Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(4) Определение потенциала скоростей, удовлетворяющего граничным и начальным условиям (1), (2), (4), может быть приведено к решению некоторого интегрального уравнения. Найдем сначала собственные колебания жидкости с потенциалом скоростей гр(х, у, з; Ь) =-$(х, у, г)соз(ОГ+е). Гармоническая функция гр (х, у, з) должна удовлетворять усло- виям: ~й~ — ~ = 0 на стенках сосуда Х, аа д<р оз — — — гр = 0 на среднем уровне аь дд Обозначим через 6 (М, Р) функцию Грина задачи Неймана для области Х), ограниченной стенками Х сосуда и средним уровнем ю свободной поверхности *). *) Функция Грина задачи Неймана есть интеграл уравнения Лапласа, правильный во всех точках области Р, аа исключением одной точки Р с коор- динатами а, Ь, с.
Вблизи етой точки функция Грина имеет следующий вид: Р— т +Н, Ьг(х — а)з+ (у — Ь)з + (з — с)з где Н вЂ” гармоническая функция переменных х, у, з и переменных а, Ь, с во всей области Р. В точках поверхности Х + ю производная функции Грина, взятая по внутренней нормали, имеет постоянное значение, равное 4я/А, где А — пло- щадь поверхности Х + еь Интеграл 11 Сао В+а есть постоянное число, не зависящее от координат а, Ь, с параметрической точ- ки Р. Соблюдение етого последнего условия обеспечивает симметрию функции Грина относительно двух из трех переменных з, у, з и а, Ь, с.
556 ('л. ту. нйустаковившийся волновыв двишиниа С помощью этой функции искомый потенциал скоростей запишем так: Е+ или, пользуясь условиями (5), <р(а,Ь,с) = — ~~6708. (6) Эта формула дает значение потенциала 7 во всякой точке Р (а, Ь, с) области Р.
Устремим теперь эту точку к какой-нибудь точке Р, (а, Ь, 0) среднего уровня жидкости. При стремлении точки Р к точке Р, границы ю можно заменить интеграл правой части формулы (6) его прямым значением, взятым для точки Р„так как та особенность, которой обладает функция 6, совпадает с особенностью потенциала простого слоя, предельное же значение потенциала простого слоя равно его прямому значению в точке границы. Таким образом, формула (6) дает после перехода от точки Р к точке Р„ такое уравнение: 'р(а,Ь,О) = 4 ~~6(х У,О;а,Ь,О) р(х У)((хЙУ (7) Функция 6 (х, у, 0; а, Ь, 0) симметрична относительно двух пар переменных: (х, у) и (а, Ь); следовательно, для определения значений потенциала 7 в точках среднего уровня получается однородное интегральное уравнение Фредгольма с симметричным ядром. Это уравнение имеет бесконечное число действительных фундаментальных чисел *) (8) оюпэ сз.
и отвечающих им фундаментальных функций 7г (а, Ь), 7а (а, Ь), 'рэ (а, Ь),. (9) т= ' 11-дф„. Е+х применяя граничные условия (б), придаем этой формуле другой вид: Т = — (( ~ртох ау. 2д Отсюда следует, что ст ) О и, следовательно, все фундаментальные числа (8) действительны. *) Фундаментальные числа уравнения (7) положительны. Действительво, рассмотрим кинетическую энергию Т жидкости: 1 1. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНАХ 537 Эти числа и функции определяют свободные колебания жидкости в рассматриваемом сосуде.
Формула (7) дает возможность найти соответствующий потенциал скоростей во всем сосуде. Составим из фундаментальных функций ряд с неопределенными коэффициентами С„и фазамп е„: ~ч~ С фп1(х, у)сов(о„11+ е„), в=1 (10) и определим эти величины так, чтобы построенный ряд изображал функцию, удовлетворяющую начальным условиям (4). Предположим, что функции 1' (х, у) и Р (х, у) могут быть представлены абсолютно и равномерно сходящимисн рядами по ортогональной системе фундаментальных функций; положим Пх у) = Х Ю (х у) Р (х, у) =,Я~ Р„ф„(х, у).
