Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Прн соблюдении этого уравнения решение системы уравнений (10) запишется так через одну произвольную константу С: 4 = и'сс'х сов ф сов (О = [) [эвс)2 х — с'2 х совэ (Π— ~) в)2 х[ С, В, = -Рг (эв — ис' х сов' ф) С, Вв = -с ~ х (эв — исв х совв 2Р) совг (2) — 2Р) С. и является углом между осью Ох и направлением, перпендикулярным к гребням волн. Система уравнений (10) имеет отличное от нуля решение, если ее детерминант й равен нулю. Равенство нулю й приводит к следующему уравнению, из которого возможно определить через параметры задачи длину установившейся волны: 396 ГЛ. 111.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Установив эти равенства, найдем амплитуду а волны на поверхности раздела и амплитуду а' волны на свободной поверхности жидкости. Пользуясь формулами (5) и (8), получаем а = а'с' х [хс4э соя2 (() — ф) ЗЬ х — и2 СЬ х) соя (д — 4[4) С, а = с'х (Р2 — ас' х соя'4Р) соя (д — ф).С.
Отсюда находим а' гз — асзк сояз 4[4 а' [кс'2соя2 (б — 4[4) я)4 х — 22 сЬ х[ (12) ас' изк сся249 ьйк = а'с' хясоя44[4+ 24 (1З) Рассмотрим на плоскости Ох2) кривую ас' эзк сся24[4 2) = а'4'4кзсоя449+ 24 (14) х — абсцисса. При х = 0 ордината 2) = 0; при стремлении як бесконечности 2) стремится к нулю. Для значения х, равного 22 г'а'4' сся24[4 ордината кривой (14) достигает максимальной величины, равной = )1. э Уа' УР2 — (Р— 99')2 (15) Это неравенство позволяет решить вопрос о числе корней уравнения (13). Угловой коэффициент касательной к кривой (14) в начале координат равен (16) Кривая, изображающая гиперболический тангенс 2) = 1)1 х, наклонена в начале координат под углом 45' к оси абсцисс.
Заметив это и приняв во внимание неравенство (15), можно сказать, рассматривая вааимное расположение тангенсоиды и кривой (14), что при соблюдении неравенства "'(1 (17) Изучим формулы (11) и (12) в одном частном случае; допустим, что скорость нижнего потока равна нулю (т. е. с = О). В этом допу- щении, когда можно принять, чтоб = О, уравнение (11) запишется более просто: Г 4. ВОЛНЫ НА ПОВВРХНОСТИ РАЗДБЛА ДВУХ ПОТОКОВ 397 производная (16) будет для всех углов ~р меньше чем единица и, следовательно, тангенсоида и кривая (14) будут поресекаться в двух точках. Поэтому уравнение (13) будет иметь два корня.
При стремлении сов ф к нулю оба корня стремятся к бесконечности. Следовательно, установившиеся волны, гребни которых почти параллельны вектору скорости верхнего потока, имеют весьма малую длину. Предположим теперь, что имеет место неравенство Тогда для углов ф, удовлетворяющих неравенству 2 —,соз'ф)1, (18) будет существовать лишь одна точка пересечения гиперболической тангенсоиды с кривой (14). Эта точка дает один корень уравнения (13), и длина соответствующей волны будет меньше чем 2яь — ~а'сз созе 1р.
Р2 ас'3 —, соз'~р(1, то будут существовать два корня уравнения (13). Эти корни будут определять две установившиеся волны с общим расположением гребней, как и при соблюдении неравенства (17). При стремлении соз ~р к нулю эти гребни будут стремиться стать параллельными вектору скорости верхнего потока; длины этих волн стремятся при этом к нулю. Для рассматриваемого частного случая, с = О, д = О, формула (12) записывается.
так: (19) а'(кс' соззфзЬк — РзсЬк) Исключим из двух формул (13) и (19) величину кс' соз'ф. Выполняя ряд преобразований, получим а' / а а'~ СЬк = —,~ —,, — — . [а — за' ~а'а' а /' (20) Из неравенства (18) следует, что гребни волн Оудут почти перпендикулярны к скорости верхнего потока. Коли же угол ф будет удовлетворять неравенству 398 ГЛ. »П. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Если а будет больше, чем 2сд', т. е. р ( 2р', то с[д х будет больше единицы для всех значений а/а' от единицы до бесконечности. Следовательно, в рассматриваемом случае амплитуда волн, образующихся на поверхности раздела, т.
