Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 49
Текст из файла (страница 49)
36. значения параметра )/у> >, а по оси ординат — отношения е/гс. Вычисленные точки кривой отмечены на рис. 36 кружочками. 9 10. Установление прогрессивных волн при простых гармонических колебаниях вертикальной стенки Допустим, что жидкость, находящаяся в состоянии покоя до момента времени > = О, приходит в этот момент в движение благодаря скоростям, которые сообщаются ее частицам, прилегающим к вертикальной оси Оу.
Предполол1им, что при х = О и для всех отрицательных значений у от О до — ОО дана горизонтальная компонента скорости з виде произведения функции времени с на функцию переменного у: ди ( ) ~(У)' д>с Определим потенциал скоростей возникшего движении жидкости. Этот потенциал будет определяться формулами (5), (7) и (8) 9 8, в которых функции с (~), а>' (у) ааменены соответственно на с (С) и ~ (у), а числа а и Ье приравнены соответственно — 1 И ОО, 322 гл.
11. плОскАя 3АдАчА О неустАнОВНВшихся дВижениях Обратимся сначала к исследованию интеграла (2) и перепишем его так: Ссм йх -1мх 1„-мхэ хм ,(11= — Я1Е-МхСОЗО1+СОЗО1) . ( ) ) а — х 1+~' ' Преобразуем второй член правой части формулы (4). Имеем о 1 1 +4~а — +4~ Нгх+ Уса 11 йс+ о -1эх-Уаюд ~)й. (6) Подвергнем преобразованию по порядку все четыре интеграла правой части етого равенства.
Рассмотрим интеграл м(эх~ Уам. Ф о введем вместо Й новое переменное интегрирования х по формуле Получим м (мхУмл О1 ') — ОН, ко о (7) где м цх =- созс1~ й)с — ~ ~ созйх1й. (4) о о В связи с переходом от формулы (2) к формуле (4) необходимо сделать одно важное замечание. В формуле (2) интегрирование ведется вдоль положительной части оси абсцисс, при этом в точке й = т подынтегральная функция не обращается в бесконечность. Не изменяя значения интеграла (2), мы можем сместить путь интегрирования в плоскость комплексного переменного, обходя точку х = у сверху небольшой полуокружностью.
Основываясь на этом замечании, мы можем считать, что в каждом из двух интегралов формулы (4) путь интегрирования идет по плоскости комплексного переменного л, обходя сверху точку й == т. Первый член правой части формулы (4) может быть преобразован с помощью контурного интегрирования к следующему виду: 1 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕВАНИЛ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 323 Для дальнейшего преобразования необходимо изучить функцию К(х) = — х+ у'х в зависимости от переменного х, рассматриваемого как комплексное переменное.
Разрежем плоскость переменного х вдоль действительной оси от точки — оо до точки О. Вдоль положительной части действительной оси у'х имеет положительные действительные значения; отсюда следует, что функция К (х) может быть представлена так: К (х) = рсм + р" емн где р=(х), 8=асях. Такое изображение функции К (х) показывает, что ВеК(х) = р сов 8+ рч соз — 8, 1 2 1шК(х) = рзш8+ р" з1п — 8. 2 Из последнего равенства вытекает, что мнимая часть функции К (х) положительна в верхней 1шлуплоскости; из первого же равенства следует, что в точках линии С„выходящей из начала координат, идущей во втором квадранте и определяемой уравнением 1 009 2 В В действительная часть функции К (х) равна нулю (рис. 37).
Таким образом, вдоль линии С, функция (х + )Гх) 1 имеет действительные отрицательные значения, уменьшающиеся от нуля до — со. В силу этого можно первоначальный путь интегрирования (О, оо) заменить в формуле (7) путем С,. Получим и1х1 т" м)1 Я1 = 11х. х — х, с, Асимптотическое значение этого интеграла определяется при больших 10 значениями подынтегральной функции вблизи точки х = О. Кривая С1 касается в точке х = О отрицательной части оси 324 гл. и.
