Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Подставляя в эту формулу вместо р его выражение (10), взятое в точках линии С, и выполняя ряд пре- образований, получаем (» Х = — 1рсэаР— — 1ар т ппо ° Ч ~ тп'п аВ„(х, у) 1(г; 2я ~1 а' — г и, и здесь Ю есть площадь области Р. Принимая во внимание равенство 1ас, = — а'гю придадим предыдущей формуле такой вид: Х = ~рРа'+ — ~а'~~)~~, " " ~ аВ„(х, у) дг~ г(1). рс4 % 1 Л' — (т+РР) а' — 2'„~, "" ~ СВ„(х, у)дг = О. (11) и Составим уравнение движения сосуда под влиянием упругих сил присоединенных пружин и давления жидкости. Обозначая через т массу сосуда, получим т — „,, + лег = ~рйа~ + — ~ а' "~1, " " () аВ„(х, у) иг~ г (1). п=1 С Отсюда вытекает следующее уравнение для определения частот колеблющейся системы: 37с гл.
гг. плоская ЗАдАчА о нкустАновившихся движениях Это уравнение обобщает уравнение (8) т 16, полученное при исследовании задачи о колебании жидкости в прямоугольном сосуде. Исследование уравнения (11) приводит к тем же заключениям о свойствах частот собственных колебаний, которые сделаны прн рассмотрении частной задачи $16. Уравнение поверхности жидкости можно записать в следующем виде, пользуясь формулами (2) и (9): утРи 7) = — ос, р~,, (р„(х, 0)з)по~. И=~ и Отметим в заключение, что вертикальные колебания сосуда произвольного вида могут быть определены через интегралы уравнения Матье, как зто имеет место для частной задачи о движении прямоугольного сосуда с жидкостью. Глава П1 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОИ ЖИДКОСТИ $1.
Периодические колебания поверхности жидкости Потенциал скоростей пространственного движения жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа дьр дг~р дй~р — + — + —,=О дх~ ду~ дэ' и ряду граничных условий. Среди этих условий следует отметить прежде всего условие, которому должна удовлетворять функция ~р(х, у, г; д) в точках среднего уровня жидкости. Это условие, вытекаюгцее из интеграла Бернулли, было уже выведено в а 2 гл. 1 и записывается так: (2) Кроме этого условия должно соблюдаться требование обтекания стенок Е того сосуда, в котором находится жидкость; это условие эапишется так: Помимо граничных условий (2) и (3) функция ~р (х, у, х; г) должна удовлетворять начальным условиям. Начальных условий — два.
Первое условие состоит в том, что при д = О функция д, умноженная на плотность жидкости р, должна давать то импульсивное давление 1 (х, у, г), которое в начальный момент времени приложено к частицам жидкости. Второе условие заключается в том, чтобы проиаводная дфдС имела при г = О и х = О значения эадаваемой функции координат х, у. Ординаты поверхности жидкости определяются в любой момент времени через потенциал скоростей по формуле (4) Отсюда следует, что второе условие основано на требовании, что бы поверхность жидкости имела в начальный момент времени заданный вид, 378 Гл.
1п. пРОстРАнствкннАя 3АдАчА О мАлых ВолнАх В настоящем параграфе мы найдем простейшие решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (2) и периодические по времени. Кроме того, мы ограничимся рассмотрением движения жидкости в слое, имеющем постоянную глубину й и неограниченно распространяющемся в горизонтальном направлении. Таким образом, условие (3) примет в рассматриваемой задаче такой вид: (5) для всех значений х и у. Что же касается начальных условий, то в ра:сматриваемой задаче они отпадают, заменяясь требованием периодичности функции 1~ (х, у, я; 1) по времени.
