Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 79
Текст из файла (страница 79)
о 22. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ВОЛНОВОТО СОПРОТНВ.1К11пя 527 где д = агсьд —. Что же касается й и 1, то вместо них надо подстаУо вить соответственно хо 2 Хо+ Уо. После таких преобразований будет составлен потенциал ско- Ростей источника, нахоДЯЩегосЯ в точке (х„У„хо) повеРхности тела. Интегрируя выражение этого потенциала по всей поверх- ности Х, находим потенциал скоростей, возникающих от движе- ния твердого тела.
Выпишем выражения этого потенциала для точек, находящих- ся далеко от тела. Применяя формулу (26) 1 27, найдем, после указанных замен, ввв1 и-вл Ф = — — ~~~ 22Е Е Х,( — [в Х, '+ у',) Х 8 2=-1 Х )[.7, ( — [1х'+ у') з1п [з(6 — бо)] + 1 овово + )', ( — )в'х'+ уо) соз [е(д — бо)[~ у (х„у„хо) Ю. (1) Определение плотности в7 (хо, уо, 2,) доставляет большие затруднения. Чтобы найти функцию д (хо, у„хо), надо решать интегральное уравнение, получающееся из условия обтекания поверхности тела волновым потоком. Ввиду сложности этого урав- нения ограничиваются обычно приближенным выражением функ- Ции д (х„Уо, 2,), считаЯ, что пРи Достаточно глУбоком погРУже- нни движущегося тела истинная плотность простого слоя источ- ников мало отличается от той плотности, при которой достигается обтекание тела потоком, неограниченно простирающимся по всем направлениям.
Надо заметить, что простой слой источников, дающих обте- кание тела, может в ряде случаев находиться не на поверхности обтекаемого тела, а на некоторой другой поверхности, располо- женной внутри тела. С таким обстоятельством мы встретились, 1'апркмер, при рассмотрении в З 19 движения эллипсоида. 5 29.
Определение главного момента волнового сопротивления Для составления уравнения движения тела по круговой траектории необходимо знать главный момент сил давления жидкости на поверхность тела. Среди трех компонент этого момента особенно важно знать вертикальную его составляющую. Эту составляющую можно найти с помощью уравнений движения жидкости в системе осей координат, связанных с перемещающимся телом. б22 Рл. 111. пгостРАнстввннАя зАдАчА о мАлых воляАй Назовем буквами и, и, ш компоненты абсолютной скорости, взятые по осям подвижной системы координат.
Для определения абсолютного движения жидкости будем иметь следующую систему уравнений: ди ди + (и — юх) — + ю — — юи дк дг дх дх -)- (и — ых) — + и — + юи ду дг дх дх + (и — юх) — + ш —, + К ду аг ди да дх — + — + — = О. дх ду дх Уравнения атой системы можно преобразовать обычным путем, вводя функцию Н= — + — У+ух, р 2 р 2 к такому виду: ди ди ю(у — --х — — и) = дх ду дх дх ю(у — — * — +и) = дх ду дх дх '1 ю(у — — х— ах ад ) = Умножим эти уравнения соответственно на и, и, и и результаты сложим, получим Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объему Т, ограниченному поверхностью тела Я, открытой поверхностью жидкости Р и поверхностью Х круглого вертикального цилиндра большого радиуса В с осью, совпадающей с осью Ог системы координат. Будем иметь 1 Я ( д~л д1'2) Я ( дни дна дни ) т т Преобразуем правую и левую части этого равенства по отдель- ности.
Имеем, применяя формулу Остроградского, Я(у д х д )ит = )) г (уа хр)ил+ т 6 + ~~ г'(уа — хр)дЯ+~~ г'(уа — хр)ИЯ, (3) р Е ди (и+ оу)— дх (и + озу)— дх (и+ юу) —. дН дх ан ау ' дН дх ар р дх др р дк 1 др р дх' 1 за главный моминт волнового сопготивлкнпк 52б ~~ У' (уа — х()) дЯ = О. Интеграл по поверхности цилиндра Х также равен нулю, так как в точках его поверхности х „у а =— л ' р л Следовательно, я(у з — 1 ) йт = ~~Г'(уа — хр) Ы т в (4) Рассмотрим затем правую часть равенства (2). Имеем Я( — + — + — ) дт = — ~~Н(па+ ир + и>у)ЙЯ+ т в + ))Н(па+ и(3+ юу)дЯ+Ц)Н(на+ ар+ юу)дЯ. (5) В точках поверхности Я соблюдается условие обтекания этой поверхности: иа + ир + юу == ю (хр — уа), следовательно, )) Н(иа+ ар+ йу)дЯ = юЦ) Н(х() — уа)ИЯ.
