задачи о дифракции поверхностных и внутренних волн, образованных погруженным источником переменного дебита [6[. й 7. Теория корабельных волн, предложенная Хэвелоком Результаты, полученные в предыдущих параграфах и относящиеся к задаче Коши — Пуассона, имеют интересное и важное применение к определению вида корабельных волн. Теория корабельных волн была изложена в гл.
[11 в полном своем виде; на основании же рассмотрений задачи Коши — Пуассона могут быть установлены главные свойства корабельных волн с большой простотой. Мы иаложим теориго корабельных волн в ее новом виде, следуя работе Хэвелока [109[. Действие корабля на воду заменяется в атой теории действием концентрированных иьшульсов давления, приложенных в точках пути корабля. Точнее: сконцентрированное в общей точке импульсивное давление движется с постоянной скоростью с вдоль оси ОБ из оо в направлении к — оо. В каждый момент времени этот им- о 7.
ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН, ПРЕДЛОЖЕННАЯ ХЭВЕЛОКОМ 571 пульс добавляет частицам жидкости новые скорости к уже образовавшимся ранее. Возвышение данной точки поверхности жидкости над средним уровнем будет представляться в момент времени ~ в виде суммы возвышений, образовавшихся ото всех импульсов, приложенных к поверхности жидкости в промежуток времени от — оо до данного момента 2. По отношению к системе координат, движущейся вместе с импульсом, форма поверхности жидкости не меняется, поэтому для упрощения формул можно считать г = О и положение центра импульса брать в этот момент времени в начале неподвижной системы координат. Предположим, что импульс движется из положительной бесконечности оси абсцисс неподвияоной системы координат. Тогда в момент времени т ( О его абсцисса будет — ст.
Возвышение поверхности жидкости йь в произвольной точке М с полярными координатами г, О, вызванное импульсом, приложенным в момент времени т ( О к точке Р (х = — ст), будет в момент времени е = О определяться из формулы (6) 2 3 в следующем виде е): Л~ = ~ Йае"' в)пот Хо(ЙЛ) дй, опт 2нре о где Л' = г' + с'т' + 2стг сов О. Чтобы найти полное возвышение ь точки И, надо формулу (1) проинтегрировать по переменному т от — оо до нуля; получим о ~ дт ~ ЙЫ'* в)пат Х,(ЙЛ)с)Й. Я (2) 2нрх Преобразуем эту формулу, заменяя в ней .1о(ЙЛ) через юо — ~ сов(ЙЛ совр) о)р; 2 о получим = — ) с)т '1 Йае'* в(пахтой ~ сов(ЙЛ сов~)) а(), — а о о или — оот ~!сае"'~)Й ~ (вш(ат+ ЙЛ совр)+ 2яоре — а о о + вш(ат — ЙЛ сов(3)) сф.
*] аЬ вЂ” возвышение поверхности нпщкости в произвольной точке М аа промежуток времени Ет. (Прим. Род.) ГЛ. ГЧ. НВУСТАНОВИВВВИЕСЯ ВОЛНОВЫХ ДВИЖГвНИЯ и полагая Получим ю = дг/св. з» вЂ” ~ Сф ~ Х ')/ Х Е »1 НХ ~ (ВГВ Я )/ Х вЂ” ХХ СОЗ ))) Ю) + о о о + в)н[$1/ х+ к/совр)со))ф. Здесь принято следующее обозначение: Л = ~/1 + ~в — 2$ соз О. Запишем эту формулу в таком виде: вм 1 = —, ,д а 1ш 1 д$ 1 х )/ х е ".' лдх 1 еьнК " д)Ф— О о о в»»1в В~ 1Ш ( $ ) Х )/Х „, М С)Х 1 ВВ»)»он », Э)О)1 (З) 2явсмр 0 о полагая /,(~ .
1) =~У~ — ~/-з)). / Д, х, р) = $)/х+ХЛсозр. Найдем асимптотическое выражение функции ~ для больших значений параметра с». Для этого мы должны определить экстре- мальные значения функций / и /в для значений переменных $, х, (), принадлежащих области интегрирования (11'). Составим уравнения: д/, с — сов Š— = 1/х — хсовр — О, д/, й д/, . (4) — = = — Асов)3 = О, — '= ХЛв)п~ = О. дх 2 гх дй Решая эти уравнения, получаем две системы решений: $, = — (Зсозб+ )/9созвΠ— 8), 2 (~1 — сов О) ' я,=о; В, =,' (З 9-1/'9 8-8), П 2(Ц,— сов О) ' Придадим этому интегралу новый вид, вводя вместо т и й новые переменные $ и х по формулам $ == — ст/г, х = с'Й/д 7. ткОРия кОРАБельных Волн, НРвдложиннАН хавклОком 578 Отсюда находим = — (2х1яшв — Ь,) = — (О.
Р 9совв — 8 4х„/.в1 2», (6) Для второй системы решений мы получаем такие же формулы, как (5), но с заменой индекса 1 индексом 2. Дискриминант /1 запишется во втором случае несколько иначе, а именно: 'г'9 совв  — 8 (7) 2»в Отметим значение величины Хв = (/1+Я вЂ” 2~всовО = = )// — (3 сояв 0 — 2) — — сов 0 3/9 соя'0 — 8. Таким образом, функция /, ($, х, р) может быть представлена около рассматриваемых систем решений уравнений (4) так: для первой системы — 1 /1(з,х, р) — —,91$/хв+ — х„Ьф— — — ) —,' (5 — К)в в) пв 0 + 2 = (~ — »в)(х — х,) + + — '(х — х1)'1+..., 2хв Отметим, что аначениЯ яг и $в Действительны лишь Дла Углов, косинус которых не превышает по своей абсолютной величине в/в Р' 2.
