Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Преобразуем выражение (2) к новому виду, вводя вместо переменного у другое переменное О и полагая у = А вес' О, е(у = — е вгн О вес' О е(О. со ' со Выполняя ряд преобразований, получим новое выражение В 22. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА под водон 46$ потенциала гр: л(2 ас —, с«с*В Г ГР— ~ РВ(0)соя 0е '* я(п ~ —., яес20(хсоя0+ у 2 1,щ ~сс — л(2 л(2 Вс — „ссс В Г Г)2 (О) сов 0 е '* сов ~ —,, Яес' 0 (х сов 0 + у я'и 0 1 — !2 М2 Я« — ссс' В г л Р~(0)сов0е" ЯВп'( —,, Яес'0(хсоя0 — уя'п0)1 (0 — «(2 1 ~2 Вс — СССс В Г я Г)2(0)сов 0е м соа~ —,Яес'0(хсоя0 — уя; 0)1,(0 — л(2 ' Ог ( ) 2 (0) 02(0) определяются формул Р„(0)) а (0)) лясс«6 Г 2ясс )) ч (хс, ус вс) х я я« 'гя(п1 ~ 2 (хс сов 0+ ус я1п 0)|е * ~м,(8 (З) двес26 г 2ясс ~~ ч (хс ус вс) х Г двес26 — с«с~ В я(п ~ сс (хс соя 0 — ус яВп 0)~ с с',у (4) Заменим в правых частях формул (4) переменное 0 на — 0; выполнив простые вычисления, найдем, что Р,(-0) =Р,(0), (),(-0) =О,(0).
Эти равенства позволяют записать выражение потенциала скоростей гр в более простом виде: л(2 яс — сссзВ, Г « ср(х,у,в) =2с ~ Р(8)сея 0е'* я(п~ — Вяес20(хсоя0+уяВЕО)1НО— — ~2 л!2 яс — ссМВ Г я — 2с ~ () (О) соя Ое "-* соя ~ —,яес'0(хсоя8+ у я2п0)1НО. (5) — л! 2 Заметим, что при написании этой формулы отброшен индекс 1 у Р (0) и О (0). Для выполнения дальнейших вычислений представим на время формулу (5) в другом виде, вводя вместо переменного интегриро- 462 ГЛ. 111.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ валия О новое переменное Й, полагая ,Е се еЕ )с= Яе яесеОЗ1ЛО, ЛА Х 1+ з1зе Е и обозначая для краткости записи ф = — яес ОсояО =— а е Х 1 се е „Е Получим р(х,у,з) = ес — еес*е сГО = 2е $ [Р(0)я1перх — 1,е(0)сояерх] соябе '* — „„соя)суеУс +- ее Ее — ге . +2с ~ (Р(О)сояерх+ е,е(0)я1перх) сояОе " ' — „~ я!ОУсусУс. (6) — ее $16. Вычисление сил воздействия потока на погруженное твердое тело.
Волновое сопротивление Обратимся теперь к решению основной задачи о вычислении главного вектора снл давления, приложенных к поверхности Я погруженного тела. В своем изложении мы ограничимся определением лишь той составляющей главного вектора, которая направлена по скорости потока: — = С вЂ” — ре — дг. р р 2 Скорость T определяется формулой г'=(с — — ) +( — ) +( — ) .
Компонента Х главного вектора сил давления будет выражаться формулой х е'р(с — — у' — е ) ее, где а — направляющий косинус нормали к поверхности О' с осью (1х. Этз формула может быть записана проще: 41)5 1В. ВОлновок сопготнвлвннк Преобразуем, далее, первые два члена второго интеграла, исполь- зуя формулу ( )'+(Ф)'+( —",.)'= — '. ( ~'.)-Ф( — ",)+ ( — ':.) справедливую для гармонических функций; получим '= +~-'. (Ю'*' — 2( — ".)'"'*+ Е + 2 Р21д (~ д ) У + 2 'о~~ ~д (х д )+ д (~ д-)) Выполняя в правой части этой формулы ряд интегрирований, получаем после небольших преобразований формулу Хэвелока для компоненты Х: о '=+ 1" 1~ В-( — ")'1 "- — — ~ ~ср —.~ — (+) ~ 11у.