плОскАя 3АдАчА О неустановившихся двиноениях абсцисс. Поэтому асимптотическое значение интеграла 8, будет Г е'"о оеео 1 с 2 8о= ~ — еоР= — ~ е оедР= —. Р + 'оо "о коео (9) рассмотрим затем интеграл е ~оео ~хаен о Преобразуем его к переменному к, получим -ю(ео ук К Я = еок. к — ко о ((о) Действительная часть функции К (к) равна нулю и на той ветви С, линии (8), которая находится в третьем квадранте и для которой угол 0 меняется от — я!2 до — я; мнимая же часть функции К (к) отрицательна в точках линий С, и во всей нижней полуплоскости.
В силу этого возможно интегрирование в формуле (10) перенести на линию С„но при таком изменении пути интегрирования приходится учитывать полюс к =- ко, который обходится первоначальным путем сверху. Таким образом, будем иметь е 4(ео е «)» Ко = — 2яое ~"'+ о ке'+ ~ еох. ко Се Таким образом, для больших значений ао будем иметь Оо = —, — 2пое- (" ог» Д. г (и) кое> Теперь нам предстоит найти асимптотические формулы для двух последних интегралов формулы (6). Преобразуем интеграл ,<ое-теае од Кз= „дй о Повторяя вычисления, относившиеся к выводу асимптотической формулы (9), находим для нового интеграла асимптотическое значение, равное 2 коеоо 1 10.
РАРмоничгскик колквАнпя ВВРтикАльной станки 22з к переменному х. Будем иметь о1х-т' 1 оз = Йх. х — х, о Для получения искомой асимптотической формулы надо подробно изучить функцию К, (х) =- х — ф'х для комплекснык значений переменного х. Разрежем плоскость переменного х вдоль отрицательной части действительной оси и определим )~ х так, как было принято выше. Составим выражения действительной и мнимой части функции К, (х).
Имеем Ве Кг(х) = рсозΠ— р*'*сов — О, 1шК,(х) = рзшΠ— ро*зш — О. 2 (12) Производная ИК,Ях обращается в нуль при х = Чо для этого значения х имеем йеКг(4)= — 4, 1шКт(4)=О. Заметив эти равенства, найдем с помощью формул (12) уравнение той линии, вдоль которой соблюдались бы два условия: Ве Кг (х) = — —, 1П1 К, (х) ) О. Уравнение этой линии будет р соз О р соз О 4 1 1 2 4 уравнение второй параболы Рс имеет вид 1, 1 ! 1 соз — 0 — з1а — З 2 2 1 з 4 1+а1оО' Р 2соаз ( 2 С ( 2 ) (14) Эта линия распадается на две параболы с вертикальными осями, проходящие через точки р = г и 8 .= О, О = — я. Уравнение первой параболы Р, имеет вид 1, 1 2 О+з1а 2 8 р= —,1 —.з, Р'" ( — 2 я(8( 2 я);(13)' 320 Гл.
и. плоскхя 3АдАчА о НГустхновившихся движениях Мнимая часть функции К, (х) имеет следующее выражение в точ- ках параболы Р.,: 1 а1П 2 0 1шКЗ(к) =- — р*" ~1+ У2 З1п(0 — — я~~, (15) и при изменении 0 от — а!,я до О уменьшается от со до О, нри дальнейшем увеличении 0 от О до '!,я увеличивается от О до сс. Мнимая часть функции К, (к) имеет следующее выражение в точках параболы Рт: 1 з1а Зз 1шК,(х):= — р'ч ~1 — ~'2 з1н(0+ —, л)~. (16) При увеличении угла 0 от — Ч,я до О это выражение увеличивается от — со до О, при дальнейшем возрастании 0 от О до '! н уменьшается от О до — оо.
При к = О функция К, (х) равняется нулю. Найдем те кривые, выходящие из начала координат, вдоль которых действительная часть функции К, (х) равна нулю. Приравнивая нулю первое из выражений (12), получаем 1 соа —, 0 е Эта линия имеет в декартовых координатах следующее уравнение: у' = 4х' (х — 1).
При изменении 0 от — ~1,я до — н мнимая часть К, (х) будет уменьшаться от со до О; при изменении 0 от я до '/,н, т. е. вдоль ветви С„мнимая часть К, (х) будет уменьшаться от О до — са. Установив свойства функции К,(х), выражаемые равенствами (15) — (17), можем преобразовать теперь интеграл Бз к новому виду и получить для него асимптотическую формулу при больших ы. Возьмем плоскость комплексного переменного х и проведем на ней разрез ( — со, О), к обеим берегам этого разреза будет примыкать второй лист римановой поверхности неоднозначной функции К, (к).