п=1 Легко видеть, что ряд (10) будет изобран1ать функцию ф (х, у, 0; 1), удовлетворяющую условиям (4), если коэффициенты С, и фазы е„ находить по формулам рС„сов е„= Г„, С,о„вш е„= — — Р„. При этом условие функция ф (х, у, 0; 1) запишется так: ф (х, у, 0; 1) = — ~ Р„ф„(х, у) сов о„г + у ~~> —" ф„(х, у) вш о„г. 1 а 1 а=1 1„7„(х, у) сов о„1 — — гр фЄ7„,(х, у) вш о 1, (11) т 1 и выражение потенциала скоростей во всей жидкости, ааполняю- щей сосуд: С ф(х, у, г;1) = — „~~6~ — 1~1,о'„Р„ф„(а,б)сово„1+ О> а=1 + у ~ о„1„ф (а, б) в1п О„1~ да ЙЬ. и=1 Отсюда получаем уравнение поверхности жидкости для любого момента времени: 538 гл, гч.
неустхновившиеся ВОлнОВые ЛВижения 5 2. Интегро-дифференциальное уравнение Адамара Задача о колебании жидкости в сосуде конечного размера может быть приведена, как показал Адамар, к решению некоторого интегро-дифференциального уравнения (106!, [107]. Допустим, что некоторая масса жндкости, содержащаяся в сосуде, совершает под влиянием силы тяжести малые колебания около своего положения равновесия. Рассмотрим гармоническую функцию 1 д<Г(х, у, М С] 2=— дс построенную исходя пз потенциала скоростей ~р (х, у, г; с). Эта функция удовле1воряет следующим граничным условиям: 2=-~(х, у; с) при я=О, ех (1) — = 0 на стенках сосуда.
дп Эти условия приведут нас к уравнению для функции ь. Для определения функции )( по условиям (1) введем в рассмотрение функцию Грина 6 (М, Р), определяемую следующими условиями: 1) функция 6 (М, Р) двух точек М (х, у, з) и Р (а, Ь, с) удовлетворяет по координатам каждой из этих точек уравнению Лапласа; 2) вблизи точки Р функция 6 (ЛХ, Р), рассматриваемая в зависимости от переменных х, у, з, имеет следующий вид: 6(ЛХ, Р)— + ХХ(М, Р), р (х — а)з+ (у — Ь)з + (г — с)т где Н вЂ” гармоническая функция переменных (х, у, з) и переменных (а, Ь, с); 3) на поверхности Х удовлетворяется граничное требование ~Ы вЂ” =0 дп 4) па плоскости з = 0 6 (ЛХ, Р) =- О. Эти два последних условия относятся к точке ЛХ. Функция Грина, удовлетворяющая этим условиям, может быть определена через функцию Грина, решающую задачу Неймана. В самом деле, построим поверхность Х', симметричную поверхности Х относительно плоскости г = О.
Поверхности Х и Х' ограничат некоторый объем К Обозначим через у (М, Р) функцию Грина, разрешающую задачу Неймана для объема $", и составим разность у(М, Р) — у(М, Р), (2) 540 гл. ау. Иеустанонившиеся ВолноВые дВижения Но в силу определения функции )( и условия (1) э 1 имеем Отсюда уравнение(3) запишется так: ~~«" ( — "") (5) Это есть уравнение Адамара для определения формы свободной поверхности жидкости, обладакащей яеустановившимся движением. Если жидкость занимает все бесконечное полупространство ниже плоскости г =- О, то уравнение (5) значительно упрощается и приводится к уравнению в частных производных четвертого порядка. В рассматриваемом частном случае можно принять, что функция у равна ((х — а)' + (у — Ь)' 4- (з — с)а)-''ь Отсюда уравнение (5) приобретает более простой вид: О Для дальнейшего преобразования этого уравнения рассмотрим вспомогательную гармоническую функцию ар(а,Ь,с;с)= —— 1 д ('( ~(х,у;а)дхду 2Я дс Э,) У'(х с)а+ (у 5)а )- са ) изображающую производную по вертикальной координате с по- тенциала простого слоя плотности Ь!(2н), распределенного на плоскости г =- О.
