Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 75
Текст из файла (страница 75)
ВОлны От подВОдного источникА 501 Для определения функции Н (й, О) необходимо знать распределение значений дв и 1(врСсСп на обтекаемой поверхности Я. По можно избежать этого, дав другое выражение функции Н (й, О). Поставим задачу: найти такой простой слой источников на поверхности Я, чтобы потенциал скоростей этого слоя давал потенциал скоростей потока, обтекающего поверхность Я. Плотность д (х, у, г) искомого простого слоя находится в результате решения интегрального уравнения Фредгольма. Через функцию д (х, у, з), удовлетворяющую этому уравнению, функция Н (Се, О) записывается так: и (се, О) = Я д (Ц, т[, г) евсе+'с вев в+аз мв е>,сч (3) Я Сложная задача решения интегрального уравнения может быть оставлена в стороне, если обтекаемое тело находится достаточно глубоко под поверхностью жидкости.
В этом случае для вычисления Н (й, О) можно в формулу (1) подставить вместо функций се и ейрЯп, относящихся к волновому потоку, функции ес и с[ерссся, соответствующие движению тела в неограниченном потоке, т. е. воспользоваться результатами теории крыла аэроплана. Таким путем могут быть получены данные выше формулы для волнового сопротивления сферы, эллипсоида и тонкого судна Мичелля. Метод функции Н (й, О) был применен различными авторами к решению разнообразных задач обтекания твердого тела волновым потоком [16'[, [65'!.
й 25. Волны от подводного источника периодического дебита Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой жидкости находится источник Я, дебит которого ~) = д соя ОС, где д — постоянная величина, а — частота колебания дебита источника. Пусть координаты центра источника будут (О, О, — Ь). Поместим в точке с координатами (О, О, й) фиктивный сток дебита ().
Представим потенциал скоростей движения жидкости, вызванного источником Я, в следующем виде: Ф(х, у,з;с)— 1 [1г"в+('+ь)' ес '+( — ь)в1 сояос+ + — „<р (х, у, з) соя ас, (1) где ге = х' + у' и дв (х, у, з) — искомая функция. Функция Ф должна удовлетворять при з = О такому граничному условию: двФ дФ вЂ”.+у — =О. дее де 502 гл 1п НРОстРАнстВеннАя зАдАчА О мАлых ВОлнАх Отсюда вытекает, что функция Ф (х, у, ъ), правильная в нижнем полупространстве, будет удовлетворять следующему граничному условию при з = 0: дФ гъ 2УЬ дг („ъ.) Аг)'а ' Перепишем это условие в другом виде, пользуясь формулами: Ю 1 = ~е ъо р (йг) ус, о А „= '1 йе-ъ"Х, (йг) Ий; (гг+ Аг) ' ) о получим у Ф вЂ” ОЗ1р = 2д~ йе ъ"Хо(йг)е)й. дг о (2) Будем искать функцию Ф (х, у, е) в виде следующего интеграла: О Ф = ~ А (й) его (йт) <й (з ( 0), о содержащего неизвестную функцию А (й).
Подстановка этого ин- теграла в условие (2) определяет функцию А (й): А (й) 2хй ъо Отсюда получаем выражение потенциала 1р: ( Ф = — 2д) . ' ег~г-Ю/о(йг) ггй. 1 са — Ха о о' .Ог ем о~ аъг ,р-,р + Ал) ',е У, (. ") На пути интегрирования находится полюс й = ОЧд; поэтому мы должны обойти этот полюс на плоскости комплексного переменного й маленькой полуокружностью; такую полуокружность можно взять или в верхней полуплоскости, или в нижней полуплоскости. Если через Ф' мы обозначим потенциал, получаемый при верхней полуокружности, а через Ф вЂ” при нижней полуокружности, то будем иметь такое соотношение: подводного >(стенника Рассь(отрим функцию (р+ и преобразуем ее к новому виду, заменяя функцию Бесселя полусуммой двух функций Ганкеля: ~2 (Йг) ~ [Н2 (Йг) + Н2 (Йг)] Найдем Ф Ю (2+ = ~ е"(*-"> Н(2)(Йг)(]Й'+ ~ е2(' 2>Н2 (Йг)(]Й.
>> — а2>д Имея в виду асимптотические формулы ( [22 — — 2) Н(2> (Й ) 1/ 2 ([,22 — 2 д) 2' хйг е справедливые для больших значений г, можно установить, что интегрирование по действительной оси в первом интеграле может быть заменено интегрированием по положительной части мнимой оси, а интегрирование во втором интеграле может быть заменено интегрированием по отрицательной части мнимой оси. Выполняя такое изменение путей интегрирования и принимая в расчет вычет полюса Й =- а2('д во втором интеграле, получаем новое представление функции (р+: + ) ак(г-2) Н(2) ((хг) ([х + ,> о2/(( — х( 2 е-ьм(2 >'>Н2 ( — >хг)([х — 2я> — е Н2 ~ — > х .
(2), 02 а ('-") (2) I Ф~ о2/д + х( л ' ~г) 2 Преобразуем зту формулу на основании соотношения между двумя функциями Гаккеля одного и того же порядка: Н2' ( — (хг) = — Н,' ([хг); (2) (и после ряда преобразований получим (р' = 22 ~ 2 ",",,] — 'зш [х (2 — Ь)] + х соз [х (2 — Ь)]~ Н$~(>хг) ([х— 2 Принимая во внимание формулу Н(,') (>хг) = —. К2 (хг), 004 гл. ш. НРОстРАнстВкнпАЯ зАдАчА О ыАлых ВОлнАх где йо (з) — функция Макдональда нулевого порядка, получаем другое изображение функции ф~: 1Р'= — "( ""',(Ооя1п(х(з — Ь))+Ухсоя(х(з — й)])Хо(хг)— Я 1 СО+ еьзе о ы е Пользуясь формулой (4), находим функцию ф-; — о „о (О Б1П (Х (3 — й)) + Ух СОВ (Х (3 — й))) Х~О(ХГ) + о а +2Я1 — ее Но 1 — ).
