Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 86
Текст из файла (страница 86)
1 (23) Проводя вычисления, основанные на формулах (9), находим $+ т) = — 2(Зт) + Зсоз8+ Я), 1 Ь = 2 (т)'+ 2т) созО+ ЗсозаΠ— 2)+ — (т)+созО)~~ а а где Ю = $' (9соз' 8 — 8) + (т)а + 2Ч соз 8). Дальнейшие вычисления могут быть заимствованы из 2 7, и мы получаем для первого и второго слагаемых соответственно такие выражения: 584 Гл 1ч. неустановившиеся ВОлнОВые движения Запишем выражения функций Р1 н 22, вводя вместо 1) =- с1!г и соз О новые переменные х, у по формулам ° Е+сг, у=ге)вв, Новые переменные х, у суть декартовы координаты места набл1одения, взятые по отновтению к системе координат хОУ, начало О которой перемещается влево со скоростью с. В новых переменных имеем $1+ 2) = — (Зх+ ф' х' — 8у'), 1 2 1 Ь, = —,(х' — 2У'+ х )'х2 — 8У2), х,=— 1 24+В 1 .2 2,. ° Г .2 2 2 24 — сос 0 ВУ4 = —,(х + 4у — х 'у~х — 8у ), 1 22+ Ч 2г (8~' 2' х — 8У ) Л2 =- — „, (х2 — 2У2 — х )Гхс — 8У'), х2 — — В, (х'+ 4У'+ х )' х' — 8У ) О = — )сх2 — 8У2.
1 Пользуясь формулами (21), Р,($н хн О)— находим (Зх + У'х2 — Вус)2 )/х2 2Ч2 с х Усхс ВУ2 (Зх — Усхс — ВУ2) 2 Р262, Х2, О)— У хз — 2У2 — х Усхс — Вус Преобразуем затем формулу (23) к новым переменным; выполняя ряд вычислений, получаем 22Д„Х„О) = ('~/х2 — Ву2 — Зх) У х2 — Вус П(, 0) ()~ 2 — ВУ2+Зх) Ухс — Вус 524 Х2~ / 822 Отметим, что при х ) 0 первая из этих величин отрицательна, а вторая — положительна. Формулы (19) и (20), переписанные в переменных х, у, не содержат времени 1; следовательно, по отношению ко всякой системе осей координат, перемещающейся влево со скоростью с, величины, изображаемые формулами (19) и (20), не меняются по своему значению.
Но при 1 = 0 эти величины изображают с точностью до множителя — до2Я/2лсус4, входящего в формулу (1), соответст- 1 В ВИД ПОВЮ'ХНОСТИ ЖИДКОСТЯ П!'Н !'АСПАДЕННИ ВОЛН 535 венно продольные и поперечные установившиеся корабельные волны. Общее возвьппение поверхности жидкости от обеих систем волн будет определяться формулой г= оз (,э!Р1 — 4 ~)+ / 1 2 ус2асссс ' ~ У ьд~ Лд! + 1 соз (сэГ1 + 4 л)1, (24) Коэффициенты при косинусах в этой формуле являются некоторыми функциями х, у, умноженными на г!'~ да.
Величина г есть расстояние от места наблюдения до той точки 0 горизонтальной оси, в которой закончилось движение импульса. Обозначим через Л расстояние от места наблюдения до точки О. Приняв такие обозначения, будем иметь г Л 1/с У'сс Рссл1сэ У Отсюда вытекает, что величина Я, определяемая формулой (24), может быть представлена так: (25) где ь — аппликата точек волновой поверхности, образованной корабельными волнами, возникшими от импульса, который в момент времени ~ находился в начале координат системы хОу. Отметим, что формула (24) справедлива для тех точек поверхности жидкости, для которых величина г достаточно велика.
$ 9. Внд поверхности жидкости при распадении корабельных волн Дадим геометрическое описание вида поверхности жидкости при Распадении корабельных волн. Для этого нам будут служить формулы (24) и (25) ~ 8 и рис. 65, б, устанавливающий области приложимости этих формул. Проведем на горизонталь ой плоскости ось Ох, вдоль которой перемещался из положительной бесконечности импульс давлений~ и отложим влево от точки О, в которой импульс остановился, отрезок 00', равный по величине с~.
Проведем через точку 0' два луча О ь и О'М, симметрично расположенные относительно оси Ох и наклоненные к ней под углом а = агссд = $9'28'. гУ2 566 Гл. гч. неустхновившиеся ВОлнОВые дВижения Опишем из точки К, лежащей слева от точки О на расстоянии Ч,с1, окружность Г радиуса Ч2с1; эта окружность будет касаться лучей 0'Ь и 0'М и будет проходить через начало координат 0 (рис. 65, б). Уравнение этой окружности есть *+ — сс) +у = — с1, ( 1 ~2 2 1 22 4,) 16 или а+у = — — с1х.
