Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Для выяснения взаимного расположения точки и, прямых (5) и разреза РР' будем считать, что угол и не превосходит и; это допущьение не уменьшает общности задачи. Здесь представится три случая: 1. 0 < 0 < а. П. а < 0 < и + а. 1П. я + а < 0 < 2я. (7) Кэ(хв,) = 1/ — "е-""э. ззяВ (8) Отметим, что это же асимптотическое выражение будем иметь и в областях второго листа римановой поверхности, не покрытых штриховкой, так как формула (8) имеет место для аргумента комплексного числа х11э в пределах ( — Зя!2, Зя/2); на второй лист переходим через разрез РР.
Заметив ато, будем непрерывно деформировать путь интегрирования с, вытягивая его в бесконечные дуги, идущие в бесконечно удаленные точки А, 6, А', С' прямых (5). Выполняя такую деФормацию, будем протягивать деформируемый контур с на второй лист римановой поверхности через разрез РР'. Преобразованный путь интегрирования будет состоять из четырех кривых линий: Г» Гю у» ую Кривая Г, идет частью по заштрихованной области первого листа, затем переходит через разрез РР' на второй лист и продолжается далее до бесконечности по незаштрихованной области второго листа.
Кривая Г начинается в точке 6' незаштрихованной области второго листа, переходит затем в заштрихованную область первого листа, чтобы достичь бесконечно удаленной точки А'. Бесконечно удаленные точки А, С, 6', А' кривых Г» Гз соединяются боковыми путями у и ум Первый из атих путей идет по неэаштрнхованным областям второго листа, а второй путь — по заштрихованным областям первого листа. Выполним преобразование интеграла (3) отдельно для каждого из этих случаев. Рассмотрим сначала первый случай.
На рис. 63, б изображена плоскость комплексного переменного (1 для этого случая. В областях, покрытых штриховкой, мнимая часть функции (6) положительна. Отсюда следует, что в удаленных частях этих областей функция К, (кйэ) имеет следующее асимптотическое выражение ((4), % 7.23); 550 гл. 1ч.
ИаустАновившиеся волновъ1е движвния Рассв<отрим теперь новую функцию Ф (г, 0), получаемую из функции Ф (г, 0) заменой и на — и; имеем — <а 1 — 11 1 Ф (г О) = ~ Кв (хВа) <1>аа + ~ К (хВа) <))ае, (14) Внутри полосы, ограниченной прямыми (5), подынтегральная функция имеет полюс лишь для углов О, удовлетворя>ощих нера- венству 0 < 0 < я — и. (15) Выполняя преобразование путей интегрирования, которое привело от формулы (10) к формулам (11) и (13), получаем следующее выражение вновь введенной функции (14): 1 1 Π— — — — <а+в>< Ке (хВ>А) е Ф(г, О) = (4ИК (хВ)] — 2е в ~ 1<„~в> э <))в.
(16) Пользуясь формулами (11), (13) и (16), мы можем записать выра-' жение этой функции так: Ч" (г,О,х)=К,(хВ)+К,(хЛ) — Т(г,О,х), 0<0<я — -и, Ч' (г, О, х) = К, (хВ) — Т (>., О, х), л — и < О < и + и, (17) Ч (., О, х) = — Т (., О, х), я + и < О < 2И, где 1 К„<нЛН) <+ е <» >е<а <(а 1 1 С» < — <а-В>1 Г Т(г,О,х) = — е в 1 К, (х))з) е е-><аев>е>а а < — — <а-в>1 + е 2 2И аа Первое слагаемое правой части входит в эту общую формулу лишь для углов О, удовлетворяющих неравенству (15).
