Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Подстановка этого разложения в уравнение (18) дает значения не- известных коэффициентов: Таким образом, искомая функция А (Й, О) будет определяться рядом А(Й, О) = вв, ~~) (,'), Хв(Й)) е"в. (19) Подставим этот ряд в выражение (9) потенциала скоростей, Отсвода получаем дифференциальное уравнение, определяющее функцию А (Й, О): + — А = — е-вквсовв (16) г боз гл. 1И. НРОстРАнстввннАЯ зАЛАчА О мАлых ВОлнАх получим мв-ю Ср = Еу Г ( — 1)' ~ с Х, (й)) 1й ~ Еоавсов<О-О)Е1ОС(0 Аявовв А ~,алов вв в Основываясь на формуле, вытекающей нз разложения (17): вою сов(О-О~оввс С)0 2ясв,г (йГ) Евва Л можно переписать предыдущее выражение потенциала скоростей так: вв в= — » Интеграл атой формулы не меняет своей величины при изменении знака у индекса г, поэтому можно выражению потенциала ср при- дать такой вид: 1р = 2,', ~ — ~ ео<'-"Ч, (йв) Х, (йг) Йй + о а,мв-ь> + ~ (е"о + е чв) ~ Х (Ы) в' (йг) Нй~ .
в=1 о (20) и найдем его асимптотическое выражение для больших значений г. Вводя функции Ганкеля, придадим этому интегралу такой вид: о в о Для установления точного смысла интеграла этой формулы нужно изменить путь интегрирования около полюса й = ювгв7я. Будем считать, что путь интегрирования 0 ~ й ( оо обходит сверху точку йо. Рассмотрим интеграл А( в в 7. (й)) Г.
(йгйй о 1 27. дВижение источника и диполя пО кРуГОВОму пути 522 Считая число г большим, чем 1, мы можем в первом члене интегрирование повести вдоль положительной части мнимой оси, а во втором члене — вдоль отрицательной части той же оси. При этом преобразовании путей интегрирования надо принять во внимание вычет полюса й, во втором интеграле. Проводя необходимые вычисления, получаем — о соо (х (г — ЬЦ + оо а1в [х (а — Ь)1 2 ~ оао 1, (х() К, (хг) х Их— а оу~» — о) (21) ф = 2О ~ ео1™Уо(й1)У~(йГ)дй— о аР(о — о) а=г (22) Рассмотрим по отдельности члены бесконечной суммы.
Возьмем множитель Н~о1 ( — з') е' о; для больших значений г этот множитель мояоет быть представлен так: 1 1 — "у — ехр ~ — 1( — зо — ед — — пз — — я)) . оаа У яг 1 ~е 2 (23) ~тобы выяснить, какую волну представляет взятый множитель, введем вместо угла д, отсчитываемого от подвижной оси Ох, угол Х отсчитываемый от неподвижной оси абсцисс; имеем 6 = — о)1. После введения угла у показатель экспоненты в выражении (23) запишется так: ехр) 1 — ( — г х+ о )+ (2 яа+ 4 п)1 Этот множитель иаображает волну, гребень которой имеет вид При стремлении г к бесконечности интегральное слагаемое стремится к нулю, как г ', второе же слагаемое стремится к нулю, как г '". Имея в виду исследовать движение ноидкости в удаленных областях, сохраним в вырая енин функции Я лишь последнее слагаемое.
При таком ограничении будем иметь вместо формулы (20) такую формулу: 524 гл. 111. пРОстРАнстВБннАЯ зАДАчА О ИАлых ВОлнАх спирали Архимеда, вращающейся при увеличении времени в положительном направлении вокруг начала координат; при этом каждая точка пересечения гребня со всякой прямой, выходящей из начала координат, приближается к началу координат.
Следовательно, слагаемое (23) общего выражения (22) потенциала скоростей изображает волну, приходящую из бесконечности. В противоположность этому слагаемое формулы (22), имеющее множи- тель Н~~~ ( — зо) е-"", (24) представляет волну, излучаемую в бесконечность. Действительно, для больших значений г этот множитель моя1ет быть записан так после введения угла Х: (+ о )( )+ (2 + 4 ))' Этот множитель изображает волну, гребень которой имеет снова вид архимедовой спирали,но с увеличением времени эта спираль вращается по стрелке часов; каждая прямая, выходящая из начала координат, пересекается со спиралью в точках, уходящих в бесконечность при увеличении времени. Следовательно, то слагаемое бесконечной суммы (22), которое содержит множителем величину (24), изображает волну, уходящую в бесконечность.