1 2 В согласии с обозначениями начала предыдущего параграфа это уравнение можно записать так: 1 г' = — — сс гс', 2 или 2)( = — 2 Следовательно, построенная окружность изображается на рис. 65, а гиперболой. На этом же рисунке изображен эллипс, уравнение которого есть (13) 2 8. В согласии с принятыми обозначениями х м г ' г Подставляя эти значения 2 и 21 в уравнение (23) 2 8, получаем (х + с1)2 = 8у2. Это уравнение распадается на два уравнения: 1 1 у = =(х+ сг), у = — =(х+ с1). 2рг2 2 У2 (2) Первое уравнение изображает луч 0'Ь, второе — луч 0'М. Таким образом, эллипсу на плоскости 02Ч отвечает на среднем уровне жидкости два луча, ограничивающие волновую область.
Уравнение (24) з 8 определяет в координатах, связанных с точкой 0', волновую поверхность в момент времени 1. Вид этой поверхности легко устанавливается на основании формулы (25) з 8. Рассмотрим волновую поверхность жидкости в момент времени 1 = О, т. е. в тот момент, когда импульс прекратил свое движение. В этот момент поверхность жидкости будет покрыта системой обычных корабельных волн. Переместим эту поверхность без изменения ее формы влево на расстояние с1 и умножим затем все ее аппликаты ~ на величину )г гlЯ, находящуюся в формуле (25). После этого мы получим аппликаты е волновой поверхности для момента времени 1. Волновая поверхность жидкости расположена 1 е.
вид повивхности жидкости пви влспадвнии волн ЗЗ7 в момент времени 1 правее линии х = — с(/2, как это будет установлено ниже; поэтому множитель 1/ г/В меньше единицы, благодаря чему аппликаты точек поверхности жидкости момента 1 меньше аппликат соответствующих точек момента времени 1 =- О. Рассмотрим те волны, которые определяются первым членом формулы (24) з 8. Сравнение выражения этого слагаемого с первым членом формулы (11) з 7 показывает их совпадение (с точностью до множителя )/ г/Л).
Следовательно, первый член формулы (24) 9 8 определяет поперечные волны. Таким тке путем можно установить, что второй член формулы (24) з 8 дает продольные волны. Отождествление формулы (24) 3 8 с формулой (11) $ 7 проще всего устанавливается путем перехода в этой последней формуле от полярных координат к прямоугольным координатам.
Установим области существования поперечных и продольных волн для момента времени 1. В предыдущем параграфе было показано, что величины ( и Ч, отвечающие переменным с индексом 1, могут изменяться в области Е'ЕСВСРБ рис. 65, а. Следовательно, эта область отвечает поперечным волнам. Дадим времени 1 какое-нибудь значение и будемт изменять переменное г от нуля до бесконечности. Для значений г, меняющихся от нуля до с(/3, переменное ) может иметь любое значение между — 1 н 1. Следовательно, через все точки окружности г ~ с(/3 могут проходить поперечные волны.
Для значений т) между р'6 и 3 будет два отдельных участка изменения переменного 1, которые представляют собой две разоб- 1 щенныелучому = =(х+ с() дуги окружности г = с(/т); через 2 1г2 точки этих дуг проходят поперечные волны. Для значений т) между )/6 и 2 переменное 1 меняется от — 1 до — 2/т) на одной дуге окружности Радиуса г и от )/6/9 до 1 на другой дуге *). Первой дугой ограничивается слева область распространения поперечных волн. Вторая дуга содержитточки поперечной волны, находящиеся справа от точки О.
При увеличении г до бесконечности будет лишь одна дуга окружности с поперечными волнами. Таким образом, при увеличении времени от О до бесконечности область поперечных волн будет ограничена двумя лучами (2) и левой дугой окружности (1), содержащейся между этими лучами. Скорость продвижения левого конца окружности равна половине скорости движения импульса.
Рассмотрим затем волны, отвечающие индексу 2. Эти волны будут продольными. е) В рукописн автора не укааана величина тгс/9. (Прим. ред.) 533 Гл. зч. Иеустановившиеся ВОлнОВые дВижения Из рассмотрения рис. 65, а, на котором очерчены штрихами границы области изменения переменных ], ц, отвечающих продольным волнам, мол~но вывести заключения о форме области существования продольных волн. Здесь самое основное значение имеет область, соответствующая изменению ] и ц между вертикальной прямой от точки А до точки В, дугой эллипса В6 и дугой параболы СА. Не представляет труда видеть, что на плоскости течения этой области будет соответствовать область, ограниченная правой дугой окружности (т) и лучами (2) от точек их прикосновения к окружности (1) до бесконечности. В такой области, меняющейся с течением времени по своему положению и размерам, будет находиться система продольных волн.
Общее расположение попе- речных и продольных волн в д некоторый момент времени изображено схематически на с рис. 66 *). Рассмотренная здесь задача о распадении системы корабельРис. 66. ных волн была впервые изучена Л. В. Черкесовым в его книге по неустановившимся волновым движениям жидкости. В этой книге разобраны также различные виды движения жидкости, образующиеся от неустановившегося воздействия сил, приложенных к границам бассейнов и к свободной поверхности [73]. 6 тО. Неустановившееся движение источника под поверхностью жидкости Методы, примененные нами в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
