Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В настоящем параграфе мы разберем одну из частных задач, которой будут присущи, однако же, все особенности задач общего вида. Рассмотрим прямоугольный сосуд, наполненный до определенного уровня тяжелой жидкостью; предположим, что этот сосуд может перемещаться поступательно в горизонтальном направлении, и допустим, далее, что такое перемещение вызывает появление горизонтальной упругой силы, приложенной к твердой массе сосуда и пропорциональной величине смещения сосуда от некоторого среднего его положения. Нап1а задача состоит в определении периодов собственных колебаний сосуда с налитой в него жидкостью.
Возьмем неподвижную систему координат хОу, направляя ось Оу вертикально вверх, а ось Ол горизонтально. Предположим, что нижняя горизонтальная стенка сосуда расположена по оси Ол, по которой и может скользить. Обозначим буквой з расстояние левой стенки сосуда от неподвижного начала координат.
Свяжем с движущимся сосудом подвижную систему координат хО'у, беря начало ее в нижнем левом углу сосуда; оси подвил.ной системы параллельны соответствующим осям неподвижной системы координат. Обозначим через а ширину, а через й высоту сосуда. Пусть ~р (х, у; 1) — потенциал относительных скоростей частил жидкости. Функция ~р удовлетворяет по координатам х, у уравнению Лапласа и ряду граничных условий. Из требования обтекания стенок и дна сосуда имеем такие условия: ~а'Р) =О, (а'Р) =О. 'Условие постоянства давления вдоль свободной поверхности жидкости приводит к требованию где с (1) есть скорость сосуда (или подвижной системы координат) в направлении оси Ох, а с = ОзсЯГз. Уравнение.-поверхности жидкости в системе координат хОу запишется так: (1) 1 ш.
колкввхния жидкости в подвижном сосгдз ~ц штрих у сигмы указывает, что суммирование ведется лишь по нечетным значениям индекса >г. Составим теперь последнее из условий (2); получим ап , соз — х осоь'(1 о ~~ о ) о=о О иа = — — ьАо+ р А„(пзЬгп — ьсЬги)соз — х.
(5) Отсюда получаем значения неизвестных коэффициентов А„: Ао = асс~ А = 0 (и =. 2, 4, 6,...), 4асог, (п = 1, 3, 5,.... ао (а зЬ ги — с сЬ гп) ЛП яа гр (х, У) = — асо + — ' 7 2 ио 2~ ао(пзЬ гп — «сЬ га] а соз — х. (6) а=1 Отметим что если частота колебаний о такова, что для некоторого целого нечетного значения индекса п величина (7) пзйги — з сйгп равна нулю, то наступает явление резонанса и формула (6) не может быль использована — необходим учет нелинейных слагаемых в условиях задачи. Если же величина (7) обращается в нуль для четного значения и, то, как это следует из равенства (5), коэффициент Л„с соответствующим индексом остается произвольным и формула (6) пополняется одним слагаемым с неопределенным коэффициентом.
Найдем результирующую сил давлений жидкости на стенки сосуда. Интеграл Бернулли для медленных движений я;идкости пишется так: — = — — сх — я(у — й), р д(р р до или — = го (сР— сох) — д (У вЂ” Ь). Р Таким образом, потенциал скоростей относительного двия'ения жидкости запишется так: 362 1Л. П. П)10СНАЛ ЗАДАг1А 0 НЕУСтАНОВИВШИХСЯ ДппжВПИЯХ Распределение давлений вдоль вертикальных стенок сосуда будет — = ипр(0, у) — д(у — Й), (г ') Р )х=о ( Р') — = тит [тр(а, У) — асо) — У (У Й) Р )х=а Отсюда результирующие сил давления на левую и правую степку будут соответственно равны о(о) Хт = — р ~ [татр (О, у) — у (у — Й)[ тту, о ота) Хт = Р ~ (Рл[тр(а,у) — асс) — д(у — Й))с[у.
