Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Вычисления показывают, что <а1 1)Е <ь — ги . 2аад ( — ай — — <ю 2Ьаа ( — ЬΠ— Ь <а (аа — 1) Ь (Ьа — 1) Ь Принимая во внимание формулы з 8, определяющие числа а, Ь, 9. ВОлнОВАя поввгхность нАД нАклОнным днОИ 425 и пользуясь равенствами а — 1 91 — 1 й= —, й=у9ГГ 1 —— 2а 25 уу можно предыдущую формулу записать прогце: .Г н УГ' — УУ )Г 1 — — — Г~) 1(уу у 1 — — — М Здесь А„А, и е„я, — некоторые постоянные, зависящие от угла Сг И ЧИСЕЛ й, У.
Рассмотрим теперь интеграл (Г)аà — 'и (4+ 1) у 2 (~ )+ (8) для больших положительных значений у. В начале координат ветви контура Г, не касаются оси ординат, образуют с ней некоторый угол 7 ) 0; поэтому, если положить Ь = ге19, то во всех точках пути Г, будет иметь место неравенство 4 3 — я+ у(6( — я — у, 2 2 из которого следует, что соя 6 ( О. Рассмотрим теперь показатель экспоненты в формуле (8): Г 1 ~ — й (ь+ — ) у= — й~ г+ — ) усояО+ — й (г — — ) у я1ВО.
2 (, Г) =2 (, Г) 2 Г й2 ф1(у, 0) = В1соя(ту ~/ 1 — —,— 91) ГГ2 фа(у,О) = Васоя(уу 1 — —., — Яа) (9) где В„В, и е„е, — новые постоянные, причем В, и Ва могут быть взяты произвольно. Так как у ) О, то действительная часть показателя экспоненты будет отрицательна и по своей абсолютной величине будет неограниченно расти при увеличении у, т. е. при удалении от берега. Иэ этого вытекает, что интеграл (8) стремится к нулю при у, стремящемся к бесконечности. Такое же заключение можно вывести и для интеграла второй формулы (6).
Теперь формулы (6) показывают, согласно равенствам (7), что для больших значений у потенциалы скоростей ф, (у, О) и фа (ВГ О) имеют следующие выражения: 426 ГЛ. 1П ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Таким образом, для болыпих значений у вертикальные координаты точек поверхности жидкости имеют следующие значения, отвечающие потенциалам 1р1 и 1рз соответственно: ОВ, 1' . Г А1 Я, = — ' сов йхсоз~тр 1, 1 — — — е,1з1ЛО~, х (10) ОВэ / А1 Я = — ' сов йх сов ~ту у 1 — — — е ) з1ООК У Зти предельные выражения показывают, что вдалеке от береговой черты форма поверхности жидкости повторяет форму поверхности жидкости для бассейна бесконечной глубины. Если через А обозначить длину волны в направлении оси Ох, а через 1, — длину волны в бесконечности в направлении оси Оу, то из формул (10) получим следующее выражение для частоты волны а~ 1~2 Зта формула повторяет формулу (16) з 1.
Найденные потенциалы скоростей дают, таким образом, собственные колебания жидкости над наклонным дном, причем потенциал дарг(х, у) отвечает колебаниям с бесконечным всплеском поверхности жидкости вдоль береговой черты. Каждый из этих двух потенциалов может быть представлен в виде суммы двух потенциалов, отвечающих прогрессивной волне, идущей на берег, и прогрессивной волне, отраженной от берега и уходящей в бесконечность. Длина падающей волны и направление ее распространения могут быть назначены проиавольно; по этим данным определится частота волны.
По амплитуде волны У1 определяется коэффициент при логарифме в формуле для потенциала р1 (х, у), т. е. интенсивность всплеска волны У1 вдоль береговой черты. Надлежащим определением этой интенсивности возможно для специально выбранной линейной комбинации потенциалов 1р1 и 1р, обратить в нуль амплитуду отраэкенной волны. Таким образом, набегающая из бесконечности волна будет целиком гаситься у берега. Здесь повторяется в значительной мере то, что было исследовано с достаточными подробностями в гл. К При исследовании волн для больших значений у мы преобразовали первоначальный контур интегрирования Г в контур Г' так, что полюсы — а1, — И стали находиться вне области, ограниченной контуром Г'; но мы могли бы преобразовать контур Г в такой контур Г', что не только полюсы — а1, — 61 оказались бы вне области, ограниченной этим контуром, но и все полюсы (18) з 8.
Вычеты от этих последних полюсов дают волновые возвышения, сходящие на пет прп у, стремящемся к бесконечности. Выражение потенциа- 4 ~с. волновык движкния под наклоннои плоскостью 4вт лов скоростей содержало бы, помимо вычетов от всех указанных полюсов, интеграл по обеим сторонам разреза отрицательной части действительной оси. Если угол а — целая доля от 90', то в выражении потенциала ~рз (х, р) этот интегральный член пропадет и потенциал скоростей представится в виде конечной суммы слагаемых, найденных в 5 5 по методу Хэнсона.
