Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Но анализ полученного решения, который представлял бы с достаточной простотой и ясностью процесс распространения волн по поверхности бассейна конечного протяжения, исключительно сложен н даже для простейших бассейнов еще не выполнен, Образцом желаемого исследования может служить приводимое в этом параграфе решение задачи о распространении кольцевых волн по поверхности бесконечно глубокой жидкости, заполняющей все нижнее полупространство. Допустим, что в начальный момент времени дано импульсивное давление, приложенное к поверхности жидкости, и форма поверхности жидкости; будем предполагать, что эти данные обладают симметрией по отношению к некоторой точке, взятой в качестве начала координат на свободной, невозмущенной поверхности жидкости.
$3. ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА 543 Пусть будет р~р(х, у,0; 0) = Р(г), г = )/хо+ у' = 1(т), Возьмем простейшее решение уравнения Лапласа, симметричное относительно оси Ог и удовлетворяющее волновому условию (1) $ 1: ~р == еы (А сов Оо + В вьп оо) Хо (йг), оо =-- уй. (2) Коэффициенты А, В произвольны; выбирая их в виде некоторых функций параметра й, мы сможем удовлетворить начальным условиям задачи (1). Проинтегрируем функцию (2) по параметру й в пределах от нуля до бесконечности; в результате получим снова потенциал скоростей волнового движения: ~р(г,г;1) = ~ еоо(Асоват+ Ввшо1)Х,(йг)г(й.
(3) о Подставляя эти выражения функций А (й) и В (й) в формулу (3), получаем решение задачи Коши — Пуассона при симметричных начальных данных: ор(т,з; о) = — ~ йе"'совогХо(йт)дй~ аХ,(йа) Р(а)да+ 4 Г Р о о Ю +) оеоовшоеХо(йт) е(й~ аХ,(йа)Х(а)аа. (4) о о Определим функции А (й) и В (й) так, чтобы удовлетворялись начальные условия задачи. Для определения этих функций получим следующие два уравнения: Р (г) = р ~ А (й) Хо (йг) дй, 1(г) = ~ — В (й) Хо (йт) йй. о о '~ Неизвестные функции А (й) и В (й) могут быть получены из этих уравнений на основе формул обращения теории функций Бесселя Ь(г) = ~ йХо(йт) М(й) дй, ЛХ(й) = ~ аХо(йа) 7 (а) Ыа. о о Применяя эти формулы, получаем Р А (й) = — ~ аХо (йа) В (а) да, В (й) = о ~ аХо (йа) / (а) да.
й г Р о о 544 Выполним анализ полученного решения для двух частных случаев. Предположим сначала, что волны образовались под влиянием лишь начального возвышения поворхности жидкости: г' (г) = =. О. Затем рассмотрим волновые движения, образовавшиеся лишь от начального импульсивного давления, в атом случае ( (г) = О. Рассмотрим первый случай. Допустим, что начальное возвышение поверхности жидкости сконцентрировано около начала координат, занимая кружок весьма малого радиуса е, причем вертикальные координаты точек поверхности жидкости внутри этого кружка столь велики, что интеграл 2я ~ аХо (йа) ~ (а) На о имеет конечное значение, отличное от нуля, равное объему Р начального возвышения. Прп этих предположениях потенциал скоростей запишется так: Ю ~р(г, г; 1) = — ~ ае"*зшагХо(йг) ай.
о (5) Во втором случае будем предполагать, что импульсивное давление сосредоточено на поверхности маленького кружка радиуса е с центром в начале координат и имеет столь большов значение, что интеграл о 2я ~ аУо (йа) Р (а) да о отличен от нуля и равен полному импульсу Я, сосредоточенному в области начала координат, Потенциал скоростей возникшего движения жидкости будет ор(г, г;о) — ~ йео*созагуо(йг)Нй, Ю (6) о Если начальные данные задачи Коши — Пуассона не обладают центральной симметрией, а представляются функциями, зависящими от двух горизонтальных координат, то соответствующее решение задачи может быть получено интегрированием функций (5) и (6) по области определения начальных данных.