о Преобразуем эти выражения, пользуясь формулой (6); получим = — з Р [(Ч (О) — Й)' — Й')— 1 А( тти о и,. 1 Хт = — — ур [(т) (а) — Й)' — Й') — итрасот) (а) + яп сЬ вЂ” у по ~) по(поЬги — ССЬ ги) ) [у. п=1 Отсюда имеем 1 Хт+ Хт= З КР([Ч(0) — Й)' — [т[(а) — Й[') — тараса [Чо(а) — й!— ип сЬ вЂ” у — )сарсой — — расоо4 Гт тт по З С ) по(п зЬ гп — Ц сЛ ги) тту. О п=т Слагаемые ~ КР([Ч(0) — Й[ — [Ч(а) — Й)о) — торос, [Ч(а) — Й) суть величины второго порядка малости; отбрасывая их и выполняя интегрирование, находим горизонтальную силу, действувтщую на твердые стенки сосуда: Х, + Х, = — итаРс,й — —, Ра соа$ т 81 о %т' зЬ и ка по(п зЬ гп — Сса ги) 2 22. колквхния жидкости в подвижном состдк зсз Составим уравнение движения сосуда.
Обозначим через вт массу сосуда, через й2 — коэффициент пропорциональности в выран'ения упругой силы, действующей на массу сосуда. Представим выражение силы Х = (Х, + Х,) е'", действу2ощей на сосуд со стороны жидкости, в таком виде: а У Х = ЯРйй~з+ — 'я2' о~"~ 2 и ьг,'"",саги) ° Уравнеяие движения сосуда запишется так: вг ~ — т + )2 8 = Х, 2 яли, после подстановки вместо Х его значения, даваемого преды- дущей формулой: пг —, + ~(и — лРДМ вЂ” —, л$7 2 ( 8 = (). 822 и (и — 2 22)2 гп) и=а Это уравнение должно иметь частное решение вида 8 82а2 2 Подставляя это значение 8 в дифферевциальное уравнение движе- ния и выполняя небольшие преобразования, получаем следующее уравнение для вычисления частоты колебаний гп )2 — — М$ — — аг р 2 пх 8Рд 2Т'1' 1 = О.
а ,7 ~ пг(п — асса ги)— и=, (8) В этом уравнении М есть масса всей системы: М =: в2 + рай. пи соз — и 2) =)2 — — ац — а — х)+ — ' З ' з)пог. (9) а ((, 2 ~ п2,)) п2(испуги — С) ) Изучим корни уравнения (8). С этой целью построим на плоско- сти Я, у) две кривые, определяемые уравнениями р, = —,(2,2 — — 8 М$), у, = — ""8 и (~~ и=2 и яаидем абсциссы точек их пересечевия, Определив пз этого уравнения его корень $, можно затем наити двинсепие сосуда и форму открытой поверхности нгидкости. Применяя формулу (1), находим 884 гл. и. плоская задача о нкгстсновившихся движвниях Кривая уа Я) обладает бесконечным числом вертикальных аснмптот, пересекающих ось абсцисс в точках $а = Ж г, $а = 3 ~Ь Зг, за = 5 ~Ь 5г,...
Для значения $, равного $„— О, функция у, имеет большое положительное значение; при З, равном $, + О, функция у, имеет большое по абсолютной величине отрицательное значение. Отсюда вытекает, что меакду З и $„.,а находится по крайней мере один нуль функции у,. Но легко видеть, что в каждом интервале (~„, $„„) будет находиться лишь один нуль функции у,. В самом деле, производная Лла зрс ~1' саь гп сК яа,~~ п' (и — С сШ гп)а а=1 положительна. Отметим, далее, что при $ =. 0 и при всех отрицательных $ функция уа положительна и стремится к нулю при с = — ос. Для $ отрицательных и болыпих по абсолютной величине имеем 8рп Т'а аасп ус= — — а т а=1 (10) Найденные свойства функции у, Я) позволяют начертить достаточно точно кривую у, = у, Я).
Кривая у, = у, Я) имеет ось ординат Рнс. 44. в качестве своей двойной асимптоты и приближается асимптоти- чески к отрицательной части оси абсцисс сверху, а к положитель- ной части — снизу; при $ =- аУ/щи кривая пересекает ось абс- цисс. $16. колевАния жидкости В подвижном сОсуде 385 Рассматривая рис. 44, устанавливаем, что уравнение (8) имеет бесконечное число положительных корней, принадлежащих промежуткам (0> 11)> Йь 1з)~ ($з $з)~.
