Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Таким образом, задача привелась к нахождению волновых движений, возбуждаемых колебаниями поверхности сферы, определяемыми формулой (19) и имеющими частоту а. Основная часть задачи состоит теперь в определении функции Х~. Эту функцию можно найти для всякого целого числа п, но необходимые вычисления слишком громоздки, чтобы их приводить здесь. В силу этого мы рассмотрим простейший случай: н = 2.
Для малых значений А поверхность, образующая волны, будет трехосным эллипсоидом з хз. колвзхния твла под повввхностью жиДкосТи 5!5 гармонической функции. Получим 4лазоз Р = — —, Ае "Гоев1п29. Зхз Вовьмезз затем функцию дз = — оАРззо((з) сов 2з)з, или оз = 5оА в1пз 9 сов 2ф Функция Р, отвечающая функции д„запишется так: — 1зз — Зхз соз З вЂ” зоз зЗа а ) е Р = 5оА))в1пз9сов21)зе' оЯ.
я Выполняя вычисления, получаем 4лазоз Р = — ' Ае-""'-' сов 26. Здз Пользуясь формулой (5), находим уравнение поверхности жидко- сти далеко от начала координат: 4лазоз Г I озЛ 1 — Ае-оное ~в1п 26 соя ( — — о1 — — л) + Зез )/2ле77 ~. (~ К 4 7 озА + сов 2двш( — — а1 — — л)~, (20) К 4 нли — Ае-о""е в1 и ( — — о1 +26 — — л) .
З,зУ2лзя (, е 4 Пто выражение функции ь приводит к заключению, что линии равной фазы возвышения поверхности жидкости представляют собой в каждый момент времени спирали Архимеда: Л = — — д + — + сопя1,. 2х ез оз о В частности, спиралями Архимеда будут и узловые линии функции ь; при изменении времени эти спирали, не меняя своего вида, вращаются против стрелки часов с угловой скоростью, равной о12 Вычислим мощность, излучаемую при вращении рассматриваемой поверхности. уравнение волновой поверхности дается формулой (20).
Сопоставляя эту формулу с формулой (5), устанавливаем, что в данном случае величины Р, и Р, имеют такие значения: Рз = — — Ае ""'ея1п26, 4ла'о' Зхз 4лазоз Рз = — — Ае-о'"'е соя 29; Зхз 17з 516 гл. ~1. пРОстРлнстВеннАя ВАдьчА О ьсА11ых Волньх следовательно, 4я1а4а~ О = 01 — Ю, = — — ' Ае-еввее-'а1. зес Применяя формулу ($3), находим излучаемую мощность: д Х' В работе Эрселла теория гармонических колебаний твердого тела, образующего волны, была приложена к задаче о колебаниях удлиненного (сигарообразного) тела вращения, ось которого расположена горизонтально на открытой поверхности жидкости (197). Тело не имеет поступательного движения в горизонтальном направлении и может совершатьлишьвертикальныедвижения и небольшие гармонические колебания своей оси в горизонтальной плоскости.
В работе даются формулы, определяющие главный вектор и главный момент сил давления, приложенных к поверхности тела, а также и излучаемую мощность. з 27. Движение источника и диполя по круговому пути под поверхностью жидкости дсв дчу и= — сох — —, и= — —. (1) ду ' де дФ и = сау —— де Предположим, что под поверхностью жидкости бесконечной глубины движется по круговой траектории источник. Допустим, что это движение продолясается неограниченно долго и, следовательно, по отношению к системе осей координат, враща1ощейся с соответствующей угловой скоростью вокруг вертикальной прямой, движение жидкости будет установившимся. Напишем интеграл Бернулли для рассматриваемого движения жидкости.
Источник описывает с постоянной скоростью окружность в горизонтальной плоскости. Проведем через центр этой окружности вертикальную прямую и примем ее за ось Ог; горизонтальную плоскость, совпадающую со средним уровнем жидкости, возьмем за плоскость хОу, причем будем считать, что оси Ох и Оу вращаются в рассматриваемой горизонтальной плоскости с той же самой угловой скоростью 1о, с какой вращается вокруг оси Ог источник. Таким образом, по отношению к системе координат Оху движущаяся сфера имеет неизменное положение. Обозначим через Ф (х, у, г) потенциал абсолютных скоростей частиц жидкости, написанный в координатах, связанных с вращающимся источником; в силу этого функция Ф (х, у, з) не будет зависеть от времени.
Проекции и, и, ш относительной скорости на подвижные оси имеют следующие значения: 2 27. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 5~7 р у г х у г дф дФ дФ дх ду дг р дФ 2 — = — + У вЂ” — ггг— р д2 2 где О" — силовая функция внешних сил, )г — значение абсолютной скорости частицы жидкости.
В условиях рассматриваемой задачи имеем д, — — О, гг= — д~, гг=(д ) +(д ) -„'-(д ), у=О, г= ю. р= О, Отсюда интеграл Бернулли запишется так: ( д Уд ) 2)(д )+(д )+(д )1' (2) Применим этот интеграл к точкам поверхности жидкости, от- брасывая притом квадрат абсолютной скорости. В точках свобод- ной поверхности ягидкости давление имеет постоянное значение, которое можно считать равным нулю. Обозначим через ь верти- кальную координату точки поверхности нсидкости; из равенства (2) получим для ~~ следующее выра;кение: В точках поверхности жидкости должно соблюдаться условие иг=и — +и —, дь дь (4) дх ду' котоРое говорит, что частица жидкости, лежащая на поверхности, не покидает при своем двиигении поверхности жидкости.