В этом первом слагаемом Л имеет такое значение: Л' = 2гг' [СЬ т) — соз (и + 9)). Введем теперь в рассмотрение новую функцию Ч' (г, О, х), определяя ее формулой 4 Ч(г,О,х) =Ф(г,О)+Ф(.,О). 2 5. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; ЗАДАЧА КОШП вЂ” ПУАССОНА Выполняя небольшие преобразования, можно придать функции Т (г, О, х) другой вид: 1 1 с — — (»+О)1 — — (» — он 2 ) о 1 1 » — (»+2)( — (»-о)( 1 1 г( 22 , 2 — 'Р Зх .) ~ (+ ее(»» )еэ ' 1+ ея(" 2)еэ 1 о( Р) Р. о Так как в каждых квадратных скобках одно слагаемое переходит в другое при замене О на — О, то отсюда вытекает, что частные производные функции Т (г, О, х) по переменному 0 равны нулю при О = 0 и при О = 2я для всех значений г. Далее имеем — = — — з1п(а — О), — = =зш(а+ О); дЛ гг' дй гг' ае = л ' ае = д отсюда получаем дв (Ко(Х77)+К (х]7)] = = — — х(зш(а — О) К,(хг]) — зш(а+ 0) Ко(ХЛ)].
Для О = 0 правая часть этого равенства обращается в нуль для всех значений г. Возвратимся теперь к формулам (17); проведенные вычисления показывают, что частная производная функции Ч" (г, О, х), взятая по переменному О, обращается в нуль при 0 = 0 и 0 = 2я для всех значений г. Построив функцию Ч' (г, О, х) с этим свойством, подставим ее вместо функции К, (хе() в формулу (1).
Мы получим тогда некоторый потенциал скоростей )р (г, О, з; Г) волнового движения жидкости: Ч)(г, О, г; Е) = » = — ~ ]/Ох~э)п(( ф — ) (( ~/ — ) соз(хз+ — )— о ~оз(Г 3г о ) з]1 (2 1' 2 ) з(н(хз+ 4 )1Ч" (г~ О~ х)1]х. (18) Найдея( свойства движения жидкости, описываемого этим потен- циалом скоростей. 562 гл. гч пиустаповившиися волповык движепия $ О. Исследование дкфракциоиного движения жидкости В конце предыдущего параграфа было установлено, что частная производная функции Ч' (г, О, х) по переменному 0 равна нулю при 0 = О и 0 = 2п.
Отсюда следует, что потенциал скоростей (18) 3 5 дает движение жидкости, обтекающее обе стороны погруженной вертикальной полуплоскости. Найдем уравнение поверхности окидкости, соответствующее рассматриваемому потенциалу. Имеем — ' Ф = —; 1 х ~31п(~ 1/ Ф) БЬ И/ Ф) соз хе— о — соз (1 )/ — ) сй (1 )/ — ) жп хз~ Ч' (г, О, х) дх. (1) Положив здесь 1 = О, получим — — = — — ~ х зш хз Ч" (г, О, х) ох. д<р Г Г до ао 2 о Перепишем правую часть этой формулы в новом виде, используя формулы (17) 2 5.
Для углов О, удовлетворяющих неравенству О ( 0 ( х — и, получаем С Р 1 д~р г' Г у à — — = — — ~ х з)п хг К, (хЛ) йх — — ~ х з!и хз Ко (х17) йх -)- д д1 ао д о о +, х зоп хз Т (г, О, х) о)х. у Г о Применяя формулу ([4], з 13.21) т зш Ьт Ко (т) йт = яь 2(1+ Ьо)е о мы можем преобразовать предыдущее равенство к такому виду: 1 д[р Р' ( о о до 2х ~ (Яо ( оо)'1з (Ко Р оо)т ~ а Г 1 — а | — (р — 01)~ + — Л (2) 2ло 2 сова+со(р — ОО (ло ( о)ч Ю Устремим переменное з к пулю. Так как в пределах интегрирования величина Лэ не обращается в нуль, то последнее слагаемое 6 з.