в В В точках среднего уровня а = р — О, у = 1, поэтому ')) Н(иа+ ф+ юу) дЯ = )) Нюанс. В точках поверхности цилиндра Х имеем а= —, р= —, у=О, =л р=я следовательно, ~~Н(иа+ ф+ юу) ~)'е = я ~~ (* + У ) где а, р, у — направляющие косинусы нормали к соответствующей поверхности, взятые в направлении от жидкости. Интегрирование по поверхности Р может быть заменено интегрированием по среднему уровню жидкости, в точках же этого уровня а -- р = =- О, следовательно, 5 22. ГЛЛВНЫЙ момЕНт ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 53! новании граничного условия (7) д 27 имеем отсюда вытекает, что в 1%У =-й "14-( — ':)' ° Р о о = — — ~г~(=)1 (]г=0, о так как производная дФ/дб — функция однозначная.
Теперь формула (9) примет свой окончательный вид: О ог дФ дФ ("((' = — рг (12 —. — (Ю. ,] дб дг (10) — ~О о ого дФ о(опт ов — — — з'е (г(~, )~Х, — У) соз [з (6 — бо)]— (;" — У,( — "Р) з(п]з(0 — 0,)]~, (";' е ) з(п ]е((т — бо)] + + 3', ~ — ео) соз (о (б — бо)]~, В дн дф о(о чч — о* — — — Фе е (г' (ю, г) (у, дг до,~ 2 о=1 где для краткости записи положено и*о О(,*)-))* ° 'г.( — "ч(гл~-г((о(*.,г. *.(оо.
д С помощью этих разложений находим величину интеграла: ол гам — — — Е дФ дФ . 2о~ ъ-( — — (И = — ч Уе е (,г(со,г). дб дг дог ~г 2 (11) Применим эту формулу к обтеканию поверхности Я, предполагая известным распределение источников на этой поверхности. Так как в формуле (10) радиус г должен быть взят бесконечно болыпнм, то вместо полного выражения потенциала скоростей Ф достаточно взять его выражение (1) $28, содержащее лишь члены порядка г-".
Формула (1) з 28 приводит к следующим разложениям: 532 гл ггг пРОстРАнстВеннАя ЗАдАЯА О мАлых ВОлнАх При вычислении этого интеграла была испольаована формула (аА ) ° (мог ) ° (оэ~г ) (аоог ) 2г Подставим значение интеграла (11) в общую формулу (10); выполняя интегрирование по переменному г, получаем окончательный результат: (12) $ 30. Волновое сопротивление сферы и эллипсоида Формула (10) 2 29 позволяет найти составляющую У главного вектора давления, приложенного к поверхности сферы. Заменяя сферу радиуса а диполем момента )о = 2лоа(ао, мы можем при вычислении составляющей Л' главного момента сил давления, определяемого формулой (10) 2 29, использовать формулу (28) з 27.
Внутренний интеграл этой формулы имеет следующее значение: ол Оаая а — А] о а=а Отсюда находим о ол ~ ааг~ Эф а ай= -и о о аль о а а — за[у,( — Р)1е г "~е г аЬ, ао т и, следовательно, составляющая Л~ главного момента сил давления будет О А Ла = — о „~ ~~~~э'е г ~Х, ( — "Н го)1 . а=а С помощью этой формулы можно определить составляющую У главного вектора, используя формулу, пригодную для сферы: Л" = П'.