(4) При выводе этой формулы были приняты во внимание следующие равенства: (дх) = ' ( ду)х —.+ = ' (<Эг)»=,.= число 1 — расстояние плоскости Р от начала координат. В связи с предложенным выводом формулы Хэвелока следует сделать ряд замечаний. Вывод этой формулы был основан на применении теоремы Остроградского; для применения этой теоремы необходимо было рассматривать не тот объем Т, который ограничивают поверхности Я, Р и Х, а объем конечного размера, ограниченный поверхностью Я, поверхностью жидкости и плоскостями х = ~ 1, у = ~ л, г = — Л. После введения таких плоскостей необходимо было показать, что двойные интегралы, распространенные по этим плоскостям (за исключением плоскости х = 1), стремятся к нулю при неограниченном увеличении 1, й и Ь. Это можно показать, принимая потенциал скоростей (5) 2 15.
Вместе с тем к такому же результату можно прийти, рассматривая не этот потенциал, изображающий движение жидкости вдалеке от препятствия, а потенциал скоростей в его полном виде, изображаемый формулой (1) з 15. Таким образом, формула (4) может служить для вычисления силы Х с использованием выражения потенциала скоростей в удаленных местах потока за погруженным телом. 4ЕЕ гл. 1п. пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых ВОлнАх Вернемся к формуле (4) и подставим в нее вместо гр его выражение (6) я 15.
Для выполнения соответствующих вычислений укажем одну вспомогательную формулу. РассмотРим Две фУнкЦии /1 (У) и ~в (У), пРеДставленные в виДе следующих интегралов: ~г(у) = ~ (А,(й)сояйу+ В,(й) ягпйгг] ггй, ~в(у) = ~ (А,(й)сояйу+ В,(й)ягпйу) г(йс и вычислим интеграл от произведения зтих функций 1 = ') 1 (у) 1е (гу) Ф Имеем 1 = ~ ~в(у) ггу ~ (Аг(й)сояйу+ В,(й) ягпйу) Ай = С О О О О ОО ~ Аг(й)йй ) ~в(гу)соя йуй!+ ~ В,(й) Ай ~ /в(у) ягпйуггу. Возьмем известные из теории интегралов Фурье формулы СО СО Ав(й) = — ~ /в(у)сояйуйу, В,(й) = — ~ ~в(у)ягпйу йгг 1 Г 4 и применим их к преобразованию выражения 1, получим О О ~ ~1(у)уе(у)гву= 2я ~ [Аг(й)Ае(й)+Вв(й)Вв(й)) ггй. (5) Это и есть нужная нам вспомогательная формула.
Применим эту формулу к вычислению силы Х. Вычислим сначала интеграл СО ('Р дав (дх) 1 для функции гр, определяемой формулой (6) ~ 15. Получим СО 'ь'Р дхе ( дх ) 1 СΠ— весае / сгевв вев = — 8яе' ~ (Рв(О)+()в(О))в)гвсояейе" ( — „„) г(й, СО 468 ГЛ 1П ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ энергии. Это новое, дополнительное количество механической энергии возникает благодаря той работе, которую совершают силы давления, прилагаемые к жидкости в местах ее соприкосновения с поверхностью тела. Эта работа обязана той силе Л, которая заставляет твердое тело перемещаться с указываемой скоростью под поверхностью жидкости. Мощность этой силы Л равняется мощности сил давления, приложенных к частицам жидкости, обтекающим поверхность тела. Для установившегося движения, которое мы и рассматриваем, мощность сил давления будет равна проиаведению скорости тела с на силу Л.
Покажем, что эта сила Л равняется найденной выше силе Х. Действительно, теорема об энергии дает следующее равенство: сЛ =- — ~~р(на+ и[1+ игр) дг, или сЛ = — ')) р Ии + с) а + ир + иту] с[О' + с Ц) ра аЯ. Условие обтекания поверхности тела (и+с)а+ф+юу =О показывает, что первый двойной интеграл равен нулю и, следовательно, сЛ = сХ, т. е. Л = Х. Таким обрааом, формулой (8) определяется величина той силы, которая, будучи приложена к телу, позволяет ему перемещаться под поверхностью жидкости с назначаемой скоростью и которая приводит 'жидкость в движение, ведущее за собой образование волн.
