Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 54
Текст из файла (страница 54)
неустйновившееся движение кРуГлОГО цилиндРА 353 Таким образом, правая часть формулы (4), определяющей главный вектор давлений, составляется на основе формул (10), (11) и (9). Функция К (тг), служащая для составления зтих формул, определяется формулой (10) 3 13.
$15. Неустановившееся движение круглого цилиндра Применим полученные в предыдущих параграфах формулы к рассмотрению одного простейшего случая неустановившегося движения, изученного Хзвелоком И25). Предположим, что круглый цилиндр радиуса а приобретает в момент времени ~ = 0 скорость е, которую и сохраняет во все последующее время своего движения; допустим, что центр етого цилиндра находится на глубине тг под свободной поверхность|2 жидкости.
В начальный ьшмент времени поверхность жидкосйи горизонтальна и не получает воздействия импульсивного давления. Найдем выражение для сил, действующих на цилиндр. Функции шг (г) и ше (г) имеют следующие выражения: оо ао шг =— 2+Г22 ' 2 — Ы ' Найдем функцию К ()2); имеем К (Ге) = — —. — ' ег"его. 2лГ,] ие ге Подставляя сюда вместо производной гез ее выраягение и применяя теорию вычетов, получаем К ()е) = гао)ое-22 (1) Используем теперь общие формулы 3 14 и определим составляющие главного вектора сил давления жидкости, приложенных к поверхности цилиндра.
Применяя формулу (1), находим ~ ! К (ге) (2 гй = ао ~ нее — '""гй = —, о о к(те) = ~ е '2Мй = — 2яаотте — и'". ь Второй из зтих интегралов, взятый по окружности з = — Йг + аее', найден применением теоремга о вычетах, после того как е" было заменено комплексным переменным ~, изменяющимся по окруя:— постн единичного радиуса, 22 л Н. сретенский ддо Гл.
н. плОскАЯ ВАДАЯА О нетстАЯОВиВптихсЯ ДВижениЯх Составим формулу (9) 1 14. Имеем 2 ~(д~) ь йооес й е 2:та'ео ~ ' е [1 — е ссей+с/ейд]с[й+ [/,й+ ей о О г йод' й;ойь -]-2лаоео ~ ' е е [1 — е — дей — УФ)с] сУс '[/ей — ей о лес = — ос+ вйе Вычислим Ватем интеграл (10) В 14. Имеем д — юс[г = 2лйасе ~ 1 ' е ' [1 — е Пей-1/ей)']— г с з/ й+ей дс .
1 )/дй — сй ь' о йое ось , «*о+)'еюс] ' сУс. ]/,— й+.й ' )/'ей Отсюда формула (4) 3 14 примет следующий вид: лес е о йс,— Ойй У+ СХ = — —,рос+ 2Лаоедр ~ [1 — Š— лей гайд] СУС— 2йе,) ]/Ей — сй о йсе — 2лаоелр ~ [1 — е — осей+Усек] сУс. (2) )/ фс + ей о 1 ешо — й (е — о) С вЂ” 1'= — „,з а'Р+4ла'сбр ~1, + о 2 (с+о) + ] /се — ойьс]й с+о Зти формулы были установлены Хевелоком [125].
Выведем асимптотические формулы для Х и 1', справедливые для больщнх Вначений параметра т = й//с. Обратимся сначала Найдем по отдельности компоненты Х и )'; Вапипсем получающиеся формулы, вводя в пх выра>кения скорость и = ] й//с волны длины 2л//с. Получим Ю вЂ” Х= ласкер ~ [ Х 2 с е)пй(е — е) с, о1пй(е+ и) с + 1 е — ' е — е е+е о см пятатАпозявзпсхся двпжвппх 1а хглого пплпндга к исследование> интеграла с — цса — тФс)с сйс с а~ — зза г' з.'с — са 0 Введем вместо 1с новое переменное интегрированиях по формуле й = —, х и положим вместе с тем 2дЫс' = р..
В новых переменных з сз интеграл 21 перепишется так: ,7, = —, '~ е-м~1 1, Зз г хзстх ух — х о (5) где )т' (х) = (х — у' х) — — 1х. 1с Не приводя подробных вычислений, укажем уравнения линий Л,= ВеЛ'=О и Л;1=: 1пс Л' = О, лея:ащих на двух листах римановой поверхности переменного х. Полагая х = ре'з, записываем уравнения лилий Л', = О и Л', = О соответственно в таком виде: 1 1 соз —, д в ~/ 1+— с' 1 2 зш —. д 1яа =, 'и— Р ' = / сз з1в(о — а) 1'~ '+ т' 12" Ка рвс.
42 указаны эти ливии, лежащие на первом листе (У) римановой поверхности, а на рис. 43 указаны эти линии, лежащие вз втором листе (П) римановой поверхности. Укажем, что линия Лт= = О имеет на первом листе две асимптоты: н, =- — х, $д и, х, = х, ся а; две асимптоты с такими я.е уравнениями будут н у ветвей линии Лгз = О, расположенных на втором листе. Для дальнейшего важно отметить, что интеграл с подынтегральной функцией интеграла (5), взятый по лгобой кривой, уходящей в бесконечность в областях, где Л', (О, будет сходящимся. 356 гл.
1ь плоскАя зАЛАЯА о нвустАновнвшнхся движеиях Заметив это, перепип1ем интеграл (5) в новом виде: Ее Г яее е" Š— ееякеЩ е' ~уй е (6) К1 (Я) =: х — )Гх. Путь интегрирования в формуле (6) может быть заменен сложным путем, состоящим из кривой Се и параболы Р, (рис. 39). ' Полюс я == 1 обходится в интеграле (6) сверху маленькойполуокРУжностью, и так как паРабола Ре пеуесекает ДействительнУЯ1 Рис. 43. Ряс. 42. ось плоскости я в точке х = 1/4, то прн замене первоначального пути интегрирования путями Се и Р, надо отнять вычет подыктегральной функции, равный 2Ы ( — 2е э) =.
