Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 82
Текст из файла (страница 82)
С Г 2т Получим ОΠ— — ~ $о в(п(т$) в)г(т$) е-'Нд5. 2У .Г Г о Преобразуем этот интеграл к новому виду, вводя такие две функции: Кт(т) = ~ Ге В"Ое-хна, о (18) Ка(т) =~ РоЕ-В 'Нож),18, о о) Воэможность такой аамены требует разъяснения, так как функция Ко (тго) берется для аначений аргумента, изменяющегося от О до со, следовательно, для малых С использование асимптотической формулы незаконно. Чтобы прийти, однако, к простым формулам (18) и (20), надо поступить следующим образом. Рааобьем путь интегрирования (О, со) какой-нибудь точкой с на две части: (О, с) и (а, со). Для больших аначений т можно в точках второй части применить эту асимптотическую формулу; что же касается точек первой части, то число В можно принять за такую функцию параметра т, стремящуюся к нулю вместе с т ', что интеграл по первой части будет бесконечно мал по сравнению с интегралом по второй части при неограниченно увеличивающемся т.
бз1 О 3. ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА Получим Ут -/1 ~= — „,з ~Г' — „~-(Е,() — Ез()1 (10) Дополняя показатели степени в подынтегральных функциях формул (18) до полных квадратов, получим Е,(т) = ез ~ Езе ~ з ! Щ, о Е,(т)=е ' ~$зе ~ ' ~ Ыз. о Рассззотрпзз функцнзо Е1 (т). Введем вместо $ новое переменное интегрирования 11, полагая 2(+)+ 1 Путь интегрирования Ь1 по переменному Ч будет представлять собой горизонтальную прямую, восходящую из точки — 1/з (1 + 1) и уходящую в бесконечность. В новом переменном будем иметь 1 1 1+1 е з Е, (т) = — ~ е-'з* 414) — — ~ е-'з' 414) — е ' . (20) 2 1 дт 21 1., ь, з Гя 1 е=з 414) е 4 ~ 1зз ) 2 4' т У'з. то о 1 з Е зз 4(3)= — ~/ — — Е 4 + 2 У'21 з — — ы 1зя о Преобразуем путь Л1 в новый путь, состоящий из двух прямых, соединяющих точки ( — — (1+1),0) и (О, с ).
Выполняя надлежащие преобразования над формулой (20), будем иметь 552 гл. 1ч. нвтстановившикся ВолноВыи дВижнния Заметим теперь, что при переходе от полной формулы (17) к формуле (19) мы, заменяя функцию Кл (тГ) ее асилштотическим выражением, учли лишь слагаемые порядка малости, равного 112 по отношению к т. Следовательно, в двух предыдущих формулах возможно откинуть те члены, порядок малости которых превосхо- дит 112. Сделав зто, получим 2 2 1 / Л 1 — л1ря — — л1 / Л е-'л'й) = — — — =е л — е л = у —, 2 1 т у'т 2 1/ т ь, ~ — *Д,=0. дт 11 Отсюда формула (20) запишется так: г .— и-/ я Е1(т) = — 1е2 "12/— 2 (21) Обратимся, наконец, к функции Е2 (т). Подвергая зту функцию таким же преобразованиям, какие были выполнены над функцией Е, (т), находим 1 г — л1 Г д 1 — 1 2л1 е2 Е,(т) = — — ~ е л' й~ — — ~ ел'й) — е' ь1 .ь, Путь Еа есть горизонтальная прямая, идущая пз точки (1 — 1)! 2 в положительную бесконечность.
Вычислим отдельные члены пра- вой части. Имеем 2 л12 1 1-/я 1 Е л'й) = — 12/ — — =Е 2 2/ х ~/ 2 ь, 1 ~ Е-лЛ Д1) ~/ + ( д ~ 4. У ° Ъ/2)/ть. Е'" 12г, 2 1 — — лл 22 2/т 2' а Х ~ ЕЬЯ2)Е— 2 Š— лЛ' Цл) — 0 — ~ Е-лЛ' 112) () д дт ьа ь, Отсюда следует, что Е,(т) =-О, Учитывая в написанных формулах лишь члены порядка малости 1/2 по отношению к т ', получаем г м исслеДОВАние ВОлн 3АДАчи кОши — пУАссОнА 553 Вернемся теперь к формуле (19) и примем в расчет найденные асимптотические выражения функций Е„(т) и Е, (т). Получим следующее уравнение поверхности жидкости для больших значений величины т: УхР хы соз —.