Кансдый такой корень определяет частоту собственных колебаний рассматриваемого сосуда. Покажем, что уравнение (8) не имеет отрицательных корней; иэ этого будет следовать,что колебания твердого тела и жидкости не смогут с течением времени неограниченно увеличиваться по своей амплитуде. При $ = 0 имеем уз(0) = сс ) уз(0) = — а у 8рз \1' 1 П1 Покажем, что такое же неравенство будет иметь место и для всякого отрицательного $ =. — х. Имеем Уд(8) — Уз($) = — ~Х + — Мх1 — — а У ! з пз ~ 8рр зч' а / пз,т ) пз(п+хсзЬ сп)' П1 или х'(у (В) - уз(8)1 = 1'+ — "~ (т+ рай) х— 8рз ~1' 1 — ' — ах и пз ~Л пз(п+хсзьип)' й1 Далее имеем х' [уз (8) — у, ($)] = Хз + — "~ т + ярдйх ~1 — — зз Покажем, что величина 5 =-1- —,Е' язп „~ 1 пз (п+ х сзь зп) положительна.
Действительно, 8>1 8х Ч пзс ~1 хп'сВЬгп ' .=1 перепишем это неравенство так: 8 ЧЗ' 1 1Ьзп 8)1 —— пс 7з пз гп зз з 388 Гл. и. плОскАя 3АдАчА О нкустАНОВившихся движкниях Но (Ь ги ( гп, следовательно, .С)1 8 ~' 1 = 1 8 —, = 1 — — = 1 — 082247)0 п=« Таким образом, неравенство р« (ь) ув ($) ) 0 установлено для отрицательных с. Найдем выражение удаленных корней уравнения (8). Рассмотрим значение $, равное $ = г (Ь гг + Г, где г — какое-нибудь нечетное число, ь — новая искомая величина. Для малых значений Ь можно принять, что )„2 г ДЦ22 ()„2 г Мг «Ь и.) г Мг О «О Е ( ч ив(п — 8сглгп) гв(г — 8с«Ьгг) «Г ~ ив«,и — в,ссЬгп) и=1 п=1 «Ь ~Ч" 2 2Ьг 422 +,~ 2 ив п2Ьгп — 22Ьгп 2=1 В суммах, отмеченных двумя штрихами, исключается значение и, равное г. Далее имеем в 8рг ~Ч ' 1 зрд 2Ь2 гг «22 8 Хв 2 ив(и — ьс«Ьгп) ив 22 + ' '' 2=1 Таким образом, левая часть уравнения (8) примет следующий вид: )2 — — ЛХг(Ьгг — — ' М~+ — а +...
2 их 8рг 2Ь« гг а а ив 21 При больших значениях числа г все зто выражекие будет обращать ся в нуль, если величину ~ взять равной 8рав йгвг 2 ' Таким образом, удаленные корни уравнения частот имеют значе- ния Вводя в зту формулу вместо $ и г их значения, получаем от= — г(Ь вЂ” г+ — „+... яг ил 8ргав а а и«М«2 1)п колквлнпк нсидкостп и нп1~ окон подви1кпом сосгдк 887 Эта формула показывает, что высокие частоты колебаний сосуда с жидкостью весьма близки по своей величине к частотам колебаний жидкое~и в неподвижном сосуде. Если упругая восстанавливающая сила отсутствует, й = О, то колебания сосуда около положения его равновесия будут возникать только от волновых движений жидкости. Период таких колебаний будет определяться из уравнения 0 Е 1 ле (л — С ссЬ гл) яеЛХ 1 (и) 8рае Это уравнение встречается при решении задачи о колебаниях сосу- да, наполненного жидкостью и подверя'енного действию внешней периодической силы.
Если в направлении оси Ох действует на со- суд сила )'сеем то, согласно предыдущим рассмотрениям, уравнение движения сосуда запишется так: е л=а Отсюда вынужденные колебания сосуда будут определяться фор- мулой )ееее *+ ла ~,Ь а '(л — сей е ) 8 17. Колебания жидкости в широком подвижном сосуде Заключительные формулы предыдущего параграфа приобретают весьма простой вид для сосуда, ширина которого несравненно больше его глубины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