— 4Я1е '". Таким образом, будем иметь С, 1'* (7) Направление интегрирования по линиям С, и Р, указано на рис. 39. Отметим особо, что эти линии проходят по тем областям римановой поверхности функции Л (х), в точках которых Л', ( О. Это свойство легко установить, рассматривая расположение линий Р, и С, относительно асимптот кривой Л', =- О, проходящей по двум листам римановой поверхности. Следовательно, интегралы в формуле (7) сходятся. Применим к оценке этих интегралов метод перевала, при этом будем пользоваться вычислениями, выполненнътми в З 10 для ка- хожДениЯ асимптотической фоРмУлы Длн интегРала Ое. ) мь нвгстйновившввся движвнив кггглого цилиндгй Асимптотическое выражение интеграла, взятого по линии Р„ будет хае (" Е-(сяс(а)((Х )/х — х гс 1 1 1 — 1 1 да р а.
— — )с — (с-а)( (' — — сас Еа . ° / Х вЂ” — )» — (с- )с — — — е ' еа са 16 ~ е ' ((О= — ага/ — е а е' 4с' У т Интеграл, распространенный на линию Са, начинающуюся в точке х =- О, стремится при неограниченном увеличении т к нулю, как т '. В этом моя;но убедиться, заменяя х через о' и принимая затем во внимание, что подынтегральная функция будет иметь в точке о =-= О нуль второго порядка. Таким образом, для больших значений т интеграл,7, имеет следующее асимптотическое значение: /- — 1 1 4хза, ха / х — — )' — (с-а)( ,7) = — (е "-'- — ~/ — е ' еа '4 У (8) Вернемся теперь к формуле (2) и рассмотрим входящий в нее интеграл )сае айа е д,аа)/аа)ссс, Зй+ сй о Преобразуем этот интеграл к переменному к, получим Ха е хае За 7, = —, ) е-сс(а'т а)(сх. а/х+ х а Особая точка сс = у(еа обходится сверху маленькой полуокруж- Подынтегральная функция пе имеет полюсов на пути интегрнрова ния, в, кроме того, производная (х + 1/х)' не обращается в нуль для действительных и положительных значений х.
В силу этого зонин)этическое значение интеграла 7, будет определяться левым концом пути интегрирования, т. е. значением х =- О. Вводя, как и выше, переменное о, находим, что интеграл Юа убывает, как т-', при стремлении т к бесконечности. Нерассмотренные еще два интеграла формулы (2) дают после их объединения такой результат: С е йае-аеас(й ( Е эха " е айа Š— сай Зйас йса са й е — сай а о йаеа ГЛ. 11 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСтАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ костью. Перепишем эту формулу, используя главное значение интеграла: ес Г йас ай"Лй 2яеа 1 Е 2ас ее Е-айй 2е ) = — ~се-' — — — —, + —, ~, сУс.
(9) е — сей сс 2йес йсе . се З Х вЂ” сай Формулы (7) — (9) позволяют теперь написать асимптотическое выранение величины У + 1Х. Отделяя в этом выражении действительную часть от мнимой, находим горизонтальную силу Х воздействия жидкости на тело и подъемную силу У: сей — ей 4яааееер — —, лаеелр / яс — —, . ! е1 1 Х Ес *4 Зсе 1' дс (,4с 4 -айй 11 с — ей яаееер 1 / яс — —, / ес — — 1 — е "' соз~ — — — я).
2с' 1' Ес '1 4С 4 Первый член в формуле для Х дает величину сопротивления при установившемся движении со скоростьк1 с, второй же член учитывает влияние неустановнвшегося характера движения на сопротивление. Этодополнительное слагаемое стремится к н1лю по мере увеличения времеви и имеет колебательный характер. Точно так же в формуле для подъемной силы У присутствует совокупность слагаемых, дающих подъемную силу при установившемся двиясении, и, кроме того, одно слагаемое, обязанное возникновению движения из состояния покоя. Это слагаемое, имея колебательвый характер, неограниченно стремится к нулю. Таким образом, по истечении достаточно большого промежутка времени силы, действующие на цилиндр, сначала находившийся в покое, принимают значения, вычисляемые для установившегося движения (см. $ 14.гл. 1). Отсюда можно вывести заключение, что по истечении некоторого времени после начала движения цилиндра двия ение частиц жидкости будет стремиться к чому движению, которое наблюдается при установившемся процессе.
В частности, образующиеся волны будут стремиться принять вид тех волн, которые сопровождав1т цилиндр прн его установившемся движении. Точное исследование вида волновой поверхности и ее изменения с течением времени моясет быть проведено с помощью формулы (15) $ $3.
Но такое исследование требует много места для своего изложения, вследствие чего оно здесь не приводится, несмотря даже на то, что по своим реаультатам опо небезынтересно. 5 ы. Колевлния жидкости В подВижнОИ сосудв зээ й 16. Колебания жидкости в подвижном сосуде Большое внимание в последнее время привлекла к себе задача о движении жидкости в сосуде, имеющем заданное перемещение в пространстве. Наибольший интерес среди различных задач, связанных с поведением жидкости в двия'ущемся сосуде, представляет задача о колебаниях жидкости, имеющей открытую поверхность. Подробное изучение этой задачиможно найти в книгах (29), [30].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