4я ~/'2 гз 4г Совершенно так же можно найти, исходя из формулы (13), уравнение поверхности жидкости после воздействия на нее сосредоточенного импульсивного давления: хуго . дм — З1п— зя )г" З Эг4 4г 5 4. Исследование волн задачи Коши — Пуассона Выполним исследование формул для возвышения поверхности жидкости, полученных в предыдущем параграфе, для двух частей задачи Коши — Пуассона. Формула (12) з 3 показывает, что узловые линии волновой поверхности распространяются от начала координат равномерно ускоренно. Действительно, приравнивая нулю правую часть этой формулы, получаем уравнение, в которое входит в качестве неизвестной одна лишь величина т' = дР((4г), которая и определяет равномерно ускоренное изменение радиуса узловой окружности: г =- д1Р1(4тз). Значений т', обращающих Ь в нуль, бесконечно много, как это могкно видеть из дальнейших асимптотических формул.
Эти значения имеют своей предельной точкой бесконечность. Следовательно, вся поверхность жидкости в любой момент времени обладает бесконечным числом узловых линий, которые при увеличении времени неограниченно расширяются, уходя в бесконечность. В каждый момент времени радиусы узловых линий имеют в качестве предельной точки начало координат. Чем меньше радиус узловой линии, тем меньше ускорение, с которым этот радиус увеличивается. В силу этого каждая часть поверхности жидкости, заключенная между двумя соседними узловыми линиями, неограниченно растягивается.
Из той же формулы (12) $ 3 можно найти, что и экстремальные ординаты поверхности распространяются равномерно ускоренно, причем величина самой ординаты уменьвтается обратно пропорционально четвертой степени времени. Таким образом, часть поверхности жидкости между двумя последовательными узловыми линиями не только растягивается при увеличении времени, но н достаточно быстро уменьшается по своим вертикальным размерам. По подсчетам Коши, наябольшая окружность максимального возвышения распространяется с ускорением, равным 0,3673044э'. 554 ГЛ. ГУ. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ Такие же заключения можно вывести н из формулы (13) з 3 о Распространении узловых окружностей и линий экстремальных ординат при волновом движении, возникшем от концентрированного импульсивного давления.
Более полное и вместе с тем простое описание формул волновой поверхности можно получить с помощью асимптотических формул для функций Бесселя. Эти формулы дают возможность исследовать возвышение поверхности жидкости при больших значениях величины т. Для больших значений т' имеем следующую асимптотическую формулу: тз ~ 2 / та 1 у„~ — ) = =сов( — — — яу — — я) .
Применяя ее к уравнению (12) 2 3 поверхности жидкости, получаем соз — . Удм ды (2) 4я )Г2 г' 4г Применение асимптотической формулы (1) к уравнению (13) з 3 дает такой результат: — з1п —. Юф' . дР (3) 8я у'2 рг4 4г Две полученные формулы изображают ординаты поверхности жидкости для больших значений переменного т; следовательно, эти формулы могут служить для подсчета величин ~ и ~' в данный момент времени на неболыпом расстоянии от начала координат или же в данном месте наблюдения для больших значений времени. Общие заключения об изменении поверхности жидкости, которые можно получить из формул (2) и (3), повторяют почти в полной мере заключения, установленные в з 3 гл. 11 при изучении плоской задачи.
Что же касается определения ~ для малых значений величины т, то здесь может служить формула (9) з 3. $ б. Дифракция волн; задача Коши — Пуассона В настоящем параграфе мы имеем в виду изложить решение одной из основных задач теории дифракции волн. Допустим, что в бесконечно глубокую жидкость погружена вертикально полу- плоскость, ребро которой также вертикально. Предположим, что в начальный момент времени, когда жидкость имеет во всех своих точках нулевую скорость, возникло в некотором месте поверхности концентрированное возвышение этой поверхности общего объема )г. Если бы не было погруженной полуплоскости, то возвышающаяся часть поверхности жидкости стала бы растекаться, следуя законам обычной задачи Коши — Пуассона.