(6) со — (г — л) 00 / сот е К Возьмем полусумму функций ф' и ф-; новая функция, которую будем обозначать через ф, будет удовлетворять граничному условию (2). Эта функция запишется так: со — "1 — о> / сог 1 ф=Я вЂ” 2я — ее Уо~ — ), (7) л где Ю обозначает для краткости первые интегральные слагаемые формул (5) и (6), а Уо( — ) = 21 ~7/о ( ) — тто ( )) ° Если теперь взять полуразность функций (6) и (5), то получим функцию ы ф' = 2я — е е ' Уо ~ — "~ . Ю л / (8) Эта функция будет удовлетворять однородному условию (2), т.
е. д — — О ф' = О. дф' дг Заметим теперь, что условие (2) остается без изменения, если в формуле (1) соя О1 заменить на ып О1. Отсюда вытекает, что потенциал скоростей 1 1 4я [)/„о+(о+ А)о у"„о (о А)о) ++ф(х,у/з)сояог++ф'(т,у,з)Б1по/, (9) имеющий более общий вид, чем потенциал скоростей (1), будет обеспечивать своими составляющими функциями ф и ф' удовлет- 25. ВОЛНЫ ОТ ПОДВОДНОГО ИСТОЧНИКА 505 воренне граничного условия (2) в его неоднородном и однородном виде. Таким образом, потенциал скоростей (9) дает волновое движение жидкости, вызванное подводным источником дебита д и находящимся на глубине Ь.
Покажем, что этим потенциалом удовлетворяется условие излучения, начальным же потенциалом (1) зто условие не будет удовлетворяться. Рассмотрим для этого сначала два последних слагаемых выражения (9); имеем ер(т, у,я)сояо1+ ер'(х, у,я) я1пой = аа С2 — 1е — А) Г I сег 1 е сег1 = ЯсоЯО1 — 2л — е Я ~У,~ — ) соэо1 — Уе ~ — ) Я[по1~ . (10) я я я Найдем асимптотическое выражение функции, стоящей в квадратных скобках, для больших значений переменного Нег(д; пользуясь соответствующими асимптотическими формулами для функций Бесселя, получаем Уе ~ — ) соя О1 — Хе ( ~ ) я1п О1 = Г 2д Г.
/Сег 1 I сег 1 = яге — [я!и[ — — — л1соя О1 — соя ~ — — — л) я1по1~ = Г22 . /Сег 1 — — яш [ — — Ое — — л) . (11) о ~е лг [, д 4 Рассмотрим затем функцию Я: Иве хе Я =- —,, (О'я1п [х(2 — Ь)) + дх Соя [х12 — Ь)[) К,(хг). Заменим здесь Ке (хг) его интегральным изображением ([4[, стр. 190): аа К,(хг) = ~ е-""2 УЯ;~ — 1 1 и переменим порядок интегрирования; получим 42 Г аС Г Ха а"Я Я 4 2 2 (О я1п [х (2 Ь)) + Дх соя [х (2 Ь)))ЫХ ат -',— Ь соя ~ — '(2 — Ь)[[ 11(е. 5ОЕ гл.
Пь пРОстРАнстВеннАя задАчА О мАлых ВОлнАх Найдем асимптотическое выражение внутреннего интеграла при больших значениях параметра а'г!д. Интегрируя по частям, по- лучаем м$ — — яа (в! и ~ — (я — Ь)) + Ь сов ~ — (з — Ь)1~ аЬ = о = —,( —,) ~1 + — (з — Ь)1+... Отсюда асимптотическое выражение функции Я будет 1 ( 2 ) ~ + ( )) + (12) Эта формула показывает, что функция Я стремится к нулю при неограниченном увеличении параметра авг/д, как — 3-я степень этого параметра, притом с этой степенью точности произведение Я соя ас, входящее в формулу (10), не будет представлять волны, идущей в бесконечность или из бесконечности, а будет представлять в некотором отношении стоячую волну. Определим возвышение поверхности я<идкости, отвечающее потенциалу скоростей (9); получим = — — <р(х, у,0) запое+ 4' ср'(х, у,0) сова~.
(13) При заданных глубине источника Ь и его дебите а коэффициент амплитуды этих волн а = — у — е-"ме дсз - Г2е 2 Р' Имея в виду формулы (10) — (12), мы можем сказать, что потенциал скоростей (9) дает движение жидкости от источника периодического дебита, причем образующиеся кольцевые волны распространяются от места своего возникновения в бесконечность. Уравнение волновой поверхности (13) запишется для больших значений азг/д так: — — е-""и сов ( — — а~ — — я) . (14) дев / 2Е,„ / еа Радиальная длина этих волн Ь = — 2яфа' связана с радиальной скоростью с = фа их распространения формулой х2 с 2я о ао.
колввхния тела под 11овегхностью жидкости 507 имеет наибольшее значение для частоты а, равной ф' дй, макси- мальное значение а будет $ 26. Колебания твердого тела под поверхностью жидкости Ф(х,у,г;~) = 4оо~ '~' ~[~„ 1 г" + 4 ЭЭ Ч (хо уо го) (% (х хо у уо> г го) соя а1 + + <р' (х — хо, у — уо, г — го) ягн аг) СЯ, 1 аЯ соя а~ + У '+( + "гг где " = (х — .)'+ (у — у.)' Уравнение поверхности жидкости, отвечающее этому потенциалу скоростей, найдется применением обычной формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
