Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поэтому мь< довольствуемся при отыскании функции ф, (х, у; 1) лишь удовлетворением волнового граничного условия; условия обтекания будут в известной мере соблюдаться наличием в потенциале (6) слагаемого с (1) ф, (х, у). Такое упрощение задачи правомерно при достаточном удалении контура 1 от поверхности н<идкости. Совершенно такое же упрощение было принято в гл.
1 при изучении установившегося или колебательного движения замкнутого контура под поверхностью жидкости. В силу симметричного расположения контуров Ь и 1 относительно оси абсцисс имеем следующие равенства при у =- 0: <р, (х, 0) = <р, (х, 0), дф< (х, О) дф< (х, О] дф< (х, О) дф~ (х, О) дх дх ' ду ду д<ф<(х, О) дзф<(х, О) дхз дх< ч4а гл. и. плоская зхдьчх о нвустхновившихся движкниях На основе этих равенств граничное условие (3) примет следующий вид: (' — — 2с — + с — ') + у — = с — + 2ус —.
доФз дафз о дззрз '1 доз д~уз др, д)о дхд) дхз ) ду дх ду (7) Зту систему уравнений можно привести к одному уравнению для функции С = А + Вг; имеем — + 21сй —, + (уй — с'йз) С+ 1йсС= 2дсК, где К(й) ц(й) + 1)у (й) 1 ~ дздз(о, 0) сааза Общий интеграл этого уравнения запишется так: С = (Р (й) со ~'уй 1+ ~) (й) ~)п )~'уй 1) ~о"' + + = К(й) ~ с(т) еазом') з1')) з1п $/уй (1 — т) а(т; уФ (1О) (11) здесь для сокращения записи введено такое обозначение: е (1) = ~ с (т) азу. о Будем искать функцию зао (х, у; 1) в виде такого интеграла; з зсз (х, У; 1) = ~ (А соз йх -(- В з)п йх) еоаз(й, о где А и  — две неизвестные функцин времени и параметра й.
Допустим, что мы представили функцию д~,о(х, О)/ду в виде следующего интеграла: 'З,"" -~ ~м(з)..б*з и(З|. Зхаа, Р) ду а где М (й) к Л (й) — две известные функции параметра й. Внесем выражения (8) и (9) в граничное условие (7). Сравни- вая коэффициенты при соз йх и ь)п йх в обеих частях этого усло- вия, получаем два дифференциальных ураьнекия: — — 2сй — + (уй — с'йо) А — йсВ =- 2усМ, ФА дВ д)о д) — + 2сй — + (уй — сай') В + йс А = 2усУ. 1 13.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА зйп Две произвольные функции интегрирования Р (й) и Ч (й) могут быть найдены из начальных условий задачи (5). При 1 = 0 и у = = 0 имеем Ю р ~ (А(О,Й)созйх+ В(О,й)з)пйх)с(й = ~(х), о соз йх+ ' з1пйх~)ай = бР(х). о Решая этн уравнения с помощью форйтул обращения Фурье, получаем откуда следует, что С (О й) — ~ 1(а) Е1йааа дС(0, й) з д1 — г" (а) е1йа1)а Левые части этих формул могут быть вычислены по формуле (11); имеем = )Гуй с) (й) — гйс(0) Р (й).
С (О, й) = Р (й) Отсюда получаем Р(й) = — ~ /(а)е1йае(а, 1 яо () (й) = — ~ ~уР (а) + — с (О) / (а)~ е1" ас) а. я рай Р (12) Таким образом, функция С (1, й) полностью определена. Составим теперь выражение характеристической функции, отвечагощей потенЦиалУ скоРостей 1уо (х, У; 1): а~ юо(г,() = ~ С(ц й) е 'й'Йй о А (О, й) = — ~ 1 (а) сов йа Ыа, 1 я(э — а дА(0, й) е = — ~ Р (а) соз йа 1(а, В (О, й) = — ~ 1 (а) з1п йа аа, ЯР дВ(0, й) до я = — ~ Р(а)з1пйа1(а, 348 гл. ы. плоскАя 3АдАчА о новустАновившпхся дввпкввшях или в развернутом виде; оо юо (г, с) = ~ (Р (й) сов )I уй Ю + Д (й, () з(п ]/ дУс 8] е '"и+о ~6!с + о +2 [ ( )а ( К(й)е "- "— м!сп — ( и М уБа( 1 о]й, о о (12) Отметим особо один частный случай этой формулы.