т э. дифглкция волн; задача коши — пхлссонл 555 Наша задача — исследовать распадение начального сосредоточенного возвышения поверхности, принимая во внимание те изменения, которые вносит в этот процесс распадения присутствие погрул<енной полуплоскости. Решение этой простейшей задачи дифракции будет выполнено с помощью метода разветвленных решений, предлотттенного Зоммерфельдом для исследования дифракции световых волн (181'). Для построения потенциала скоростей рассматриваемого волнового движения ясидкости воспользуемся выражением (16) 5 3 потенциала скоростей обычной задачи Коши — Пуассона, когда начальное возвышение поверхности жидкости, собранное в одной точке Я, не встречает при своем распадении каких-либо препятствий.
Перепишем формулу (16) з 3 в таком виде: р (г, О, .; г) = СО = — ~ ~Ох ~этп(11г' — )сЬ(1 ~/ — ) соз(ха+ — я)— о — соз'те ~г — ) эЬ(1 1гг — ) шп(ха+ 4 я)1Ка(хЛ) тех. (1) Принимая следующее обозначение: ге+ г' — = сЬт) Я придаем В' такой вид: В' = 2гг' (сЬ т) — соэ (ст — 0)Ь (2) Обратимся к преобразованию формулы (1), заменяя выражение функции К, (хЛ) некоторым контурным интегралом. Рассмотрим следутощий интеграл, взятый по бесконечно малому ~о~~уру с, окружающему в плоскости комплексного переменного р точку ох тт" р= ~ „', Ке(хВа)Ы~, е (3) где Вз = 2п' (сЬ т) — соз ((5 — О)) (4) В этой формуле г, О, г — цилиндрические координаты места наблюдения М, а Л вЂ” расстояние от точки Я, имеющей полярные координаты г', а, до проекции точки ЛХ па плоскость г = 0; осью цилиндрической системы координат является ребро погруженной полуплоскости; угол О измеряется от линии пересечения горизонтального начального уровня жидкости с полуплоскостью.
Имеем Л' = г' + г" — 2п' соэ (а — О). 555 Гл 1у ниустановившився ВолноВык дВижения Отметим, что Е = 2ЯК, (НЛ). Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках (3 = а + 2яп (н = О, .+-(, ~2,...), Функция Ла обращается в нуль для значений переменного (3, равных () = 8 ~ 1т~ + 2яп. Эти значения р являются алгебраическими точками ветвления функции Лэ и вместе с тем логарифмическими точками ветвления функции К, (хЛа).
Рассмотрим в плоскости переменного р полосу, ограниченную прямыми (5) Ла= — я+О, Лз=я+О; проведем в этой полосе разрез 1Ю', соединяющий точки ветвления )) = О + и~, р = 8 — Н1. Припишем функции (6) положительные значения на правой стороне проведенного разреза. Тогда вдоль ломаной линии АВСВЕЕС (рис. 63, а), начерченной в! ряс.
ЕЗ. на плоскости комплексного переменного р, функция (6) будет иметь действительные значения: положительные на участке АВСП и отрицательные на участке РЕЕВ. Из этого следует, что во всех точках области, ограниченной рассматриваемой ломаной линией, мнимая часть функции (6) положительна. Положительна ата мнимая часть и в тех полуполосах ширины 2я, которые примыкают к линиям (5) вдоль прямых ЕС' и ВА'. В остальных областях мнимая часть функции (6) отрицательна, $ Ь. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА 557 При взятой системе разрезов мнимая часть функции (6) положительна в областях плоскости р, покрытых на рис. 63, б и рис. 63, в штриховкой. Вдоль разреза РР' осуществляется переход на второй лист римановой поверхности функции (6). В тех областях второго листа римановой поверхности, которые находятся под областями, не покрытыми штриховкой на первом листе, мнимая часть функции (6) положительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