Эти значения 9, и вв должны принадлежать области инте- грирования; это Н1е может быть лишь в том случае, если угол О находится в промежутке ( — агссоя '/в )/2, агссоя'/, )/2). Для этих систем решений имеем 1 /1($нх, ~ ) = —,Ь )/хн /г($в, х, ~в) = — Ь)/х Для первой системы решений получаем д'/1 х1 в о до/1 1 д'/1 Ь1 д»в /,в ' д» дх 2 )Гх ' дхв 2х —.,' =НА — '= — '=О, дв/, дв/, дв/1 д(1в в н д» д)1 дх дй (5) где Ь1 = )/1+~„'— 2$гсовО = 1/ — (ЗсоввΠ— 2)+ —,сов01/9соявΠ— 8. У 2 2 574 гл. 1у. нвустановившився волновык движвння для второй системы 1 — 1 Л Я, к, й) = —, 2, р' ., + — к,т„()— — — — $ — $я)'81п О+ 2=(з — $2)(к — хз) + зз з ' 3 1 2 ~ г,з 2р"к, + — '(к — х,)'~ + 2за 2 Возьмем первый из тройных интегралов формулы (3).
На основании известных правил нахождения асимптотических выражений кратных интегралов первый член асимптотического разложения рассматриваемого интеграла для больших чисел го будет состоять из суммы двух слагаемых, вычисляемых отдельно для первой системы решений уравнений (4) и отдельно для второй системы решений тех же уравнений. Первое слагаемое будет ек1 г — — е — 1 «,'г~ х, иге'* е' Х Х ~ о$ ~ дк ~ ехр~ — — ( — 'Дз1а'О+2 Зя+ — — о г + — 'кз)1е ' др второе слагаемое будет е», к, х,е '.
"е' Х Х ~ г$ ~ Их ~ ехр~ — '~ Р— "$'з1взО+ 2 $к + — о з +фи )|е Интегрирование по переменному () моягет быть выполнено, благодаря чему вместо этих выражений получаем соответственно такие: — .г — г .ех л — ио~1т м,+ — м — я к, — ез а е" Х 2аЬ~ Л„з1 г Х ~ ($ ~ ехр~ — — '~ — '$'з1паО + 2 ~м + г'"" )1 ) (О) — Π— О 1 1 7.
теОРия кОРАБельных Волн, ПРВдложеннАя хэВелоком 575 Х вЂ” иост м + — 1 — м Х ~ 41$ ~ ехр~ — —,( — З зш О+ 2 ах+ — '~ 44х. 2 2 ' 2 2 у'хм зхм ) 2 (9) Для вычисления этих двойных интегралов применим формулу для АС вЂ” Вз) О, а УАС вЂ” В2 2х для Б2 — АС ) О. а )ГВ2 — АС мм à — — (Ас'+2вам+Смч ) е - '4(з44х = Получим для величин (8) и (9) соответственно такие значения: 1. — 1 хх1 I х — 1мз, Ум1+ — 1 е' 4 а'" м' 2В1! А ! (10) ХХ1 Х 1нм т м — — м1 — ~/ — е' 4 е Таким образом, первый тройной интеграл формулы (3) будет равен сумме этих двух величин. Рассмотрим затем второй тройной интеграл формулы (3).
Система уравнений для вычисления асимптотического выражения этого интеграла будет — = )1гх + хсозр " дз ь — = =+ Ьсоз(3 = О, д22 дх 2 1Гх =О, — = — хЬБ1п)1 = О. д12 др + соз( — 0$2 ) х2+ 4 )1 (11) Второе из этих уравнений не имеет решений, принадлежащих области интегрирования; поэтому рассматриваемый интеграл будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении а быстрее, чем а '*.
Таким образом, основную роль при определенин ь для больших значений а играет первый тройной интеграл формулы (3). Составим теперь окончательное выражение величины используя формулы (10), находим Гл. ту. неустлновившиеся Волновые движения 576 Различные величины, входящие в эту формулу, выражаются через тригонометрические функции угла О: Л1) Ь~) = — созтО)71 — 8 [де О~/1+ 4[деО+ $'1 — 8[деО, Ьебе = — соз'0~'1 — 8[,де О~ 1+ 4[деΠ— Рг1 — 16,: 6 ~,ргх, = [3+ )/1 — 8[яеО)ф 1+ 4[яеΠ— р'1 — 8[нтО, эе)'ке = .
' [3 — )71 — 8[яеО) ~' 1+4[деО[-)/1 — 8~дтО' Полученные формулы полностью совпадают с теми асимптотическими формулами, которые были найдены в з 12 гл. П! для корабельных волн, развиваемых движущейся областью внешних давлений. Отсюда вытекают все следствия, которые были получены в з 13 гл.
Н[ при детальном изучении вида корабельных волн. В частности, первое слагаемое формулы (11) определяет поперечные волны, второе — продольные волны; эти волны существуют внутри угла, равного 2 агссоз (е7а 'у' 2) = 38'50' и симметрично расположенного относительно пути импульса. Подробное исследование асимптотической формулы (11) показывает, что зта формула определяет волновую поверхность для болыпнх значений г внутри угла (19'28' — з, — 19'28' + е) и вне узкой полосы, симметрично расположенной относительно пути движения импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