Предположим, что в начальный вюмено времени к поверхности л;идкости не прикладывзввтся импульсивные давления и сама поверхность горизонтальная. В таком случае функции у (х) и Р (х) будут обращаться в нуль, благодаря чему будут пулявви и функции Р (й) и е (й), как это показывают формулы (12). В этом частном случае выражение (13) значительно упрощается и приобретает следующий вид: юо(г,() = = 2д( с (т) дт ( К(й) е '"' "(оп~иод ' о ( ) Ий. (14) Ух или о] = — Ве ~ ( —.
+ (сйС) е от"с]й. до о (15) 14. Вычисление сил, действующих на контур прп его неустановившемся двшкении Выведем общую формулу для ковопонено сил давления потока на контур Л. Возьмем интеграл Бернулли для рассматриваемого неустановившегося поступательного движения. Обозначая через У отно- В рассматриваемом частном случае частицы жидкости, находящиеся внутри потока, будут при о == О испытывать импульсивное давление рс (0) ]ор, (х, у) — ео (х, у)] и обладать, следовательно, некоторыми скоростями. Но если тело приходит в движение без скорости, то у частиц жидкости не будет начальных скоростей.
Если, помимо того, двив.ение тела начинается без ускорения, то в начальный момент времени давление внутри ноидкости будет гидро- статическим. Укажем в заклвочение уравнение поверхности жидкости. С вомощью формулы (4) получаем $14. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩих На кОНТуР ЗЗ>> сительную скорость частицьс жидкости, будем иметь При подсчете снл давления функция 1 (С) может быть отброшена, как и слагаемое — ду, дающее подъемную силу Архимеда. По- этому формула для давления может быть взята в следующем упро- щенном виде: р '>'Р >»с — р р ас 2 Воставлясощне Х н с' главного вектора сил давления имеют внд Х= — ~р — (з, У='р — з, >Су Г дз дс ' >С> ь с' + 1Х = 1 р ( — — 1 ~У )с( . ь отсв>да Заменим р его значением (1), получим Р— (У+ сХ) = ~ —.'р с(з — ~ ~Кз( — „* — с+)>(г, (2) ь ь где з = х — су.
Функция д>р/дС может быть представлена так: д>р ди> . д>)> дс дс дс д>р дм . >Сс — = — + су— дс дс >с с или д>р д»> 1 >Се — = — + — (з — й)— дс дс 2 дс (З) Рассмотрим затем второй член правой части формулы (2). Имеем $' ( — — с — >с)з = П(и — сэ) <Ь, 2 ~ У д 1 где и н» вЂ” проекции относительной скорости; поэтому >с и — сь =- — — (и+сз), >с> где и> —. характеристическая функция абсолютного течения, а ф — отвечая>щья ей функция тока. Вдоль обтекаемого контура функция тока равна — су, следовательно, на этом контуре будем иметь дбо гл. и, плОскАя 3АдАчА О неустАнОВиВшпхся дВижениях У 112 равняется изменению потенциала относительных скоростей: У 128 = — — Ы (1Р + сх); вдоль обтекаемого контура 2р + су — величина постоянная, сле- довательно, У сЬ = — Йю — с Ыг.
Итак, У2( — — 1 — ) = — (1с+ сг) И(и'+ сг) = ~ — (и+ сг)1 17г. 2 / х 2 ~ И Гд 12 (, дх дх ) ~ Сг Пользуясь этим результатом и формулой (3), мы можем записать формулу (2) так: 1 дГ1дсà — (У+ 1Х) = — 1д1сдг+ — — ~(г — й)122— Р дс д 2 д1 ь ь — — — (и>+ сг)~ 1(г. Если циркуляция потока вокруг контура равна Г, то интеграл С ~ 11В ь обращается в — сГ и предыдущая формула приобретает следую- щий вид: д Г 1 дс à — (У+ 1Х) = — ~и12г+ — — ~(г — й) 12г— Р д1 2 д1) ь ь — — ~( — ) 112+ сГ.