Величины т' и Я легко связываются при этом с начальными данными. Перейдем теперь к изучению потенциалов скоростей (5) н (6). 545 1 3. 3АдАчА кОши — пуАссОЫА Разложим з!и а1 в ряд Маклорена и представим потенциал (5) в виде следующего ряда: е — а 1)л+1 Еаа а Обозначим через Р„(р) многочлен Лежандра порядка и. В теории функций Лежандра доказывается следующая формула: д 1 1 л()а) = п! )1 = — —.
дг Ггго+ ио г~~ Таким образом, е и Со"е)'Уо (йг) СЦе = и! — „,1 Р„()1). г+ о Отсюда формула (7) перепишется так: ар (г, г! 1) = — — ~ ' о"-1Р„()1), у е! %'ч ( — 1) 11л! 2я ге иг ) (2п — 1)! где оо = д)о! г. Найдем отсюда значение ар (г, и; 1) для з = О. Принимая во внимание формулы , +, (О) = О, Ро„(()) = (- 4) 1 3 5... (2т — 1) получаем ( — 1) + (2т)! 1.3 5...
(2ап — 1) еее~-1. (8) !4т — 1)! 2 46...2т ер(г, О;1) =— 81 Х-т Дифференцируя эту фоРмулу по переменному 1, находим уравнение поверхности жидкости: ( — 1) ~ (2т)! 1 3.5... (2т — 1) от 1 (9 2лго аг 1 (4т — 1)! 2 4 6... 2т т=а Для дальнейшего преобразования ряда (8) отметим равенство 1 ° 3 5...(2т — 1) 1 2 4 6... 2т 2 ~-е (,„1)р (2т)1 (4 — 1)!' 18 Л. Н Сзетеааеииа Имеем, применяя известную формулу из теории функций Бесселя, л аа и д '1 ве л о'"еМо(йг) г))е = е" — „г1 е"ело(йг) ~Цс = е" — „ о о 546 гл.
~к ннкстлноппаюинся волповык двиягвния где юо 246...(4т — 2) (' Хо ~ л л 6 5 4 Л) опп ада о Преобразуем, пользуясь этой формулой, выражение потенциала скоростей (8); получим '~/о ото-1 ср(г,0;Г) = — ~ ~~) ( — 1) -л( — ) „о[а.
о т=л ( 6 ) ( ~1)[о "о. Бесконечный ряд имеет своей суммой функцию Бесселя нулевого номера от — ол (1 — $о). Таким образом, 1 р(г~0~1)= 1(1 $)Хо~ 4 ~~(1 $)[й~. о Приведем эту формулу к более простому виду; полагая ю=4т, — ол$о=у, — = — =т, 1 а лн 4 ' 4 4г получим ор(г,0;г) = — '~(то — уо)Х (' — уо)Ф о (10) Пайдем отслода уравнение поверхности жидкости: ь = —, л [Х, (т' — уо) — (т' — у') Х, (т' — уо)] о[у.
Рт Г о Прообразуолл эту формулу к другому виду, заллопяя переменное у новым переменным тЛ, вводилгым равенством О т' — у' = т' соз тл, с[у = = соз — гЮ. у2 2 Получим ~!2 = — ~ [Хо(т'созд) — тосозОХл(тесова)]сов — д(), я )/2г' 2 Перейдем здось к новому переменному интегрирования 6, полагая соз и — — с, — з]п и йх = оЦ; получим 1 й.
ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА 42 Для дзльнейп4сго преобразоваппя этого вырая;еяня заимстгуелй из теории функций Бесселя следующую формулу ([4), ~~ 5.43): Юй Хи (г) Х„(г) = — ~ Хэ„(22 соя О) соя ((р — т) О) 4В. 2 о Получим ый б я lт~й lтйт Хо(тйсояб)соя — 4(О = — Х, ~ — ) Х 2 2 — (2) — ~2)' о 4 4 л/2 о Зб я /тй~ /221 Х,(тйсояб) соя — Ой =. — Х, ~ — )Х, ( — ) = 2 2 — ~2) (,2) 4 =Я' ';( —.")';,(-")-'; ~ — ")';( — ")1 Юй ~ Х,(т'сояй)сов — Ю = — Х, ( —,)Хо ( —,).
о 4 4 Составим теперь на основе этих формул выражение функции (11); найдем =.~'-.',. Р ( —.")' (-'-')- 4 4 — ~Х. ( — 2)Хй( — ',) — Х 2(2)Х '(2')Д (12) Эта изящная формула, определяющая форму поверхности жидкости во всякий момент времени, была предложена Н. Е. Кочиныйц который получил ее на основе методов теории размерностей (15) Если сопоставить формулы (5) и (6), полагая в них г = О, то нетрудно будет найти, что уравнение поверхности жидкости, приведенной в движение начальным концентрированным импульсивным давлением, будет Я дь РУИ дй (16) или Утй я )/2 гй = ~ Хо (тй соя О) соя о 4(О тй ~ Хд(тй сов 9) сов — 4(О— б Зб 2 2 2 о — — тй 1 Х,(тйгоя())соя — гВ.
111) о 549 1 О. ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА приводим формулу (15) к такому виду: о 1 1р(г,г; 1) = 4 ео ~ )/дме'"*Я1п()/днео 1) Н, (1хг)дх+ о о .'" 1 + — е ' ~ ф' ухе '"*я1п()/Кхе 1 1) Но ( — 1хг) 1гх. о Для дальнейшего преобрааования отметим формулы ((4], Я 3.62, 3.7) Н~~~(1хг) = —.К (хг), Но"~'( — 1хг) =- — Н~~~(1хг); здесь К (хг) — функция Макдональда. Применяя эти формулы, получаем 1 1р(г,г; 1) = — е'о ~ )I дхе™ я1п(г~/Кхео )Ко(хг) е(х т о О 1 + —,е ' 1 угадке-1"оя1п(1)/ухе о ) Ко(хг)дх. о Выполняя небольшие преобразования, находим 1р(г, г,г)= —,, ~ )гдх~з1п(Е $/г — ) СЬ(Е 1/ — ) соз( — и+ хг)— о — соа(г 1/ 2 )ЯЬ(г 1/ 2 )Я1п( — п-)-хг)1Ко(х,г)1гх.
(16) Из этой формулы получаем О~ = — ~ х (Я1п (г 1/ — ) ЯЬ) г ~/ — ) сов хгв о — соя(1 ~/ е-)сЬ(~1/ —,) шпхг1К,(хг)Сох. В этой формуле можно положить г = О, так как присутствие функции Ко (хг) обеспечивает равномерную сходимость интеграла по параметру г. Таким образом, уравнение поверхности жидкости запишется в произвольный момент времени так: Ф ~= — ~ ХЯ1п(г~/ ех)ЯЬ(11/го )Ко(хг)1(х. (17) о Гл. тч. Иеустановиншиеся ВОлнОВые дВижения Несколько более сложная формула может быть получена для возвышения ь' поверхности жидкости, приведенной в колебательное движение начальным сосредоточенным импульсом величины О': [ .( 1/ — ",').й( 1.~ ф+ о + в п(ф г )СЬ (г ~l г )1К,(хг) Их.
Применим формулу (17) к определению асимптотической формулы для э прп больгппх значениях параметра т = а)о)(2г). Для этого введем в формулу (17) новое перелгенное интегрирования э = )/ гк!с, получим = — то') во в)пт$в)тт$Ко(т$о) д$. о Для больших значений параметра т возможно заменить функцию Ко (т$о) ее асимптотическим выражением *): Ко (т$') = — 1/ — е-'~*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