исследОВАние диФРАкционного дВижения жидкости 663 правой части этой формулы обращается в нуль при г, стремящемся к нулю. Рассмотрим ватем первое слагаемое правой части. Величина Л может обращаться в нуль лишь при г = г' и О = — и или при г = г', 0 = 2я — а, но эти значения угла 0 не принадлежат рассматриваемому промежутку изменения угла О. Следовательно, для всех значений О в промежутке (О, и — а) имеем т о [ (дэ+ Ф) а 1 Что же касается функции (нэ+ гз) ь то для всех значений г чь г' эта функция стремится к нулю при г = О. Если псе г будет равен г', то для всех значений угла О, кроме О = а,.
расстояние Л будет отлично от нуля; при О = а эта функция будет обращаться в бесконечность. Но здесь следует отметить, что в пределах своего изменения (О, я — а) угол 0 может равняться углу а лишь в том случае, если а ( я72. Таким образом, для углов а ( и/2 правая часть формулы (2) и, следовательно, начальное возвьппение поверхности жидкости обращается в нуль во всей области иаменения г и для угла О в пределах(0, я — и), за исключением точки г = г, 0 = а. При этих последних значениях координат г, О начальное возвышение обращается в бесконечность. Если же угол и будет больше, чем я/2, то для 0 = а следует использовать вторую из формул (17) $ 5. В этом случае мы придем к тому же самому результату, как и выше. Из всего этого следует, что потенциал скоростей (18) $ 5 определяет движение жидкости, возникшее от начального возвышения поверхности, сосредоточенного в некоторой точке (г', а) поверхности жидкости.
Проведем подробный анализ формы волновой поверхности жидкости. Уравнение поверхности жидкости запишется так для любого момента времени: о Подставим сюда выражение функции Чг (г, О, к), даваемое формулой (17) з 5. Получим — — зш(1 ~l "~ )~Ь(~ ~/ ~ ) Т(Г,О, )Як+ Я(~, О), (3 з д о, исслвдовлнин дифглкционного движяния жидкости 888 и отметим, что при этих новых обозначениях будем иметь одо кйр = 2 рта В новых обозпачениях формулы (5) и (6) после изменения порядка интегрирования запишутся так: 1 ма ~ е *-' гад згг' ~ 1+еэедоа — Ю р' ~ т у"та д Х1$ д ( ~~)э)дм Ж (7) о 1 ода ~ еа Ыр ~ ~И Ма = —, х 8гг' ) ~ ) р — К«+о) ре,д та )г'т С 1 ~ "('Г) "( — ',.') '" о Рассмотрим внутренний интеграл этих формул, положим О гее =~ "("Р)" (".'") "' о Если заменить произведение синусов суммой показательных функций, то интеграл У может быть преобразован к виду 5' = 2 %д + дгд), где 4' За о причем Е Я) = (1 + д) у'7 — э.
Функция Пд — функция, сопряженная функции Уд. Интеграл Уд может быть выражен через интеграл Френеля. Введем вместо переменного э новое переменное интегрирования з, полагая 1 1 — гв з=)/$ — =ее )Гу- В силу этой замены перемекного интегрирования новый путь интегрирования будет состоять из отрезка прямой линии, соеди- 1 — ед няющей точку — =е' с началом координат, продолженного г'2 566 ГЛ. 1Ч. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ положительной частью действительной оси от х = 0 до х =- со. После етого преобразования будем иметь следующее выражение интеграла 411: о 1 1 з . з 3 —,«., 3 —,.' — «н 11 = — ееер ~ ~хо+ — е4 хз+ — ез х+ — ее ~Х 21 е ~, уе2 2 2 р'2 1 1 4 — — е Р'2 хех 1 Ф Х е 2334(х + —.е' рХ 21 Ю 1 1 3 х' 3 — 1 3 — 1 Х ~ (хз + е 4 хз + — е 2 х + — е ' ) е "341х. (9) р'2 2 2 р'2 о Второй интеграл правой части формулы (9) легко вычисляется и получает следующее значение: еа ее 1 1 3 .