Благодаря этому силу Л = Х нааывают волновым сопротивлвниви тела. Волновое сопротивление тела зависит от скорости его движения, глубины погружения и, разумеется, от формы самой поверхности тела. В дальнейшем изложении мы познакомимся на ряде частных примеров с характером этой зависимости а). Отметим, что формула (8) может служить для вычисления волнового сопротивления и при движении тела под поверхностью жидкости конечной глубины. В этом случае функции Р (0) и 1,1 (О) не будут, однако, иметь выражения (3) з 15, но будут определяться формулами, которые можно получить с помощью потенциала скоростей источника, движущегося под поверхностью жидкости конечной глубины.
Такой потенциал скоростей легко найти, изменяя надлежащим образом вычисления 8 14. а) Задача о волновом сопротивлении судна прл наличии внутренних волн решена автором в работа [57]. [йрим Рад ) 4?О гл 111 пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О ИАлых ВОлнАх Дифференцирование под знаками интегралов ведется по направлению оси диполя Ь. Первая из этих формул пригодна для значений х( О, вторая — для значений х ) О. В областях потока, далеких за телом Я, потенциал волновых скоростей имеет более простое выражение и записывается в виде 1р(х, у, г) = = — ~)г(хо уо го)иЯ ~ — 1ет1'+пэяш11(х — ха) 1, — 1 х л ~ дг ( аг 1 юм х соя ~(у — у,) 1/ у' — Ат~~ Рассматривая двойной слой источников как предел двух слоев источников и стоков, распределенных на двух поверхностях, весьма близких к поверхности Я и заключающих эту поверхность между собой, возможно получить формулу для волнового сопротивления иэ общей формулы Хзвелока (6) з 15, придавая в ней функциям Р (О), 1,1 (О) следующие значения: Р(0) = ~ "", ~~р(х„у„,) х х ~ и соя ~ В, яес' О (х, соя О + уа яш 0)~ — (1 соя О + т я! и О) Х Г д — КОС~ В х яш ~ —,яес'0(х,сояО+узя1ПОц вес'Ое '* г)Я, (1) 13(0) = —, ~~)а(х„уа, г,) па)п~ —,яес'0(х,соя О+ у,я1ВО)1+ +(1 О+тя1ВО) ~+ '0(х, О+у,я1пйф ~ аг.
х яес'Ое '* ИЯ. (2) $ 18. Движение сферы под поверхностью жидкости В качестве применения общей теории рассмотрим несколько простейших примеров. Предположим, что под поверхностью жидкости движется со скоростью с сфера радиуса а, цснтр сферы находится на глубине Ь. Движение сферы в жидкости, неограниченно распространяющейся по всем направлениям, создает поле скоростей, совпадающее с полем скоростей диполя, расположенного в центре сферы и имеющего момент р = 2лавс и ось, направленную по скорости сферы. 1 18. ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 471 Волновое движение жидкости, вызванное этим диполем, найдется по формулам предыдущего параграфа, в которых надо устранить знаки двойных интегралов по поверхности Я и заменить 18 (хр, у„з,) 11О на 2па'с (это надо сделать потому, что рассматривается в данном примере лишь один диполь); вместе с тем направление Х, оси диполя будет иметь направляющие косинусы — 1, О, О.
Выражение потенциала скоростей и уравнение свободной поверхности были найдены и исследованы Хэвелоком [120!. Опишем вкратце результаты этого исследования. Возвышение ь(х, у) точек поверхности жидкости над средним уровнем может быть составлено из двух частей: первая часть, 1"., (х, у), симметрична относительно точки О пересечения вертикали центра сферы с поверхностью жидкости и весьма быстро сходит на нет по своей величине по мере удаления от точки О; эта часть общего возвышения не играет существенной роли в значении Ь. Вторая часть, Ь8 (х, у), создает главное возвышение волновой поверхности жидкости над средним уровнем. Асимптотические формулы, устанавливаемые для больших значений места наблюдения от точки О, показывают, что, как и в теории корабельных волн, существенные значения Ь8 лежат внутри угла в 38'56', расположенного за точкой О симметрично относительно пути сферы. Поверхность жидкости покрыта внутри этого угла поперечными и продольными волнами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