Функция ар (а, Ь, с; с) стремится к ~ (а, Ь; с), когда переменное с стремится к нулю по отрицательным значени- ям; это вытекает из свойств нормальной производной потенциала простого слон. Заметив это, рассмотрим следующую гармоническую функцию переменных а, Ь, с: (' К " ') = даа + К д . дас(а да(а При стремлении переменного с к О функция с) стремится к нулю. Действительно, /дай дф ~ !аш ( —. +д — ) = ,(,дн дс) = ) Х, да ( Ь(х у а)ах с)у = —,,!пп ар+ — !Нп —, даа с -с 2Я с -с дса 5 у'(х — а)а+(у — Ь)а+са $2. интегРО-диФФБРБнциАльнон РРАВнинин АдАИАРА 541 или Правая часть этого равенства равна яулю в силу уравнения (6).
Следовательно, )1шй (а, Ь,с;2)=0. -с Далее, частные производные дсф дф — и дР дс стремятся к нулю, когда переменное с стремится к — оо; следовательно, Пш 8(а, Ь, с; с)=-0. Таким образом, гармоническая функция 8 равна нулю в беско. нечности и стремится к нулю при подходе к плоскости с = 0; отсюда вытекает, что эта функция равна нулю тождественно. Итак дсф дф —,+д — =О. дсс дс Продифференцируем это уравнение по переменному с, получим для всех значений переменных а, Ь, с, 2 д ф д'ф д!2дС +с д 2 или дф 2 дэф — — дэ — = О.
д2с с дС2 Это уравнение можно переписать затем так: Перейдем в атом уравнении к пределу, полагая с = — О. Так как функция ф стремится при этом предельном переходе к ь (а, Ь; г), то получим (7) Это есть уравнение Коши для определения формы поверхности бесконечно глубокой жидкости, неограниченно простирающейся в бесконечность по горизонтальным направлениям. Теперь возникает вопрос, нельзя ли уравнение (5) привести к уравнению в частных производных и для бассейнов конечных гл.
1у. Иеустлновившиеся ВолноВые дВижения размеров. В результате исследования этого вопроса Адамар показал, что уравнение (5) может бытьпреобразовано к виду, обобщающему уравнение Коши на разбираемый случай; это уравнение записывается так: Функция К (М, Р) двух точек М и Р составляется вполне определенным образом через функцию У. Относительно этого уравнения следует отметить, что оно не освобождается, для сосуда произвольной формы, от интегрального слагаемого. Рассматривая во всех подробностях задачу о колебаниях жидкости в полусферической чаше, Булиган показал, что функция К (М, Р) существенно отлична от яуля. Но им же было указано, что если поверхность сосуда представляет собой цилиндр с вертикальными образующими, то функция К (М, Р) еи О и уравнение (8) обращается в уравнение Коши (7).
В работах Булигана указывается на ту особую роль, которую играет при изучении уравпенвя Адамара линия пересечения среднего уравнения жидкости со стенками сосуда (82) — (84). Исследование функции около этой линии приводит в связь задачу о колебаниях жидкости в сосудах с задачей о волнах у отлогого берега (см. гл. 1, з 53). й 3. Задача Коши — 11уассона Решение задачи Коши — Пуассона для жидкости, заполняющей яекоторый сосуд, может быть представлено в виде бесконечного ряда, составленного в конце з 1. Для ряда сосудов частного вида фундаментальные функции, по которым располагается такой ряд, могут быть выражены через элементарные функции. Таким образом, построение решения задачи Коши — Пуассона в виде бесконечного ряда не вызывает каких-либо затруднений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
