Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 85
Текст из файла (страница 85)
6 8. 0 распадении корабельных волн Предположим, что точечный импульс давлений, перемещавшийся с постоянной скоростью вдоль оси Ох из положительной бесконечности, прекратил свое движение, достигнув в момент времени $ = 0 начала неподвижной системы координат. Правильная система корабельных волн, которая образовалась к моменту времени 7 = 0 при этом движении импульса, начинает с момента времени 1 = О, когда прекратилось воздействие импульса на жидкость, распадаться.
Наша задача будет состоять в том, чтобы проследить, насколько зто возможно без привлечения численных методов, за распространением неустановившихся волн, вызванных распадением правильной системы поперечных и продольных волн е). *) Задача о формировании системы корабельных волн была изучена Л. В. Черкесовым [73[, [74[ и В. С.
Федосевне, Л. В. Черкесовым [6Ц. 8 8. О РАспАдении кОРАБельных ВОлн 577 Применим к решению этой задачи метод, изложенный в предыдущем параграфе, все обозначения этого параграфа сохраняются здесь. Возвышение поверхности жидкости, возникшее от импульсивного давления, приложенного в точке х = — ст в момент времени т ( О, определяется в момент времени 1 формулой й~ = —, ~ [сое"' з[п [о (1 — т)] Уа (йЛ) И. 2хрх о Полное возвышение поверхности жидкости в момент времени 1 ) О будет а 2 =- — ~ дт ~ боев' з[Б [О(с — т)] Уо()с)7)(((с.
2аре Заменяя функцию Бесселя ее интегральным изображением и выполняя ряд преобразований, придаем предыдущей формуле новый вид: !2 о у 1п, ~ с[т ~ )со,[)с ~ е х~ — 1 — вв совз7с[я Ю 2хвре — о о о !2 8 1ш ~ от~ [сос[)с ~ ен и — и-взсовзтс[р 2хвре — о о Перепишем это уравнение поверхности жидкости, вводя новые переменные интегрирования х и з по формулам свэ ст х = —, а ' г и полагая сс т[ Г ЯГ а) =— св Получим где и '2 (2) 19 Л. Н. Сретеосеиа Н,= ~д$ о ее Н,=~ 2 о Г,(з, х, р) Р~Я,х,Я ~ Х ]ГГХ дХ ~ Е'"р«в в Нар, о о в '2 )х]ГГх дх ~ ео"Ели" Щ, о а = Д + т[) ]ГГх — хХ соз ~, = ($ + т[) [Г л + х1 соз р.
578 ГЛ. 1У. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ найдем асимптотические формулы для функций н1 н и, прн больших значениях параметра сс. Рассмотрим сначала функцию Н, и найдем экстремальные значения функции д'„принадлежащие области интегрирования. Для определения таких значений составим уравнения дГ, в — сов В дс = )/ х — ясов'р Ь =О, — Ь сов (1 = О, — ' = хЛ в1п () = О. дг, (4) дх З )Г~ ' дб Последнее из уравнений (4) дает (1 =- О, отсюда система (4) перепишется так: (5) Из всех решений этой системы уравнений пригодны лишь те, которые удовлетворяют двум дополнительным требованиям: — 6: О, 5)О.
(6) Соблюдение первого из этих требований обеспечивает положительное значение корню )/ х; при соблюдении второго требования решение $ системы (5) будет принадлежать, как это и должно быть, промежутку (О, со) изменения $ в интеграле (2). Если угол 0 находится в первой четверти, то неравенства (6) сводятся к одному неравенству: $ ) сов О.
(у) Если же угол 6 будет находиться во второй четверти, то неравен- ства (6) будут приводиться тоже к одному неравенству: (8) $) О. Исключая из уравнений (5) неизвестное х. получаем уравнение для определения неизвестного '/, ( — сов 0)(В + 7)) = Ь', или $' — (3 сов 6 + т() 5 + (2 + т) сов О) = О. Решая это уравнение, находим два его корня: $1 = — ((Зсов 0 + 0) + 1/(9совв Π— 8) + (7)' + 27) сов О)], (9) $, = — [(Зсов О + т)) — 1/ (9еов' Π— 8) + (Чэ + 2Ч сов О)). (10) Из первого уравнения системы (5) находим соответствующие ~ Э. О РАСПАДЕНИИ КОРАВЕЛЬНЫХ ВОЛН значения переменного к: к 1 б1+Ч к ~ й+Ч 11) 2 (о — соэО ' э 3 с,с — соээ ( ) Из формул (9) и (10) следует, что должно соблюдаться условие (9 соз' Π— 8) + (т)' + 29 соз 9) ) О.
