Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это семейство состоит из отрезков параллельных прямых, наклоненных к пути очага давлений под углом 54'44' и отстоящих друг от друга 4я сс на расстояние = —. 3$/2 Г В области 1 выражение амплитуды волны содержало в знаменателе корень квадратный из величины с», пропорциональной расстоянию места наблюдения до очага давлений; в области же 1Ч такое расстояние будет входить в знаменатель под знаком кубического корня.
В силу этого в переходной, четвертой области вертикальные координаты точек поверхности жидкости будут значительно болыпе, чем в области 1. Такое заключение подтверждается простым наблюдением волн, возникающих при движении судна. Проведенное исследование дает возможность построить рисунок (как резюме всего исследования формы волновой поверхности), представляющий расположение гребней волн в областях 1, 1П, 1Ч и в областях, им симметричным относительно оси Ох (рис.
52). Полное исследование Эрселла формы волновой поверхности жидкости дало возможность построить диаграммы, представляю- ум. движкнив источника под поввгхностью жидкости щие распределение горизонтальной волновой поверхности около границ волновой области Кельвина, ограниченной лучами 0 = =0 и0 = — 0ю о Все предыдущие рассмотрения относились к определению волн на большом расстоянии от очага их зарождения. Несомненный интерес представляет определение волн вблизи очага и на 'зг Рвс.
52. небольшом от него расстоянии. Соответствующие формулы были получены Хогнером во второй части его основной работы о корабельных волнах [129]. Изложенное исследование корабельных волн относится к бассейну бесконечной глубины. Известное усложнение проведенного анализа позволяет дать полную картину корабельных волн при движении корабля по поверхности водоема конечной глубины.
з 14. Движение источника под поверхностью жидкости Задача о движении твердого тела под поверхностью тяжелой жидкости приводит к необходимости решения сложного интегрального уравнения, если точно удовлетворять граничному условию на поверхности л<идкости н условию обтекания поверхности тела. Такое интегральное уравнение было получено и исследовано Н. Е. Кочиным [16[. Но можно получить хорошее приближенное решение задачи, если следовать методу Лама, который обеспечивает лишь частичное удовлетворение условия обтекания и тем лучшее, чем глубже находится твердое тело под поверхностью жидкости, 455 гл.
1п. НРОстРАнстВБннля ЗАДАЧА О мАлых ВОлнАх Применение метода Лэма требует нахождения волнового движения, возникающего от действия погруженного точечного источника. Предположим, что бесконечно глубокий поток жидкости, имеющий в бесконечности скорость с, направленную в сторону положительной части оси Ох, встречает на своем пути источник ()(0,0, — 6) дебита д. Потенциал скоростей движения жидкости Ф (х, у, г) можно записать в следующем виде, выделяя потенциал скоростей невозмущенного потока и потенциалы скоростей источника ~ и стока ~)' (О, О, Ь): Ф(х, у, г) = — ох+в Ч 1 4Я У"ха+ Нт+ (с ( А)а 4 )Г Ар Функция ср (х, у, г) дает скорости волновых движений.
Для опре- деления этой функции возьмем граничное условие и преобразуем его к функции ср (х, у, г). Получим а'т г дт и А (2) два са дс 2яса (ха ( уа ( Аа)ва' Рассмотрим следующую гармоническую функцию, регулярную в нижнем полупространстве *): дтх г д<р с — й Н(х,у, г) = —, + —,— + дха са дс (ха ( уа ( (с А)а)Ч~ В бесконечности, а именно при г = — оо и любых х, у, эта функция обращается в нуль; при г = 0 функция Н (х, у, г) принимает нулевые значения в силу граничного условия (2).
