Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Во-вторых, искомые периодические движения, удовлетворяющие условиям излучения, можно получать в результате перехода к пределу при г = — сю в формулах, определяющих решение задачи о неустановившемся движении, поддерживаемом данными периодическими воздействиями внешних тел. Такой прием решения задач о периодических движениях жидкости представляет, вообще говоря, много трудностей, но вместе с тем обнаруживает процесс формирования периодических движений.
Этим вторым приемом мы воспроизвели для частного случая колебаний оси Оу результаты Хэвелока о волнообразователях [113). Разобранная в этом параграфе задача является частным случаем общей задачи, исследованной Меем, об образовании волн системой прямолинейных пластинок, расположенных на одной вертикальной прямой [154). Каждая из этих пластинок начинает совершать с момента времени г = 0 некоторые движения около своего среднего положения. В этот же момент времени поверхность жидкости имеет некоторое отклонение от горизонтального уровня и частицам жидкости сообщаются скорости, зависящие от потенциала. Решение этой общей задачи достигается применением преобразования Лапласа к характеристической функции течения.
Новая функция комплексного переменного, полученная с помощью этого преобразования, представляется в виде суммы двух функций. Первая функция дает решение задачи Коши — Пуассона по начальному состоянию жидкости, не стесненной пластинами.
Вторая функция определяется квадратурами через характеристическую функцию течения безграничной жидкости, вызванного движениями данной системы пластинок и дополнительной системы пластинок, симметричной первой относительно невозмущенного уровня жидкости. Окончательное решение задачи дает характеристическую функцию течения в виде некоторого тройного интеграла, для которого устанавливается ряд асимптотических формул, разъясняющих основные черты образовавшегося движения жидкости.
ЗЗС Гл. 11. плоскАП 3АдАчА о нвгстлновившихся двнокзниях з 11 ПРеобразование прогрессивных волн в стоячие волны с помощью гидродинамического удара Предположим, что по поверхности бесконечно глубокой жидкости распространяется из положительной бесконечности прогрессивная волна Г сох ц =- А соя( — + се+ я). о— Допустим, что в момент времени г =- 0 мгновенно возникает вдоль оси Оу вертикальный барьер. В силу этого простое движение жидкости, описываемое соответствующим потенциалом скоростей ~ро = ~ Аемо~е яш ( — + а1 + з), (2) о г сразу нарушается и приобретает новый вид.
Наша задача заключается в определении этого нового движения жидкости, возникшего благодаря гидродинамическому удару. Эта задача может быть решена с помощью формул, установленных в предыдущем параграфе. Горизонтальные скорости в точках оси ординат, связанные с прохождением волн (1), имеют следующее значение: — — = о Ае'*о~я (я1п з я1п а1 — соя я соя ао). дзо дх Отсюда вытекает, что вдоль оси Оу добавочные горизонтальные скорости, возникающие от введения новой связи, наложенной на первоначальное движение жидкости, должны иметь следующее выражение: — — = аАе' о~е [соя з соя а1 — я1п з яш а1).
др, дх Здесь ~р, (х, у; г) — потенциал скоростей, возникших благодаря гидродинамическому удару. Отметим, что потенциал оэ, должен обращаться в нуль в начальный момент времени при у =- О, так как к поверхности жидкости не приложено импульсивное давление. Неустановившееся движение жидкости во все время после удара будет иметь потенциал скоростей Ф(х, у; г) = о Аемие я1п( — + аг+ е) + гр,(х, у; 1). а К Уравнение же поверхности жидкости будет О = — (~~) = А (~ +аг+ з)+ — ("т1) Для определения последнего слагаемого этой формулы могут служить формулы (1) — (3) и (31) — (ЗЗ) 3 10. В первой группе этих 1 !1.
ПРНОВРАЗОВАНИЕ ВОЛН С ПОМОЩЬЛО УДАРА нм формул коэффициент а должен быть заменен на — ОА я1В в, во второй же группе на ч нА сов в; число т во всех указанных формулах в 10 должно быть взято равным у = ПЧд. Выполнив эти преобразования, найдем для Н следующее выражение: Н = Асов( — + о1+ в)— I оех — — А ~, е [я1п(о)+ в) — я)п(у'дйг+в)1дй. (3) е Пользуясь асимптотическими формулами (27) и (34) в 10, легко получаем для Н следующую асимптотическую формулу при больших значениях ю и при х ( сН2: 4А / ч .
/Все 1 Н =, "ть' —" вш ( — — — л + е) + я (1 — 16и'] Г м (, 4х 4 оех . + 2А соя — соя(о) -)- в). (4) Для больших значений ет, но для х ) сН2 имеем 4А Гл . 'Х1е 1 Н = у —" в'ш ) — — — я + е) + я(1 1вяе) У м т 4х 4 + А соя ( — + ог + з) .
(5) Формулы (4) и (5) показывают, что до момента времени 1„введенного в з 10 иотвечающеготочке)т'(рис. 40), поверхность жидкости для больших со, т. е. около начала координат, будет представлять собой волнистую кривую с бесконечным числом узлов около точки О и с неограниченно уменьшающимися ординатамн при приближении к этой точке *).