(12) Рассмотрим теперь совместно условия (7) и (12), а затем условия'(8) и (12). Эти рассмотрения будут относиться порознь к величинам с индексом 1 и с индексом 2 у решений $, и э,. Для анализа условий (7), (12) и (8), (12) будем рассматривать величины 1 =- соз О и ц как декартовы координаты точки на плоскости 0(т). Рассмотрим на этой плоскости кривую, определяемую уравнением 91 +ц +2(ц — 8=0; (13) это есть эллипс с центром в начале координат; меньшая полуось эллипса есть )/5 — )/7, большая полуось есть Уб + )/7; меньшая полуось наклонена к оси абсцисс 01 под углом 1 1 —, агс$9 —. 2 4 ' Рассматриваемый эллипс целиком находится между прямыми 1 == 1, 1 — — 1, которых он касается соответственно в точках (1, — 1) и ( — 1, 1).
Ось абсцисс пересекается эллипсом в точках С (с/э )/2, О) и С' ( — с/,)/2, О). Точки эллипса, максимально уда- ленные от оси абсцисс, имеют координаты (1/„— 3) и ( — '/„3) (рис. 65, а) Отметим, что неравенство (12) соблюдается во всех точках пло- скости 01ц, лежащих вне эллипса (13). Рассмотрим сначала условия, относящиеся к величинам, име- ющим индекс 1, и допустим, что угол 8 принадлежит первой чет- верти: 0 < 1< 1. В этом случае будем иметь следующие два неравенства: 1+ т) -)- 1/ (9Р— 8) + (т)'+ 2(ч) ) О, (9(с 8) ( (т)с+ 2(т))) 0 (14) Так как т) ) 0 и 1) О, то первое неравенство удовлетворяется, и, следовательно, оба неравенства будут удовлетворяться для всех значений т) и 1, изобраясаемых точками, лежащими в области Вн ограяиченной отрезком прямой 1 = 0 от точки А (О, оо) до точки В (О, 2)/2), дугойэллипса (13) от точки В до точки С (с/з)/2,0), отрезком оси абсцисс от точки С до точки Р (1, 0) и отрезком пря- мой 1 = 1 от точки /7 до точки Е (1, оо).
19ь 530 Гл. 1у. неустэновившиеся ВОлнОВые дВижения Предположим затем, что угол 8 лежит во второй четверти: — 1 ( 1( О. Для этих углов должны удовлетворяться следующие два неравенства: 31+ т) + (Иэ 8) + (ц' + 261) ) О, (И' — 8) + (ц'+ 2(Ч) ) О. Перепишем первое неравенство так: 31+ т) + )/ (31+ 8)' — 4 (2 + (т)) '> О. (16) Если числа 1 и т) удовлетворяют неравенству 2+ гц(О, (17) то неравенство (16) будет удовлетворяться.
Если же будет удовлетворяться неравенство 2+ 11) ) О, то неравенство (16) будет соблюдаться при условии, что 31+ т) ) О. ~~~~"ау .т "С~~ а1 Рис. 65. Чтобы определить на плоскости 011) ту область 1)„где соблюдается условие 2+ 11) ( О, и ту область О„где соблюдаются условия 2 + 11) ) О, 31+ т) ) О, рассмотрим лежащую слева от оси ординат ветвь равносторонней гиперболы 11) = — 2. Эта ветвь пересекает прямую 1 = — 1 в точке г'( — 1, 2), касается эллипса в точке 6 ( — 1/э ф~6, $' 6) и имеет ось ординат в качестве асимптоты (рис.
65, б). Нетрудно усмотреть, что выше этой ветви двучлен 2 + (т) отрицателен, а ниже атой ветви он положителен. Отметим, кроме 8. О РАСПАДЕНИИ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН того, что прямая 3) + т) = О проходит через точку касания С гиперболы и эллипса. Яа основании этих геометрических свойств приходим к заключению, что область Р, ограничена отрезком прямой ) = — $ от точки Е' ( — 1, оо) до точки Е ( — т, 2) и дугой гиперболы 2+ )Ч = О от точки Е до точки А (О, оо). Что ясе касается области Р„то она ограничена дугой гиперболы от точки С до точки А, отрезком прямой ) = О от точки А до точки В (О, 2 )Г2) и дугой эллипса от точки В до точки С. Проведенное исследование показывает, что решение $„х, системы уравнений (5) будет удовлетворять неравенствам (6), если точка с координатами ), т) будет находиться в области Е'ГСВСРЕ.