Парабола Р, будет лежать частью ( — я < 0 < ",,я) на верхнем листе римановой поверхности, а частью ( — ЗЫ2 < 0 < — я) Те ветви С, и С, этой линии, которые выходят из начала координат, получаются: ветвь С, при изменении 0 от — з!,я до — я, ветвь С, при изменении угла 0 от н до ~/,я. Мнимая часть функции К, (х) имеет в точках ветвей С, и С, следующие значения: 2 тз 1 аш0 (17) 1 1е РАРмоническее кОлеБАния веРтикАльнои стенки 33т 0 кэ(— 1 (18) то надо принять во внимание вычет полюса хю Таким образом, имеем 8,=~ о < -«« Ик+ ео с, ~~1«-У «Л + ~ Их — [2л1е"'к«0-т~' л ).
(19) к — х Р Слагаемое, заключенное в квадратные скобки, добавляется лишь при соблюдении неравенства (18). Повторяя способ оценки интеграла йм можно показать, что интеграл по кривой С, стремится к нулю, как ю ', при ы, стремящемся к бесконечности. Что же касается интеграла по кривой Р„ то асимптотическое значение этого интеграла при больших ю может быть получено методом перевала [101 Производная К, (х) обращается в нуль при м = ч~„это есть перевальное значение на нижнем листе этой поверхности.
Кривая С, будет лежать на втором листе. Расположение кривых Р, и С~ на двухлистной римановой поверхности указано на рис. 38. Те части кривых Р, и С„которые расположены на втором листе, изображены штриховыми линиями. О Вдоль кривых Р, и С, действительная часть функ- ~,' Х Д Р ции К, (х) сохраняет посто- У янное значение, а мнимая часть функции К,(м) т жительна и в удаленных частях этих кривых равна сс. Благодаря этому можно интегрирование по действительной оси от 0 до са за- рез. 33. менить интегрированием по сложному пути, состоящему из кривой С, и всей параболы Р,. Но при этом надо заметить, что интеграл по первоначальному пути будет равен интегралу по составному пути только в том случае, если полюс к = хз будет находиться вне отрезка [О, 1/4); если же будет иметь место противное, т.
е. будет соблюдаться неравенство 343 Гл. и. плОскАя 3АдАчА О неустановившихся дВижениях показателя степени у подынтегральной функции интеграла л(х-Ух)1 4)Х. н — х, Р, Около точки перевала (ей отвечает угол 8, равный нул(о) имеем следу(ощие разложения на основании формул (13) и (15): ((х = ем(Нр+(р((Е) = — е(о + . 1((0 = .г е 4 1 (1 — ошЕ)о 1 — ошЕ ( 4 +''') + 8 1 Асимптотическое больших о) будет, 1 4 — ел 4 — хо выражение рассматриваемого интеграла при согласно правилам метода перевала, таким: — л '1 — 1 'О)2 — 1 4 ее х — — (-В ее Щ— 1ее — е 4 1 — 4хо У 44 Следовательно, учитывая лишь главный член разложения, имеем следующее асимптотическое представление интеграла (19): Р— 1 Оо — — — )ее — е ' ' — (2я(е"("- Ух В].
1 — 4х, (о (20) Возвратимся к формуле (6) и рассмотрим интеграл е(х )е о (х- У«)» е 54 х — хо о Пользуясь установленными выше свойствами функции К1(х), преобразуем путь интегрирования (О, со) в сложный путь, состоящий из кривой С, и всей параболы Р,. Расположение этих кривых указано на рис. 39. Будем иметь — х(х — Ух)( -х(х-Ух)4 34 = ~ ' ((х+ ') ' ()х — (2я)е- ("-~ ")1). х — х Се Переписывая этот интеграл в переменном х, имеем для Ое другое выражение: 1 1Ю. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 929 Последнее слагаемое правой части добавляется лишь при соблюдении неравенства 4 <хю. 1 (21) При больших значениях ю первый интеграл стремится к нулю, как ав ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