е. внутренних волн, будет превосходить амплитуду волн, принадлежащих свободной поверхности. Чем короче будут эти волны, тем больше а будет превосходить а . Если же сд будет меньше, чем 2»х', что имеет место при р ) 2р', то с[» х будет больше единицы для всех значений отношения а/а' от нуля до единицы. Поэтому в данном случае амплитуда волн на свободной поверхности будет для всех длин волн болыпе, чем амплитуда внутренних волн.
Чем короче будет волна, тем меньше будет амплитуда волн на поверхности раздела. Вернемся теперь к двум потокам жидкости, текущим под углом друг к другу, и рассмотрим их движение по отношению к новой системе координат О»Х»У Я», ось О,Х» которой направлена по линии, перпендикулярной к гребням установившихся волн; допустим, что начало координат О, движется с постоянной скоростью И.
Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет видеть, что волны, которые в системе координат О'ХУЯ были установившимися, будут теперь перемещаться со скоростью T из положительной бесконечности оси О,Х, в отрицательную бесконечность этой оси.
Потоки жидкости имели скорости с и с по отношению к системе координат ОХ» Я и образовывали между собой угол д[). Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет видеть, что скорости потоков будут иметь некоторые другие значения с„сд' и угол между потоками будет 1)д. Старые и новые характеристики потоков связаны друг с другом соотношениями с соя д[д = И + с, соз д[д„с' соз (ф — 6) = )д + сд соз (д[дд — дд»), (21) где д[дд — угол между направлением распространения прогрессивных волн и вектором скорости с,.
Выведенное выше соотношение (11), будучи преобразовано к новым величинам по формулам(21), дает зависимость между длиной прогрессивной волны и скоростью ее распространения У. Имеем *) аз [»д+ с соз яд — Юдцд [ддд — х ()д+ сд соа д[дд)д) Ф[» х— анд [)д + с соз [д[дд — дд))д — акддд [у+ с»сов д[дд)д+ ддд длина волны )д связана с величиной х формулой 2М ь э) Подробное исследование этой формулы, вмподшеиввэ в предполовмиви р ( йр', можио найти в работе [36[, 1 Б.
ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ ззз $ 5. Волны в бассейне с наклонным дном Определим простейшие волновые движения поверхности жидкости в бассейне, дно которого наклонено под некоторым углом а к горизонту и уходит на бесконечную глубину. Будем предполагать, что угол а есть целая часть от 90', положим а=— 2д ' где д — какое-нибудь целое число [175). Примем средний уровень жидкости за плоскость хОу, располагая ось Ох вдоль линии пересечения этой плоскости с дном бассейна и направляя ось Оу в бесконечность по среднему уровню жидкости; ось Ог направлена, как обычно, вертикально вверх. Найдем стоячие волны, обладающие длиной Х по отношению к переменному х.
Пусть Ф (х, у, г; д) — потенциал скоростей частиц жидкости. В силу принятого условия периодичности можно представить этот потенциал так: Ф = гр (у, г) соз кх соз ай Неизвестная функция ~р (у, г) должна удовлетворять уравнению — '+ — — й р=о дг~р дар дуг дгг и следующим граничным условиям: я — — аз~у=0 для г= О, др (2) дг — вша+ — сова= 0 для г = — уста. д<р . д<р дх дг Уравнение (1) имеет частные решения следующего вида: ср (у, г) = Ве А ехр ~ — й ф + — ) у + 1 (~ — — ) г1(, (4) ср(у,г) = ВеА'ехр~ — Й ~(~+ — ) у — Х(~ — — ) г1(, где А и А' — два произвольных комплексных числа, а ь — параметр, имеющий произвольное аначение. В дальнейшем будет удобно рассматривать вместо ~р (у, г) з а' (у, г) функции, находящиеся под знаком действительной части и формулах (4).