Рассмотрим теперь условия, относящиеся к величинам с индексом 2, и предположим сначала, что угол 0 лежит в первой четверти. Условие (7) примет следующий вид: ) + д — У (9) — 8) + (ц'+ 2Ч)) > О, или Это неравенство будет соблюдаться для положительных значений чисел ) и т), удовлетворяющих неравенству (9Р— 8) + (т1' + 2)т~) > О. Таким образом, решение системы уравнений (5) в рассматриваемом случае изображается точкой, принадлежащей области АВСРЕ.
Предположим теперь, что угол 0 лежит во второй четверти. Тогда должно соблюдаться условие (8), которое записывается так: 3) + т) — )/(9)т — 8) + (т)' + 2ц)) > О, или 3) + т1 — )/(3) + т))' — 4 (2 + )т)) > О. Это неравенство соблюдается при выполнении двух неравенств: 3) + т) . О, 2 + )т~ > О. Эти два неравенства удовлетворяются в области, ограниченной дугой гиперболы АС, дугой эллипса СВ и отрезком прямой линии ) = О от точки В до точки А. Следовательно, для чисел ью хю решающих систему уравнений (5), будут соблюдаться неравенства (6) в том случае, если точка с координатами ), т) будет лежать в области АСВСРЕ. Обратимся теперь к интегралу (3) и найдем экстремальные значения функции г"з Д, н, р). для определения этих значений гл, 1ч, нкгстановившився волновык двнжвния 582 составим уравнения дГ1 — ' = у' х -)- х соз р д» + ассар = О, дГ1»+ э дх 2 Ух ' — "=О, Г.
дГ1 — = — хЬз1пр = О. др = О, оставшиеся два уравне- Из последнего уравнения находим р ния переписываются так: — „» — -.е Ь »+~ -(;А=О. 2 3I х д1Г1 х1 э1аэ 0 д»Г1 1 2)1'х дэГ1 д» дб =О, д»1 Гз 1 (48) дэГ1 1,1 дх1 2х1 д1Г1 — =О, дх др дэГ1 — '= Х1Ь; даэ следовательно, Г, (», Х, р) = Г1(»„Х„О) + 2 Х1Л1)зз— 1 — — $ — с~„) + — (» — »1)(х — х,) + —,(х — х,) ~+... 1 1 х,з1а18 Г.1 11 2~ Гэ Р"й1 2Х1 Аналогичное Разложение мо1кно написать около точки $„хю )3 = О; имеем 1 г'1$, х, р) = Г1$„хм О) + — х,Лэр'— 1 х з1в18 — -1 ~ хээ1в ' (а — ~.) + ' Д вЂ” ~.) (х — х,) + — '(х — х,)э~+ ...
2хэ Теперь мы имеем возможность составить асимптотическое выражение интеграла (2). Ирименяя известные правила, мы находим, что для больших значений параметра о1 асимптотическое выражение этого интеграла будет состоять из суммы двух слагаемых, отвечающих двум различным решениям системы уравнений (4). Эти слагаемые пи1путся так: Эта система уравнений не имеет решений, которые удовлетворяли бы необходимому условию» ) О. Таким образом, для больших значений е1 интеграл Н, будет иметь порядок малости более высокий, чем интеграл Н„и поэтому не будет рассматриваться в дальней1пем. Обратимся к составлению асимптотического выражения интеграла (2).
Разложим функцию Г, Д, х, р) в ряд Маклорена около решения з„х„() = — О уравнений (4). Для этих значений величин $, х, (э имеем а з. о РАснАдкнин коРАБвльных волн 523 первое слагаемое Гт — т~~пао~ьо) ~ — — ( — з)п 8$ + ( а а 2 (,Га 1 + ьн + 2н н')~ О ' ' Ф. о второе слагаемое ~ — — ', ( — "',.1" ОГ+ + $н+ —,' на))е ' 119. н, )Гное' ~кп "*'О) ~ 1(х ~ 11н~ ехр в -с О ОО., я 1 (ОРКСО аьо)-)- — О~ 1 е 2т.,) А,~ 1 азха .В /' Я ' (0)РКЬ, аь О)- — и] О)')' т' 2ЬО! Ьа! (19) (20) В этих формулах Ет Ят, н„О) и г"1 (з„на, О) имеют такие значения: Рт($1 нь О) = 4~, Р1(за, на, О) = а, (21) Что же касается Л1 и Ла, то это — значения дискриминанта (22) для первой и второй системы решений уравнений (4) соответзтвенно. Пользуясь формулами (18), находим Ь = —, (2н з)па 8 — ЕР).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
