Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 59
Текст из файла (страница 59)
1П. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Полагая здесь а -= О, находим известную формулу, связывающую скорость плоского потока с длиной установившейся волны. Легко видеть, что рассматриваемые волны с прямолинейными гребнями, наклоненными к основной скорости потока, могут существовать лишь при условии, что с(веса у'дй. Все предыдущие формулы значительно упрощаются для бесконечно глубокого потока. Вместо потенциала скоростей (4) будем рассматривать здесь потенциал ~р = асов т(х+ е,) сова(у+ е,) е ', обеспечивающий обращение в нуль волновых скоростей на бесконечной глубине.
Соотношение (5), вытекающее из уравнения Лапласа, здесь сохраняется, но вместо условия (6) имеем более простое условие: св т св Пользуясь этой формулой, находим из формулы (5) выражение и через Й: ' = Й'(1 — Ах,). Отсюда следует, что параметр Й монсет меняться от д/с' до оо. Найдя выражения чисел т и п, напишем выражение потенциала скоростей и уравнение поверхности жидкости в зависимости от параметра Й: <9 = а соа ~(х + е1) ~/ — 11 соа ~(У + е,) Й )/ 1 — Й в 1 е~', (12) ./ Й Ь = — а1; — в1а ~(х+ е,) у — 1соя ~(у+ е,) Й ~/ 1 — — ~ ° х У .ю ~ ~ ' ~' Й.
~ ' Отметим, наконец, зависимость между скоростью потока в бесконечности и длиной волны Й для цилиндрических волн, гребни которых наклонены к оси Ох: х с = — яес а. в К 2 2Я Найденные простейшпе установившиеся движения зависят от параметра Й; число а, входящее в формулы, определяющие эти движения, мон1ет рассматриваться как функция этого параметра.
Интегрируя формулы, определяющие потенциал скоростей и ордиваты поверхности нгидкости по параметру Й, можно получить 5 3. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ 391 весьма интересные и сложные установившиеся волновые движения, зависящие от одной произвольной функции. Такие движения, возникающие на поверхности бесконечно глубокой жидкости, будут рассмотрены после изложения теории корабельных волн. З 3. Прогрессивные волны Рассмотрим установившиеся волновые движения, найденные в предыдущем параграфе, и введем систему подвижных координат ХО У, увлекаемую основным потоком жидкости со скоростью с. Располагая плоскость г = О вдоль среднего уровня жидкости, будем иметь следующие зависимости между старыми и новыми координатами: Е=Х+М, д=Р, г=г.
Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет видеть, что из положительной бесконечности Х = оо идут в отрицательную бесконечность Х = — оо без изменения своего вида волновые гряды. Эти волны будем называть прогрессивными волнами. Движение жидкости, сопровождающее распространение прогрессивных волн, не имеет основной скорости, иак это есть у установившихся движений; при распространении прогрессивных волн частицы жидкости имеют лишь небольшие скорости, вызываемые прохождением волн, которые считаются малыми. Потенциал скоростей, вызываемых прогрессивными волнами, возникающими нри рассмотрении установившихся волн 9 2, пишется так: ц~ = асов ~(Х+ сг+ е1) у —,ьЬйй~ х . Где х сов ~(У-(-ег)й $/ 1 — — ', ьЬйй~сЬй(7+- й).
Прогрессивные волны, соответствующие этому потенциалу, имеют уравнение — — — вЬ2ййв1п~(Х+сг+ е1)~/ —, ц1 ей~ х . /еь х..~(Р+~)й1/1 —,— ', ььйй1. (1) Величина с, которая при рассмотрении установившихся волн давала скорость потока, будет теперь скоростью распространения прогрессивных волн.. 392 ГЛ. 1П. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Обозначим через А, и А, длины прогрессивных волн в направлениях осей О Х и О У. По этим длинам параметр я определится по формуле й)= ь ~ г 21+ )~2. (2) 1 Длина Х, свяаана со скоростью распространения волны в направлении оси О Х аависимостью с = — 1 абай Ыт|й, как это видно из уравнения волны (1). Подставляя сюда вместо й его значение (2), получаем выражение скорости прогрессивной волны в зависимости от ее длин ) 1 и ),, в двух взаимно перпендикулярных направлениях: с' = ~ ' ~//1+( — ') Ыг ~ — „" )//1+ ~ — ') ), (2) Потенциал скоростей простейших прогрессивных волн, распространяющихся по поверхности жидкости бесконечной глубины, пишется так в согласии с формулами (12) з 2: <р = а сое ~(Х + с2 + е,) )/ Е, ~ сое ~(У + е,) к ~/ 1 — ~, 1 е1*.
Уравнение волновой поверхности будет Ь = — а ~/ — еш~(Х+ с2+ е1)'~/ ~, ~сов~(У+ еэ) й1/ 1 — ф. (4) Скорость распространения этой волны в направлении оси О Х определяется (через длины )1 и 11 волны в направлениях осей О Х и О У соответственно) формулой (5) которая легко выводится из равенства (2) и равенства 2яе )1 Уф $ 4. Волны на поверхности раздела двух потоков жидкости Рассмотрим два потока жидкости, рааделенные гориаонтальной плоскостью хОу; допустим, что нижний поток имеет скорость с, плотность р; верхний поток имеет плотность р' и скорость с', составляющую угол 6 со скоростью пил<него потока.
Предположим, 4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 393 далее, что ния;ний поток имеет бесконечную глубину, а верхний поток имеет глубину Ь. Поставим задачу определить установившиеся волны на открытой поверхности жидкости и на поверхности раздела двух жидкостей (57).