Отсюда вытекает, что во всем нижнемполупространстве функция Н(х, у, г) равна нулю тождественно; следовательно, гармоническая функция <р (х, у, г) будет удовлетворять вместе с тем следующему уравнению в частных производных: д%~р г д~р с — 6 (3 два са дс (.а ( „а ( ( ь)а)ш ' .() Для определения функции ~р (х, у, г) воспользуемся тем методом, который был применен выше к нахождению корабельных волн. Все дальнейшие вычисления будут повторять в большой степени *] Для простоты ааписи множитель гр!(2яса) ааменен единицей, в окончательных формулах он будет восстановлен.
2 ы движвниы истОчникА под новвэхностью жидкостн 457 вычисления 4 ]] и поэтому будут приводиться в сокращенном виде. Движение жидкости симметрично относительно плоскости Охх,поэтому потенциал ф должен быть четной функцией переменного у. В силу этого будем искать потенциал скоростей ф (х, у, 2) в следующем виде: Ю ф(х, У, 2) = ~ А(х,з;)а)соз)сус])2.
(4) а Неизвестная функция А (х, г; А) должна удовлетворять двум уравнениям: даА 2 да А — — ).2А+ —, = О, сха дсс ) ~д2А д дА( 2 — Ь ( —, + —,—.) соз)2усП2=— (,дха са дс ) ]х2 (- у2+ (2 — А)2] Ь а (З) (6) Запишем второе уравнение иначе, пользуясь известной формулой из теории функций Бесселя: )сеа(г-АУа ()сг) сй [ха+ уз+(2 — Ь)2] Ь а где г'=ха+ус 2 — Ь<" О.
Применяя эту формулу к правой части уравнения (6), записываем это уравнение так: сс с — + — '" ( +,2 д ) соз )су с]Л = ~ )се~(* ~)"га ()сг) '])с. а а Пользуясь формулой обращения Фурье, получаем отсюда сс сс дха + с2 д — ~ сов)2Ус]У) )се"( "),72()сг)с])с. (7) а а Преобразуем правую часть этого равенства: Ю с сс ~ соз)УАУ~ )сеа(2-ААг (йг) с]72 = ~ ]сеа(2-"Ы]с() с'а()сг)сов)сус]У. а а а а По одной из формул теории функций Бесселя имеем (]4], з $3.47) с оса(х У а2 — Х2) й * А, Ха()сг) сов) Ус]У = У'22 — Аа а О, О~<У<),.
458 ГЛ, 111. ПРОСТРАНСТВВННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Отсюда уравнение (7) запишется так: доА с дА 2 Г ь л( л) сов(хфГ'Ао — с.о) (8) Таким образом, для определения функции А имеем два уравнения: (5) и (8). Рассматривая х как параметр, можно привести эти два уравнения к одному: — — — — — ) оА = — — ) ссео(™): 1Ус.
доА с дА 2 Г сов(хука — Хо) дсо со дс х ) у'~~ ло л Как в задаче о корабельных волнах, можно и здесь ограничиться лишь рассмотрением частного решения следующего вида: х ) са 1/Ао Ло ' — ов со Подынтегральная функция имеет два полюса, из которых один, =Я++)/4+ 4'~ лежит на пути интегрирования. Будем обходить этот полюс маленькой полуокружностью в верхней полуплоскости комплексного переменного )с. Такой выбор пути интегрирования обеспечит отсутствие волн на поверхности набегающего потока. Рассмотрим интеграл ,и(*-л)-ы Уо*-л М= — — А со Преобразовывая этот интеграл совершенно так же, как был преобразован интеграл Ь $11, приходим к новому выражению функции (9): 2 с 1к(с-А)+х Улоск А(х,г;),) = — — 1ш ~ ', " (х(0), о х'+ — х+)11 с )" + -ск(с-Л)-к УЛ*+к' о хо — — ох+ Ао ~ +" со +4~/ — дс ' влп(х~/ лт) (х)0) —,, +41,1 1 пь движвнив тввгдого талл под водок 459 Подставим эти выражения функции А (х, з; Х) в формулу (4); найдем, восстанавливая множитель уд/(2псо), потенциал волно- вых скоростей: сох(о-Л)+х УЛ~+ма ~Р (х У1з) = х 1щ ~ сов)оУ с0„~~ о х'+ — ох+ Ло х Юх у'Ло + едо м * Ул"~ о х' — —,х+ Хо со я 1 — "" (х 3~~ — ) "з (у ~ у' — — ) ау.