Найдем частное решение задачи в виде произведения трех функций Х (х), У(у), Е (я), умноженного на соя (Н1 + я); подстановка в уравнение Лапласа функции 1р = Х (х) У (у) Я (х) соя (о'1 + е) (б) приводит к следующему равенству: изХ 1 РИ 1 ЫЯ вЂ” — + — — '+ — —,= О. ,Г,Ца У,~ув 2,УЫ Это равенство будет соблюдаться, если неизвестные функции Х, У, Е подчинить уравнениям потребовав, чтобы между постоянными числами т, и, й существовала зависимость Й' = тз + п~. Интегрируя уравнения (7), получаем Х = А,соя тх+ А,яштх, У = В,соз пУ+ Вза1ппУ, Я = С,е"* + С,е "*. Числа А„Аю..., С~ — произвольные постоянные интегрирования.
Граничное условие (5) дает возможность выразить постоянные С, и С, через новую постоянную С по формуле 1 1 — ь 2 е~"С, С'1 2 е-~"С. Отсюда имеем! Я = С СЬ А' (г + й). Изменяя несколько значения постоянных А„Аю В1, Вю можем ~ к пкгыодичкскпк колкьанмя повягхностк жидкости 379 написать выражение функции (6) так: гр = (Ат соя тх -)- А я)п тх) (В соя пу —; — Вэ я1п пу) х хсЫс (я -,'— й) соя (ог + е). (8) Составим теперь граничное условие (2); найдем после небольших вычислений (9) при любых коэффициентах А„А„Вы В„фазе с. Таким образом, все условия задачи удовлетворены, функция (8) определяет некоторое волновое движение жидкости, обладающее частотой а.
Формула (4) дает уравнение поверхности в рассматриваемом движении жидкости: а ~ = — — сЬйй(Аг соя тх+ А, я1птх) (В,соя пу + К + Вяз|илу) я!п(ог+ з). (10) Все движение жидкости и форма свободной поверхности обладают в направлениях осей координат периодами Х, = 2я/т и Х, = = 2Ып. Числа Хы Х, суть длины волн в направлении осей Ох и Оу соответственно.
Формула (9) определяет частоту колебаний жидкости через длины волн Х, и Хя; имеем 2Л~ у" ~ а ) я ) ( 2лй ~Г) ю + ) 2) Перемещая начало координат в выбранную определенным образом точку на среднем уровне жидкости, можно формулы (8) и ~10) записать короче: <р = а соя гпх соя пу с)т й (я + й) соя (п1 + е), ~ = — — сЬййсоятх соя пу я1п(аг-)- е). яс (12) ь Последняя из этих формул показывает, что при любом значении времени поверхность жидкости пересекает средний уровень по семейству взаимно ортогональных прямых (, д =О, -+1, +2,-) (13) Из той же формулы следует, что при всяком значении времени экстремальные точки поверхности жидкости находятся в одних и тех же местах, определяемых координатами х= Р я, у= ~ я (р',д'=О,+1,+2,...). (14) дзс ГЛ. Н1.
ПРОСтРАНСТВЬННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ Ваг1НАХ Эти свойства позволяют назвать волны, определяемые формулами (12), стоячими волнами. Семейство взаимно ортогональных прямых (13) будет семейством узловых линий этих волн, точки же (14) будут пучностями стоячих волн. Формула (9), или равноценная ей формула (11), определяет частоту стоячих колебаний через длины Х1 и Хэ стоячих волн в направлениях их узловых линий. Граничное условие (5) относится к дну бассейна. Если же бассейн столь глубок, что его можно считать бесконечно глубоким, то условие (5) следует заменить требованием обращения в нуль скоростей частиц жидкости при неограниченном удалении от поверхности жидкости. Для бесконечно глубокого бассейна интеграл 2 последнего из уравнений (7) должен быть взят такого вида, чтобы удовлетворялось указанное требование: Я = Се', гр) О. Соответствующий потенциал скоростей будет ф =(А,созтх+А,яп тх) (В,созпу+ + В, яп пу) ег' соз (аг+ е).
(15) Граничное условие (2) устанавливает связь между параметрами т, и и частотой а волны: а2 уй (16) или аэ = у рггтэ+ и', аэ = '— ~ )г Х,' + ) ~. 1р2 Уравнение поверхности жидкости запишется так: В = — — (А,созтх+ А, яптх)(В,соз пу+ Ваяв пу) яп(ар+ е). а Ю (17) дгф дгф 1 д,р 1 дгф — -г- — + — — + — — = О.