Получаем, вводя в формулу радиус сферы, э"ь,а а р ~т гое г ~~ (о' го)~ (1) а и ~ зэ. ВОлнОВОе сОпРОтиВление сФБРы и эллипсоидА 533 Наряду с этой формулой можно установить другую, которая будет давать проекцию главного вектора сил давления на ось Ох, т. е. радиальную компоненту. Не приводя вывода этой формулы, ука;кем ее: Х = — яра ю [~4 — — — ) + 2 зэ I 3 лв~ 3 16 лл/ <» Лэ -элл + 4нризеээ ' ~ злу (Е[) Х~ (И) гУг. в=1 О а~ юг уг тэ — "' Пользуясь формулой (1), Хэвелок рассчитал величину У, которая является волновым сопротивлением сферы, для не- г у'Ж~А скольких значений параметров задачи [126).
На рис. 62 представлены результаты А У А проведенных вычислений. Кривая В представляет л волновое сопРотивление пРи ~~ у А равенстве радиуса циркуляции [ глубине Ь погружения центра сферы. Кривая С представляет волновое сопротивление при[ = 4й. Кри- Рнс. вая же А изображает волновое сопротивление сферыпри ее прямолинейном движении со скоростью с (= ю[) на глубине й. Построенные кривые показывают, что прн достаточно большом радиусе циркуляции [ волновое сопротивление мало отличается от волнового сопротивления прямолинейного движения. Вместе с тем следует отметить интересное обстоятельство волнообразного изменения волнового сопротивления при равенстве глубины погружения сферы радиусу циркуляции.
Рассматриваемая задача о движении сферы получила дальнейшее развитие в работах Е. А. Курлович н Э. А. Пержнянко [22), [34[. В первой из этих работ рассматривается установившееся движение сферы под поверхностью жидкости конечной глубины, во второй — изучается вопрос о волновом сопротивлении тела при его движении по круговой траектории в цилиндрическом бассейне и в круговом канале. Исследование движения тонкого тела типа Мичелля было предпринято индийским математиком Бхаттачария [79[, Отметим затем исследование 3.
М. Шкуркиной о неустановившемся движении сферы по круговой орбите; общие формулы для волнового сопротивления прилагаются к разбору ряда частных случаев движения [75[, Глава 1Ч НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ $1. Неустаиовившиеся движения жидкости в бассейнах Основная задача теории неустановившихся движений тяжелой жидкости состоит в определении вида свободной поверхности жидкости, приведенной в движение какими-либо внешними причинами. Большей частью изучается волновое движение жидкости, вызванное теми импульсивными давлениями, которые приложены в начальный момент времени к открытой поверхности. Одновременно рассматриваются и движения, возникшие в начальный момент времени благодаря нарушению вида горизонтальной равновесной поверхности жидкости.
Определение волнового движения жидкости, порожденного начальным импульсивным давлением в соединении с начальным изменением горизонтальной поверхности жидкости, составляет содержание основной задачи теории волн — задачи Коши — Пуассона. Наряду с задачей Коши — Пуассона большое значение в этой теории имеет исследование тех волновых движений, которые образуются при неустановившемся движении твердых тел, погруженных в жидкость или перемещающихся по ее поверхности. Приступая к изучению различных задач теории неустановившихся волновых движеяий, отметим, что во всем дальнейшем будут рассмотрены лишь потенциальные движения с допущениями теории малых волн.
Безвихревой характер движений будет обусловлен видом начальных условий рассматриваемых задач. В И 1, 2 гл. 1 было установлено, что потенциал скоростей неустановившегося волнового движения удовлетворяет на среднем уровне жидкости, на плоскости г = О, такому граничному условию для любого момента времени: Если жидкость находится в сосуде, ограниченном поверхностью Х, то во все время движения должно соблюдаться условие обтекания поверхности Х: (2) ! НВУСТАНОВНВШПВСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ВАССЕИНАХ 535 Отклонение Ь (х, у; Ь) точки свободной поверхности от среднего уровня определяется формулой (3) Допустим, что в начальный момент времени, Ь =- О, известна форма поверхности жидкости и начальное импульсивное давление, приложенное к точкам свободной поверхности. Иными словами, предположим, что в начальный момент времени дано Ь и импульсивное давление (кр как функции координат х, у точек свободной поверхности: — = ) (х, у), рф (х, у, 0; 0) = Р (х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