Условие (4) при использовании равенств (1) может быть переписано так: дФ ~ дг, ~ дФ ~ д~ =( — — ) — +(- *- — )— дх ~ дх ду 7' ду ' Отбрасывая здесь члены второго порядка ггалост Подставим сюда вместо ~ его значение (3); найдем (5) Интеграл Бернулли в системе координат, вращающейся с неко- торой угловой скоростью, обладающей проекциями р, О, г на под- вижные оси, имеет следующий вид: б!8 ГЛ. 1Н, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Это граничное условие должно удовлетворяться гармонической функцией Ф (х, у, г) при з = О. Составленное граничное условие и формула (3) приобретут простой вид, если вместо координат х, у взять координаты г, б, полагая х = — г соз 6, у = — г а1п О.
Для любой функции Р имеет место следующее тождество: дг" дг дг" где Вт~ = (х — 1)' + у' + (г + Ь)', Дт т= (х — 1)' + у' (- (г — Ь)'. Представим искомый потенциал абсолютных скоростей Ф (х, у, х) в виде суммы двух слагаемых: Ф =- <р, (х, у, г) + гр (х, у, г). Функция 1р (х, у, з) есть потенциал волновых скоростей. В точках плоскости г = — О функция 1р1 равна нулю, в силу чего имеем при с=О аа,р, — = О.
дей — =О, ар, аа Вместе с тем при з = О имеем дЧЧ ч Ч д 1 С д: 4я дг Не Рассматривая Ф как функцию переменных г, 6, з, применим зто тождество к формуле (3); получим =-+( — ':).=. (6) граничное же условие (5) примет такой вид: (7) Предполоя1им, что движущийся всточник ~'.) имеет дебит д и по отношению к вращающейся системе координат имеет координаты (1, О, — Ь). Введем в рассмотрение вспомогательное течение жидкости, образованное источником () в сочетании с течением, образованным стоком ~)', располоя енным в точке (1, О, Ь). Потенциал скоростей етого вспомогательного течения будет в аь Движении источникА и Диполя по НРУговов|У пУти 5Ш Б силу этих соотношений условие (7) запишется так; двса е дса ео с' д — + — — = — — — ~ ддв сов дк 2лавв (, дв Лв /в=о (8) Будем искать функцию са в виде такого интеграла: С о 4 ()с О) екн -кьи оо са-вне(О (9) содержащего неизвестную функцию А (сс, О).
Составим левую часть граничного условия (8); имеем О д Т ~ сев сссс ~ 4 ((с О) екнв-юив сов со-вц ссО. дв а полагая здесь г = О, получаем (д — = $ )све-касс)с ~ А()с, О)евксоовса-в>с)О (40) дв св=о Далее имеем —.'Г = — с $ )св с(Сс $ А ()с, О) г зсо (Π— О) екц -к нов оома -вн ОКО; дб положим здесь г .= О, получим — с ~ севе-косссс ~ А (сс О) ге!и (О О) ечвсовса — В)с(О (44) (ар ) ~ /в=а о — о о [А ()с О) ~и1гоовСа-в)~" ' 'к 11тсо:Со-в)с(О Подчиним искомую функцию требованию А (/с, л) = А (й, — л). При соблюдении этого условия будем иметь в .4 (сс, О) г з!п(Π— О) евк" саксо-в) ссО = — — к — е к'*соса-ЮссО К ) дд о Ф (12) Преобразуем внутренний интеграл интегрированием по частям,получим л ~ А(сс, О)г зкп(Π— О) еск.оовСа-в)ссО в $20 гл. 1П.
ПРОстРАнстВиннАя 3АдАчА О мАлых ВОлнАх и формула (11) перепишется так: с п " йе-ос<ус " енвсов<о-е<<щ ( — ),,=-~ -" ~ — ' о — о Продифференцируем обе части этого равенства по переменному Ов получим ('в в) 1 °вЂ” — = 1( йее-е" <)йд~ — гз(в(6 — 9) е<"""'<е е<<)9. (13) о — в о<овсов<о-е< с<вссов<о-е>щ = А 1 де ' ~ „ ( ~ дΠ— в Подчиним функцию А (й, 9) дополнительному условию дА(<в, к) дА((в, — з) де дО (14) при соблюдении этого условия будем иметь в о дΠ— г зщ (() — 9) е<евсав(о-е><<9 ~ с<овсов(о — Ю <<9 дА .
( г двА ) дВ Отсюда формула (13) перепишется так: Ю о ( — ),-~ ~ йо ЕО <Ус ~ Еыссов(О Е< Щ о — о (15) Составим теперь на основе равенств (10) и (15) граничное условие (8), получим вв о ~ йе во<Ус $ ( — -(- ~~ А) его (о-е1 <19 де ( д ~ ) о 1в Чтобы найти из этого равенства функцию А (й„О), преобразуем правую его часть по формуле ~ <(й ~ Ео((в-шв<всов<О-Е<-чсово(,(9 1 Яо '2к Применим к внутренней квадратуре формулу интегрирования по частям, получим в 1 зп<(О 9) с<овсов(о в) <вО = дА де вт.
ДВИЖЕНИЕ Иотогвиина И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУтн 521 Получим Йе клв(Й вЂ” + — А)ео сов<о-в'вс)О ~( —— ) ~ЗОг в 0 1в Й -кл Ус ~ е-вмсоввевквсов(а-в) с)О вчговв ) Разложим правую часть этого уравнения в тригонометрический ряд по известной формуле [4) Ов е тесово ~ ( — в)в 7,(Йс)есвв. (17) Отсюда уравнение (16) моясет быть переписано так: «в + ~~ 4 4яговг ~ ( с) 7~(Й()е (18) Найдем решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (12) и (14). Будем искать такое решение в виде следующего ряда, каждый член которого удовлетворяет указанным условиям: А(Й, О) = г г ст ав (Й)е'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