Обозначим эти функции соответственно через 40О ГЛ. 111. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Х (У~ г) и Х' (У, г); следовательно, Х(у, г) = АехР( 2 й ((ь+ — ) У.+1(Ь вЂ” — ) г1(, Х'(У,г) = А'ехр~ — й((Ь+ — )у — 1(~ — — )г). Составим для функции Х (у, г) левую часть условия (2), полу- чим дХ , — ОХ= дс = А ~2 уй(ь — 1. ) — а 1ехр~ 2 й)(ь.+ — )У+1(ь — — )г1(. (6) Применим зто равенство к частному случаю, полагая ь == — П где 1 — произвольное действительное число. Правая часть равен- ства (6) обратится при этом в выражение А ( 2 уй (с + 1 ) — о 1 ехр ~ 2 й ( (с 1 ) су (с + Т) г) и будет обращаться в нуль, если о' взять равным 2 ( + 1)У ' (7) Таким образом, при значении ь, функция Х (у, г) удовлетворяет граничному условию (2). Для функции Х' (у, г) можно написать тождество, аналогичное тождеству (6): дХ у — — ОХ = дс = — А' ~ — уй (Ь вЂ” — ) + о'~ ехр ~ — й ~(~ + — ) у — 1 (~ — — ) г1( .
(8) При г = О покааатели экспоненты в формулах (6) и (8) одинаковы при любом у и для любого значения параметра ь. Отсюда следует, что функция Х(у,г) + Х'(у, г) (9) будет удовлетворять граничному условию (2), если коэффициенты А и А' связать зависимостью А ~ — уй(ь — — ) — аг1 — А'~ — Уй(ь — — ) + а'~ = О. (ХО) Составим для функции Х (у, г) левую часть условия (3), получим — в1п а + — сова = — йА ф + — ) в1П а + 1 ( Ь вЂ” — ) сов а) Х Х хр $й [(~+ ~ )у+ (Ь вЂ” ~ )г1(; (11) $ о. ВОлны В Васспнни с наклонным днОм 401 для функции Х' (у, г), взятой для параметра Ц', имеем — я)п а + — соя а = — )оА'у ~' + —,) я1п а — 1(~' — —,)соя а1х х ехр ~ —.
я ~(~' + —,) у — 1(à — —,) я1), (12) Показатели экспоненты в формулах (11) и (12) будут равны друг другу при г = — у ~д и, если принять равенство ( ) ( ) =(' ) . (, ~+ — )сояа — 1(~ — — ) яш а =(~'+ —,) сояа+1(~' — —,) я1па. (1З) Из этого равенства вытекает следующее соотношение между параметрами ~ и ~': — ье-оао (14) Функция Х (У Я) + Х (У з) составленная для параметров ьи ь', связанных соотношением (14), будет удовлетворять условию (3), если коэффициенты А и А' связать равенством А [(~+ — ) вша+1(~ — — ) соя а1+ + А') (ь'+ —,) я1па — 1(ь' — —,) соя а~ = О.
Отсюда вытекает в предположении, что ~ -Ь е-", следующее равенство: А' =А. (15) Установив формулы (10), (14) и (15), построим две последовательности функций. Первая последовательность: Хо = Аоехр( ~ и ~(1о+ ~ ) У+1(1о — ~ )з) 1о = — И~ Х, = А, ехр( — й ((ьг+ — ) у + о (ьг — — ) з1(, Хо = 4оехр(~ й ~(1о+ ~ ) У+1(1о — ~ ) ВЯ, 1о, Х. = А. -р ~+й ~(~. + — '- ) у+ (~ — — ') 1~, ~; Узв гл.
нь пгос'РРАнствкннАН 3АдАчА о мА21ых волнАх Вторая последовательность Х1 = А;ехр~ — 72 ((ьв+ ° ) У вЂ” 1(И вЂ” — ) г1) 1 1 Хв = А;ехР'( з 2в ~(Ц+ —,)У вЂ” 1(1в — — )г1) ьв 2 в Хю = А~ ехр ~~ )в [(вт + ° ) У '(~п~ )г1)'' Вв Примем, что = 1ь 11 = 12, ", 1,л = 1я, (16) При таком выборе чисел ~ и ь' каждая сумма Х (у г) + Х (у г) будет удовлетворять условию (2), если будет соблюдаться следую- щее соотношение, вытекающее из формул (10) и (7): 1 (~ — — ) (А — А' ) = ~1 + — ) (А -(- А' ) (и = 1, 2, 3,...). 1 / 1~ (17) Возьмем теперь зависимость (14) между числами ь и ь' и примем, что = ~ОЕВвв ~'= ~ОЕОвв . ~ = ~Е ~« (18) При соблюдении этих равенств сумма двух функций (у, г) + Х +1 (у, г) (т = О, 1, 2, ...) будет удовлетворять условию (3), если коэффициенты А и А,„.„взять равными друг другу: Ам — — Аю+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