(10) Фс' $ 15. Движение твердого тела под водой с образованием волн Допустим, что твердое тело, ограниченное некоторой поверхностью Я, обтекается бесконечно глубоким потоком жидкости, имеющим в бесконечности скорость с, направленную в сторону возрастающих координат х. Для определения потенциала скоростей возникающего движения жидкости распределим на поверхности 8 простой слой источников переменной плотности д. Этот слой создаст движение жидкости с потенциалом скоростей Ф(х, У,з) = — сх+ — Г1С1 4х,ц ~ (х — х,)о+(у — уо)о ) (о о,)х 1 " у (хо уо, зо) п8 + У(х хо)о+(У вЂ” Уо]о+(о+со]о 1 + Я~<р(х — хо, у — у„г+ Ь+ во) НЯ.
в Первая из этих формул пригодна для отрицательных х, вторая— для положительных х. Исследование корабельных волн, выполненное в 9 12, может быть повторено здесь и покажет, что найденные потенциалы скоростей (10) действительно изображают движение жидкости, поверхность которой не покрыта волнами при отрицательных координатах х, и, следовательно, все волновое движение обязано возмущению, вносимому присутствием источника. Отметим в заключение, что первые слагаемые правых частей формул (10) переходят друг в друга при изменении знака у переменного х и представляют собой, следовательно, четную функцию этого переменного.
460 Гл. Нь пРОстРАнстВкннАЯ зАЛАчА О мАлых ВОлнАх Здесь хо, у„в, — координаты точки поверхности О, выраженные через криволинейные гауссовы координаты, функция ~р определяется с помощью формул (10) в 14. Потенциал скоростей (1) удовлетворяет, в силу своего построения, условию на свободной поверхности. Плотность д (х„у„го) должна быть найдена из условия обтекания потоком (1) погруженного в него тела. Это условие, которое можно составить по формулам разрыва нормальных производных потенциала простого слоя, приводит к интегральному уравнению для неизвестной функции д(х„у„в,). Это уравнение достаточно сложного вида было составлено и исследовано Н.
Е. Кочиным. Мы не будем приводить этого уравнения и будем предполагать, что функция д (хо, уо, зо), удовлетворяющая этому уравнению, нам известна. Зная функцию д (хо, уо, в,), можно найти по формуле (1) потенциал скоростей рассматриваемого движения жидкости. Полное выражение потенциала (1) содержит два рода слагаемых. Во-первых, это будут слагаемые, содержащие два квадратных корня под знаком двойного интеграла и двойной интеграл от той части функции ер (х — х„у — у„г — з,), которая возникает от двойных интегралов формул (10) $ 14. Во-вторых, это будет одно слагаемое, представимое двойным интегралом от той части функции ер (х — х„у — у„в — в,), которая возникает от простого интеграла второй из формул (10) в 14.
Слагаемые первого рода определяют движение жидкости, быстро сходящее на нет при удалении от тела; в формировании движения жидкости за телом главную роль играет слагаемое второго рода, и определяемый им потенциал волновых скоростей может быть записан так: 4 емеое') ~р(х, у в) = †„ ~~ д (хо уо во)еИ ~ ,, >< х вгл ~(х — хо) ~/ — ~ сов ~(у — уо) ~/ 7' — —,о 1 еоу (2) Это есть, по существу дела, потенциал скоростей, сопровождающих корабельные волны, возникающие от движения подводного тела; не принимаемые в расчет слагаемые первого рода определяют тот фон, на котором развиваются корабельные волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