дг' ' дгэ г дг гэ дэ~ (18) Найдем частное решение этого уравнения следующего вида: ф = В(г) 0(9)Я(з) соз(ар+ е), (19) где В (г), 6 (О), Я (г) — три неизвестные функции своих перемен- Формулы (15) — (17) определяют стоячие колебания поверхности бесконечно глубокой жидкости. Перейдем теперь к рассмотрению стоячих волн другого вида. Введем в пространстве систему цилиндрических координат (6, г, э). Уравнение Лапласа в этой системе координат запишется так: 1 к пвгиодичвскив колввания повкгхности жидкости ззт ных. Подстановка функции 9~ (9, г, з) в уравнение (18) дает 2" ~ ~ЛтЛ ~ ЛВ~ ) Е" (20) где Н'8 О" = —.
ле ' ля т=— ~й~ Возьмем какое-нибудь целое число п и подчиним функцию 6 уравнению О" + и'О = О. Общий интеграл этого уравнения будет О = А сов(и9 + и); (21) здесь А и и — произвольные постоянные. При таком определении функции О потенциал скоростей (19) будет однозначным внутри бассейна. Уравнение (20) примет вид Это уравнение будет удовлетворено, если положить г" — йг=-о, ~РЛ 1 ~И / ~Р где й — какое-нибудь действительное число. Первое из этих уравнений интегрируется в показательных функциях: 2 С тг) С ъ.
Интеграл я<е второго уравнения будет В = ВгУ„(яг) + В У„(йг), (22) Е =- СсЬ(з+Ь). (23) Принимая во внимание найденные выражения (21) — (23) функций, входящих в потенциал скоростей (19), придаем этому где Х„(йг) есть функция Бесселя первого'„'рода п-го порядка, а У„(йг) есть второе решение уравнения Бесселя — функция Бесселя второго рода и-го порядка, „„С, и С, суть произвольные константы.
Граничное условие для дна бассейна приводит, как и выше, к следующему окончательному выражению функции Я (з): ззз гл. нп гпоствхг1стввппАя элдэ 1А о мАлых волпхх потенциалу следующий вид: ср = (В,Х Яг) + В,У„(йг)) соз (пО + а) х хсЫс (з + Ь) соз(а~ + с).
(24) Теперь остается удовлетворить граничному условию (2), это условие приводит к зависимости между числами о и Й: а' = дй 1п яй. (25) Таким образом, предыдущая формула определяет потенциал скоростей волнового движения при любых константах В, В, и при произвольных фазах я и з. Уравнение свободной поверхности будет ь = — — сЬЙЬ(ВтХ„(йг) + ВзУ„(йг)) соз(и0+ и) вп(о1+ з). (26) Для определения постоянных Вг и Вт необходимы дополнительные условия. Если мы потребуем, чтобы потенциал скоростей и ордината поверхности жидкости были конечными в точке г =- О, то для соблюдения такого дополнительного требования надо приравнять константу В, нулю. Если же рассматривается колебание жидкости в кольцевом канале, ограниченном цилиндрическими поверхностями радиусов гги гю то условия обтекания этих поверхностей ( — )-с =.— =О зэ) дг /г=~с.-=; установят следующие две зависимости между В, и В,: ВгХ (йг,) + В,У„(яг,) = О, В,Х„(йг,) + В,У„(йг,) = О.
Эти два уравнения будут совместными, если их детерминант равен нулю: ! Х„(йг,) У„(йг ) = О. Х' (Я.,) Ъ'(Ьг,) Можно показать, что это уравнение имеет бесконечное число положительных корней йз ° ° ° Каждому иэ этих корней будет отвечать по формуле (24) свое значение и, которое будет, таким образом, давать частоту соответствующего собственного колебания жидкости в кольцевом канале. $ 1. пггиодическив колевания поввгхности жидкости ззз Уравнение поверхности жидкости запишется при этом так: ь = — — с]г яй [У„(йгд) Х„( [гг) — Х„(3г,)У„(Ь.)]сов(пО+ а)з[в(о1+ е); коэффициент В произволен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