Что же касается первого слагаемого правой части формулы (22), то оно определяет некоторое нераспространяющееся, симметричное относительно начала координат движение жидкости. Действительно ((4), стр. 426), ОР ~, ~ сом "~О'оЩЮоЯГ)Г(й = о 2д Г'(г Г(о+го+(Ь вЂ” о)о 1 созо ~ яо ((о -(- го ~- (Ь вЂ” о]о] ( 21г При г, стремящемся к бесконечности, рассматриваемое слагаемое стремится к нулю, как г '*, т. е. быстрее, чем отдельные слагаемые бесконечной суммы формулы (22).
Чтобы удовлетворить условию излучения волн в бесконечность, необходимо, в согласии с предыдущим, устранить в общем члене ряда (22) то слагаемое, которое содержит еооо. Прямое вычеркивание в ряде формулы (22) слагаемого око — о! аое о .Уо ( — ао) Но1Ю( — го) е' о было бы равноценно добавлению потенциала скоростей свободных волн, имеющих в точке г = О особенность. Поэтому к общему вы- 2 2П дВижение источника и диполя по кгуговому пути 525 ражению (22) потенциала скоростей добавим ряд потенциалов ско- ростей, отвечающих правильным около начала координат волнам и представимых таким выражением: ьд(~ — о) ( 22) )' ( 22) еыо з=1 После этого формула (22) примет следующий вид: р =Я "*-").у,(йг).у,( )ай+ о з зз (з — Ь) + ' 5 еое )з( — Р)(Нзп ( — 22)е'о— з=1 — Нзм) ( — 22) е-"о| . (25) Применяя аснмптотические формулы для функций Ганкеля, легко установить, что каждое слагаемое бесконечной суммы изображает волну, излучаемую в бесконечность *).
Составим теперь выражение полного потенциала скоростей. Получим для г > 1 = 4 (д — д )+ 2 з ( — ~"'"'~о(~~) о(йг)~~+ о + — ~созей~ ~, соз [х(2 — й)] + заззп (х(2 — й)) 1',(х1) Х о=1 о з ззз) З вЂ” Ь) Х К,(хг)хй4~+1 — '2"'~ ". ),( — "" ") Х з=1 Х ~ Нзп) ( — 22) Е"Π— Н)зЗ) ~) — 22) Е-"О1 . (26) Отделим в этом выражении потенциала скоростей действительную часть от мнимой и возьмем лишь действительную часть. Эта дейстВительная часть дает потенциал скоростей двия1ения, возникшего от и~~~~ника; мнимая же часть дает потенциал свободных волн. удерживая в выражении действительной части лишь наиболее значительные слагаемые прн г = со,' находим выражение ) Следует отметить, что формула (25) дает значения потенциала скоростей Чз для " ) з и, следовательно, особая точка г = 0 функций Гаккеля находится вне области призов)имости этой формулы.
Неравенство г ( з было принято вмше при преобразовании интеграла я. 535 Гл. Н1. пРОстРАнстВеннАя зАЛАЯА О мАлых ВОлнАх потенциала скоростей в удаленных областях жидкости: мчл — а) Ф '~~ ~' еае е,),~м е') )е 8=1 х ~.т,( — "'" ет) з)"6+ у,( — "" ат) соз 6~. (27) Формулы (26) и (27) позволяют весьма просто найти потенциал скоростей, возникающих при движении диполя по круговому пути. Предположим, что ось диполя направлена по скорости центра диполя, т. е.
параллельна оси Оу подвижной системы координат. Принимая во внимание, что диполь образовывается слиянием бесконечно близких источника и стока, получаем возможность найти потенциал скоростей, возникших от движения диполя, дифференцированием выражений (25) и (26) по переменному д. Таким приемом находим полное выражение потенциала скоростей н его выражение в удаленных частях жидкости: ю ам — ь) Ф ~еэе е ) ( ет)~) ( " еэ)созеб 3=1 — У, ( — е') з!и гб~ . (28) В этой формуле р есть момент диполя.
$28. Движение тела по круговому пути Найденные в предыдущем параграфе потенциалы скоростей источника и диполя позволяют составить потенциалы скоростей, возникающих в жидкости при движении произвольного тела по круговой траектории. Предположим, что движение жидкости может быть представлено как результат совместного действия источников, распределенных на поверхности Х тела в виде простого слоя. Назовем через д (хю ую х,) поверхностную плотность этоГо слоя. Свяжем воедино с перемещающимся телом некоторую систему декартовых координат, вращающихся вокруг вертикальной прямой с угловой скоростью ю. Рассмотрим источник, находящийся в точке (хю ую г,) поверхности Х. Потенциал скоростей, образуемых этим источником, определяется формулой (26) т 27, в которои величины х, у, т) надо заменить соответственно на величины век+ УОУ Уев — аеУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