эхе 1 зеро / 3 3 4 хо 3 о ех' 1 1 1 — / т — ез.е Глтр Зтр 3 — — "4 $ / ятр 2тзрз Л = — е4'р ~ — е 4 у — + — + — тре 4 — "у 2 ~4 1' о1 243 2 ео Ре и 332 /' (10) Рассмотрим первый интеграл правой части формулы (9). Для его вычисления отметим следующие вспомогательные формулы, выведенные путем интегрирования по частям: о ххе 31 ех з, етр, 2тзрз ~ хзе зер4(х е 4 а+ ~ е 433 243 312 1 ез 1 4 — — е У2 Хос 2ер 1 — ее 1 4 — е -Г ° ( — ", 1 хе зере(х = — е 4'р — 1 1 хе 1 4 — — е уз 1 6. НсслкдОВАнпк дпФРАнцпонного двшкгния япгдкостп 5я М е 1Юу) .
1 — 1 1 1 — =е 1/2 Па основании этих формул первый интеграл правой части формулы (9) будет равен При дальнейших вычислениях будем учитывать лишь первый член формулы (11), содержащий 01 "; следовательно, Обратимся теперь к формуле (7) и, принимая найденное значение У„вычислим интеграл 10 т/1-2 1 4 т ')/тз — 1 1 1 для больших значений 00. Применяя метод установившихся фаз, получаем 1 и, следовательно, Ыт 01 11)/тг 1 01 1 01 яр вУ2 ы яр )/2 ш1 1 1 1 — Г 1 — ы / зтр тр Зтр .г — — — ~1 — е "0 ~ — ее у — — — + — „у'лтре 2 ь4 03 01 201"а + —,,Р (1 — е '"0 ) — — ф' — ~1 — — Р) ~ ~-10'Ыу 1 . ~'Ж Пользуясь этим результатом и формулой (10), получаем для 1/1 такое выражение: ОЭ$1 1 1 — Г 1 — "1 / ятр, тр — — Гн1 / ятр У1 — — — е' 0~ — е 0 У вЂ” + — +Зтуе ' — 1/ 2 ) 2 У 01 ' 2м Я (Π— — "," .
— —,' ~/ — "(1 — — '"' ~ -'" (у)1. (11) У Мр Гл. 1у. ИвустАновившиеся ВОлнОВые дВижения На основании этих подсчетов применением метода установившихся фаз получаем для ЛХ1 такое выражение: ог 1 4 а М1— С)ггг ) (1 + 1(а — 0)) 2 (12) ,„у„— „4са 2 Ч г) 2 гт' )ггт ) (1 ( е — 1(а+0)) 2 (13) Составим теперь формулу (4); имеем, используя формулы (12) и (13), ~ х юп ~1~/ — ~ яЬ (1 ~/ — ) Т (г, О, х) дх = о соя 1 4 ' р 1 — а 1 ))ао) ог 1 2 à — (« — 0) — — (а+0)1 Ца — 0) 1 + — г(а+0) 2 )'гг сЬ'— г Ч 2 Простой подсчет показывает, что 1 1 соя — а соя — 0 2 2 — (а — 0)1 1 е 2 — — (а+о в 1 е , „,-х'+ю соя а + соя 0 1 + е((» — 0) Отсюда предыдущая формула запишется так: г» ~ х ю и (1 ~/ — ) яЬ (( )/ — ) Т (г, 0, х) ()х = о -( — соя — а соя — 0 1»гцо 2 2 4 с)г — Ч соя а+ соя 0 е)г '— гг Ч 2 Придадим этой формуле другой вид, зная, что с" Ч = 22 Рассмотрим затем функцию ЛХ„определяемую формулой (8); ее асимптотическое выражение для больших о) получится заменой в формуле (12) е((а-0) на е-((а+0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