Предполагая движения потенциальными, найдем те граничные условия, которым должны удовлетворять на среднем положении поверхности раздела два потенциала волновых скоростей. Пусть ь = ь (х, у) будет уравнение поверхности раздела, покрытой волнами. Проведем в какой-нибудь точке этой поверхности касательную плоскость — (Х вЂ” х) + — (г — у) — (2 — г) = О. дГ дт (1) Так как движение установившееся, то точка с координатами Х=х+(с — — )й, г =у — — й, Я=г — — й, (2) дх ~ д<р дх дх) ' ду ' дг принадлежащая ни~кней жидкости, будет лежать в касательной плоскости (1); здесь ~р (х, у, г) — потенциал скоростей нижней жидкости.
Подставляя выражения (2) в уравнение (1), получаем дЬ ( дх) д~ дх дх — (с — — ) — — — + — = О. дх ~ дх ) ду ду дг Отбрасывая в этом соотношении произведения малых чисел, полу. чаем первое условие: Рассмотрим теперь точку верхнего потока, перемещающуюся вдоль поверхности раздела. Принимая во внимание, что движение установившееся, находим, что точка с координатами Х = х+ (с соей — —,) й, Р дх' 1 У = у + (с в(п 1) — — ) й, /, .
д~р'~ ду) 2=в в ~ й дх' дг будет лежать в плоскости (1); здесь ~р' (х, у, г) — потенциал ско- ростей частиц жидкости верхнего слоя. Получаем дь (, — с сов д — — + — с вгп тр — — + дх'1 д~!, . дх'1 д'р дх 1 дх) ду~ ду) дг нли, отбрасывая квадратичные слагаемые, с'(сов1) — + в1пб — ) + ( — ) = О. дЬ, д~1 /д(р'~ дх ду) ( дг )х=а 394 гл. Н1. и!'ОстРАнстВвннАя злдА21А О мАлых ВОлнАх Используя обычные упрощения теории малых волн, можем написать уравнения Бернулли в следующем виде для нижней и верхней жидкости соответственно: — = — дг+ с=, —, = — «в+ с'( — сова + — вгпа).
Р дф р' , /дф' дф' Р дх' р' '1 дх ду При пересечении поверхности раздела давление во всей массе жидкостей не испытывает разрьгва, поэтому два предыдущих уравнения приводят к следующей формуле, устанавливающей уравнение поверхности раздела: ас дф а'с' / дф' . дф'1 = — — — — (соей — + в1пд — ) . г дх г ~ дх ду )' Здесь приняты такие обозначения: (5) а= —,, а'= Р ° РРРР— Р производные потенциалов скоростей берутся при г = О. Внесем в формулы (3) и (4) вместо ь найденное его значение (5); мы получим тогда два условия, накладываемые на потенциалы волновых ско- ростей: асг — +д —,) — а'сс'(совй — +вгпΠ— ) = О, (6) ) огф ' дф 1,, / дгф', дгф' 1 дхг дг ) (, дхг дх ду с'(совΠ— + вгпй — )+ ( — /1 = О.
д~ . д~ 1 / а~Л дх ду) ~дг)г л Подставляя сюда вместо ь' его выражение (8), получаем граничное условие для свободной поверхности: 4 — + с' ~ совг Π— + 2 в'2п О сов Π— + в1пг Π†) = О; (9) дф',2 Г 2 дгф' дгф' дгф' 1 дг Л дхг дх ду ду2 ) здесь г должно быть взято равным Ь. дгф . дгф 1 Г, дф' асс' (сов Π— + в1п д — ) + ф —— дх2 дхду ) ( дг — ас (сов Π—. + 2 вшд соей — + вгп 6 — )1 = О; (7) ,с /. 2 дгф' дгф' . 2 дгф' 1 дхг дх ду ду ) эти условия должны соблюдаться при г = — О. Составим граничное условие для свободной поверхности. Условие постоянства давления на этой поверхности дает выражение координаты Ь' волновой поверхности через потенциал скоростей ср (х, у, г): ~ = — (совΠ— + вгпй — ) с' / дф' .
дф''1 (8) у~ дх ду ) =л' Из уравнения волновой поверхности ь = ь' (х, у) получаем новое соотношение, аналогичное соотношению (4): 2 4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 395 Таким образом, потенциалы скоростей верхнего и нижнего потоков должны удовлетворять граничным условиям (6), (7) и (9). Кроме этих условий надо поставить требование обращения в нуль волновых скоростей в нижнем потоке на бесконечной глубине. Найдем частные решения задачи, имеющие вид плоских волн, распространяющихся по свободной поверхности и по поверхности раздела. Будем искать функции ~р (х, у, г) н ~р' (х, у, г) следующего вида: с~ (х, у, г) = Аеэ* сов (тх + пу + е), (х, у, г) == [В, сп й (г — й) + Вг в)т й (г — й)[ сов (тх + + пу+ е), где й' = т' + и'. Неизвестные коэффициенты А, В„В2 найдем из граничных условий (6), (7) и (9).
Эти условия запишутся так: (у — асг й сов' ~Р) А + а'сс'й сов ф сов (д — ~Р) (В, с)2 йй— — В, в)2 йй) = О, асс'й сов ~Р сов (д — ф) А + [у (Вгв)2 йй — Ввс)т йй) — (10) — а'с' й сов' (Π— ф) (В, с)2 йй — В, в)2 йй)) = О, уВ2 — с' й соя'(д — ф).В, = О, 2 где угол ф определяется формулами т совф = —, и в)пф =— в Фп х ас' к(гв — е2хсов2$) совг(б — $) а 4хг сов' (б — з)) — асвевх сов~$+ е4 (11) где х = йй, Рв = уй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