(4) где ю1(г) н 1сг (г) — характеристические функции течения, обладающего потенциалами скоростей 1Р1 (х, у) и 1Р2(х, у) соответственно, а функция и, (г, 1) определяется формулой (14) $13. Зта формула является частным случаем одной общей формулы С. А. Чаплыгина [70'). Применим эту формулу к определению главного вектора сил давления для того частного случая, когда в начальный момент времени к поверхности жидкости не прилон:ены импульсивные давления и поверхность жидкости горизонтальная. Будем предполагать, кроме того, что вокруг движущегося тела не развивается циркуляция потока, Г =- О. В этом случае функция 1с (г, 1) имеет следующий вид: 1с (г, 1) = с (1) ш, (г) — с (1) и~г (г) + 1сг (г, 1), (5) о ы. вычислвнив сил, двиствующих нА кОнтуР зз1 Применим к рассматриваемому движению формулу (4), заменяя в ней и его выражением (5) и полагая Г = О.
Найдем сначала величину интеграла Повторяя в значительной степени вычисления з 18 гл. 1, имеем, обозначая штрихами дифференцирование по переменному ~ — "~'о,- х~~ ',— О а* х а (( ', — ~~ '.о*, (о) ~( ')' а да 1 ь ь (и~ — из)'11г = — 21 ~ (и, — иа) ду ь 0 К (ао) оЦо ~ (и иа) о — азхДТ вЂ” 1~ К (1О) Йаа ~ (И, — И,)Е1О'111О.
о Применяя к внутренним интегралам формулу (10) 4 13, получаем ~(и, — и,)аоЬ = 4п ~ ! К(7о) )ад)о. ь о (7) Рассмотрим затем второй интеграл правой части формулы (6). Имеем ОФ (и, — из) изо1з — 21 ~ ' из1х. д~Ра(х, О) дз Заменим из его выражением из формулы (14) 3 13. Выполняя ряд Рассмотрим первый интеграл правой части; преобразуем его, польауясь формулой и, — и, = 21 — а = 21 Ве ~ К (й) е — азхд)о =-. д~р дз о а — К (1о) о ~зхД)о + 1 ~ К (7о) оозхаД о о Имеем 352 гл, 11. плОскАя 3АдАчА О неустАНОВиВшихся дВижениях преобразований, получим (сес лс2) Всадя ь = 4д ~ е (т) с(т ~ йК (й) е 12(а(11 — с и 2(В Ргф (С вЂ” т) ссй л а а ЗЕ2(' О) е-сих,(.
ду Составим теперь выражение интеграла (6); применяя формузы (7) и (8), получаем — ~ ( — "." ) с(г = 2ле' ~ ( К (й) (2 с(й + ь а + 4ле ') с (т) сст ~ )с' а1с яш )с ей (( — т) ( к (й) (2 е — 12(с( с с — и('исай. (9) Найдем затем первый член правой части формулы (4). Принимая обозначения ь лссссг = и„')сеас(г = пи, ')е — са'с(г = х(й), ь ь получаем — ~щс(г =: (и, — п) — '+ 2д~е(т)сит ~ х(й) К(й) е — са(и(с) — 'Си Х ь п Х [)С фссоя)с дй(( — т) — сйе(() ясп )с йй(( — 'с)] =.
(10) у'~ь ' Рассчитаем, наконец, второй член правой части формулы (4). Имеем — ', — "„; ~(.— й)а=(8 — „'', (и) ь" где 8 — площадь, охватываемая контуром Ь. Применяя к последнему интегралу формулу (10) я 13, находим (сос лс2) лсис(г = ь с = 41л~ с(т)с(т ~ )с фсясп )с фс(( — т)(К(й) (ие — ™сип — ас ис)й (8) $ 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