При увеличении времени за предел ге поверхность жидкости начинает покрываться стоячими волнами частоты и, причем область, захватываемая этими волнами, увеличивается с групповой скоростью волн частоты и. Вне этой области будут сохраняться идущие из бесконечности прогрессивные волны, на которые при болыпих со будут накладываться незначительные по величине и довольно сложные по своей структуре волны, изображаемые первым слагаемым правой части формулы (4). Таким образом, мгновенно введенная связь, преграждающая распространение прогрессивных волн, преобразовывает эти волны в стоячие колебания, область существования которых неограниченно увеличивается с течением времени; эти стоячие колебания вытесняют, так сказать, прогрессивные волны. *) Очевидно, имеется в выду первое слагаемое формулы (5). (Прям.
ред.) йэа 1л. и. Спосила злдлчл О нкустлнсвын!пихся двпжкппях Рассмотрим теперь движения в области отрицательных х, куда доступ прогрессивных волн прекращен. Движение жидкости при х ) 0 образовывалось прогрессивными волнами (1) с потенциалом скоростей (2) и волновыми движениями, вызванными простым слоем источников, распределенных на оси Оу. Эти последние движения симметричны относительно оси Оу. Так как после момента времени 1 = 0 прогрессивные волны не пропускаются в область х ( О, то из потенциала скоростей (2) следует вычесть потенциал скоростей простого слоя источников. Поэтому для ординат поверхности жидкости в области х(0 будем иметь ту же формулу (3), но со знаком плюс перед интегралом. Применение асимптотических формул (27) и (34) з 10 дает для ординат поверхности жидкости при больших значениях параметра 1»' =- д11! ~ х ~ следующие результаты: для (х)(се)2 4А Гя .
/~1 Н=, у —,э1~( — + — — ); я(1 — 16х,',) У э1' 1 4х для )х)) с112 4А / я . /д11 1 / оэх Н= ~' —, а1п~ — + 4 я — з)+ Асов( — + 01+э) Не останавливаясь на детальном разъяснеяии этих формул, моя1но сказать, что за барьером, в стороне отрицательных х, поверхность жидкости освобождается от прогрессивных волн, и граница поверхности жидкости, свободной от этих волн, отступает с групповой скоростью, присущей волнам частоты и. За этой границей будет движение основной прогрессивной волны в направлении к отрицательной бесконечности.
Формулы, полученные в з 10, позволяют вместе с тем решить задачу о тех изменениях, которые вносятся в стоячие колебания поверхности жидкости введением новой связи в виде мгновенно погруженной вертикальной плоскости. Не проводя детально всех вычислений, укажем окончательные результаты. Возьмем потенциал скоростей, отвечающий стоячим волнам 11, =- А соа (Йх + сс) а1п (П1 + е); имеем 1р, = — ~ е'*Месса()ех+а)соз(ос+ з). о При мгновенном погружении в момент времени 1 =- 0 плоскости х = 0 будут образовываться в точках атой плоскости горизонтальные скорости, равные Ао а1п ае'*ма (соз з соз пг — з1п э з1п Я1).
т 12. РАспАдение последОВАтельности Волн 339 Пользуясь асимптотическими формулами (27) и (34) 3 10, получаем, что при больших от для значений 1) то и значений х, изменяющихся от 0 до со/2, поверхность жидкости покрыта волнами, определяемыми уравнением ц = А соз ()ох+ а) 31п (а1+ з) — А з!Па соз (лх — О1 — е). (6) Следовательно, по поверхности жидкости, покрытой стоячими волнами 11 =- А соз (ех + а) з(н (нт + е), будут бежать прогрессивные волны l сох т) = — А[зтнасоз~ — — О1+ з), з занимающие отрезок оси Ох от точки О до точки сс1'2. В этой последней точке прогрессивные волны пропадают, и на остальной части оси Ох бУдУт лишь начальные стоичие волны т1о.
Эти последние волны будут постепенно вытесняться волнами (6). 9 12. Распадение полубесконечной последовательности волн Различные формулы, полученные в 9 10, позволяют разобрать задачу о распадении бесконечной последовательности волн т)о = А з1Л тх, образовавшейся на поверхности жидкости вмомент времени 1 = — 0 на протяжении оси абсцисс от х = — оо до х =- 0; на остальной части оси абсцисс (О ( х ( оо) поверхность жидкости остается горизонтальной: т)о = О. Предположим, что в исходный момент времени скорости частиц жидкости равны нулю.
Эта задача представляет собой особый случай задачи Коши — Пуассона. Метод, основанный на применении интеграла Фурье, не может быть здесь применен непосредственно, так как интеграл о ао энто хэх не сходится. Покажем, что потенциал скоростей с~А Г оч1 зй зта Г ГА1 (, т 1 ., О„ма от 1) о дает волновое движение от начального возвьппения поверхности Зао гл. и. плоская задача о ннкстановившнхся движкниях жидкости, определяемого уравнением Азштх, х(0, то О, )О. (2) Отметим особо, что в формуле (1) полюс й = т обходится сверху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