Выражение же потенциала ~р, (х, у) будет содержать интегральное слагаемое, оно будет составлено из интегральных показательных функций. $ 10. Прохождение волновых движений (под наклонную плоскость Вводя небольшие изменения в предыдущее изложение, можно решить задачу о волнах при угле а, превышающем 90'. Прежде всего, представим потенциал скоростей формулой (1) з 7, но будем интегрирование вести по новому контуру Г, который получается из контура Г з 7 поворотом на угол а/2 вокруг начала координат.
Этим будет обеспечена сходимость интеграла во всей массе жидкости. Затем, в качестве функции д (ь) возьмем функцию, изображаемую формулой (17) з 8. Эта функция, определенная левее мнимой оси, обладает тем свойством, что для нее модуль выражения аК) 4 / 4 ~за~ + ~т равен единице при ~ = р1е-'"*' и при ~ = — ~р в силу равенства б(1) = а(1).
Благодаря этим двум свойствам выражение (1), обращающееся в единицу в бесконечности, равно тохсдественно единице в секторе — 2и + 4/зк < агц ~ < — '/,я и, тем самым, для всех комплексных значений Так как функция (1) тождественно равна единице и так как з (ь) = у (ь), то граничные условия, накладываемые на функцию ~р (у з) соблюдаются, и функция ~ (у, г), определяемая формулой (1) $7 с измененным путем интегрирования, будет давать два потенциала скоростей свободных волн в бассейне с нависающим берегом.
Один потенциал будет давать движение, регулярное у береговой черты, другой же будет обладать логарифмической особенностью вдоль береговой черты. При и = к получаем решение задачи о прохождении волновых движений под горизонтальную полуплоскость. 428 гл гн пРОстРАнстВБннАЯ зАЛАНА О мАлых ВОлнАх 5 11. Теория корабельных волн. Определение потенциала скоростей Одним иэ наиболее интересных применений теории волн является определение тех движений жидкости, которые возникают при движении твердого тела по поверхности жидкости или при движении погруженного тела.
Полное определение вида волновой поверхности жидкости и выяснение различных особенностей движения жидкости представляет собой чрезвычайно сложную задачу, не получившую еще полностью законченного решения. Успехи, достигнутые при решении этой задачи, имеют тем не менее большой интерес, как содержащие достаточно хорошее объяснение главных черт явления образования кораблем волн, сопровождающих его движение. При некоторых простейших предположениях об источнике волнообраэования возможно воспроизвести с помощью уравнений гидродинамики тот известный иэ наблюдений факт, что за движущимся кораблем развивается волновой хвост, распространяющийся далеко в область, пройденную кораблем, и представляющий собой наложение двух различных семейств волн — поперечных и продольных.
При этом возможно определить с большой точностью угловой размер волнового хвоста и составить уравнение поверхности жидкости внутри этой волновой области. Первые успехи в решении задачи об образовании корабельных волн были достигнуты лордом Кельвином Ц34). В теории Кельвина действие корабля на воду, вызывающее образование волн, заменяют действием концентрированных импульсов давления, прикладываемых в точках пути корабля. Иными оловами, концентрированный импульс движется прямолинейно с постоянной скоростью иэ бесконечности.
В каждый момент времени этот импульс добавляет известные скорости к ранее образовавшимся скоростям. Возвышение поверхности жидкости в данной точке и в данный момент времени г будет, таким образом, слагаться из суммы возвышений, созданных всеми импульсами, приложенными к поверхности жидкости в течение времени от — оо до данного момента 1. По отношению к системе осей координат, движущейся вместе с импульсом, поверхность жидкости будет иметь неизменную форму.
Уравнение этой поверхности и было впервые составлено и изучено Кальвином. Вслед эа основной работой Кельвина по теории корабельных волн стали появляться (и до настоящего времени появляются) исследования по волнообраэованию корабля. Среди этих исследований надо назвать работы Хэвелока И091 и особенно Хогнера [1271. Работа Хэвелока основана на изложенных выше соображениях Кельвина и содержит общее описание волновой поверхности жид- 9 М. ТЕОРИЯ КОРАВЕЛЬНЫХ ВОЛН. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 499 кости за кораблем, который заменяется перемешающимся импульсом давления (см.
гл. 1Ч, з 7). Большой успех в развитии теории корабельных волн был достигнут Хогнером. Хогнер заменяет действие корабля на воду дей. ствием давлений, распределенных по некоторой области, перемещающейся по поверхности жидкости с постоянной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
