Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Интеграл по параболе Р, моясет быть вычислен при Ряс. 39. больших ею по методу перевала. Для проведения вычислений заметим, что вдоль линии Р, переменное х может быть представлено, на основании формул (14), так: евв 4 1+юное Отсюда следует, что около перевальной точки будем иметь х = — ~1 — (1 — 1) О + ( — — 1) О' +...1, еюх= 4 ( — (1 — 1)+(1 — 21)0-+...~е(О, 1 1 г 1 ~ х = — 1 — — (1 — в) О -+ — (1 — в) О' +...~ .
2 4 Следовательно, К, (х) = х — )Гх = — — — — вО + Повторяя в значительной степени предыдущие вычисления, на- ходим следуюЩий результат: 33О гл. и. плоскАя 3АдАчА О неустАнонпнтннхся движвппях Таким образом, принимая в расчет лишь самые значительные члены асимптотического выражения, получаем е 1 — 4хо ео Теперь формулы (9), (11), (20), (22) вместе с условиями (18) и (21) позволяют написать выражение интеграла (6) для больших значений о). Пользуясь формулой (5), мы можем вместе с тем составить и выражение функции Ч„даваемой формулой (4). Получим при соблюдении неравенства (18) я( тг 1 я( х .ей( — я(Е> Нх СОВ Ог+ Еле(леев ле)1+ Е-л(хе-т ие)1 + 2 2 1 1 / 11 — (ш- )1 — ( — л>1 — — 1/ — (е о +ее )+сово(~ 1 — 4ха о/ ео о -ллт, 1 + Г;~ или, выполняя ряд преобразований, 2 / 11 (в(о 1 Г е,е" ~оч т(, = — — 1е/ — сов(т — — — я)+ сов о( ~ .
(24) 1 — 4ха 1 от ~4х 4 ) 1+4 о Рассмотрим, наконец, интеграл (3). Преобразуем его к следующему виду: цо = сов о1 ~ — (1)с + — те дх + Г сов)ех '! Г соо о) (х+ т/х) 3 А+от г 3 о а х+ 0 + 1 1 соз а) (х — )/х) 1 (25) 2 где~ о х+ — о т)1 — яте-ых сов о( + е-х(хое' ле)1 + сее(хе- ле)(в 2 М - / х — — ( -л)1 — ( — >1 е ~е-"хтт(~ 1 — 4хо )/ 1о — — 1/ — [е ' +е' )+сово( ~ 1 1+4 . о ПРинимаЯ во внимание значение величин У, хо и о), можем этой формуле придать следующий вид: (о%х > 2 / я (ото 1 т), = — я в1п( — — о()— — сов (т — — — я) + (, е ) 1 — 4хо е/ ео 'т4х 4 е в, -""сав + сов от ~ „, (23) о Составим затем выражение функции ц„при соблюдении условия (21) получим 1 10.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 331 Первый член правой части может быть приведен с помощью контурного интегрирования к такому виду: соз О1 ~ , е$, о а 1 1 соо в(М вЂ” )/х) 2 вхо о х+ — о 2 р'л1в /део 1 е1х = соз~ — — — я). 4тхо ~ 4х 4 1+— хи Следовательно, для болыпих в имеем 2 ря/в !део 1 ее тха Чо = 4тхо ~ 4х 4 соз ~ — — — я~+ сов п1 ~ е[$. (26) 1 +~ 1+— ,,о о После всех этих вычислений возможно составить уравнение по- верхности жидкости для больших значений параметра в. Поль- зуясь формулами (23), (24) и (26), получаем 2аа ц =, [СОЗ О1 ( (Е-азха Е-тха) о 2 .
° / я /Хее 1 1 — 4хо 1/ в ~4х 4 — 4 ., )/ — „Соз(~ — 4 и)~ — зш( — — О1). (27) 1+— Зео и выражен через интегральные синус и косинус. Обратимся ко второму и третьему интегралам формулы (25); найдем для них асимптотические формулы при больших значениях в. Ввиду того, что на пути интегрирования нет особых точек подынтегральной функции, асимптотические формулы могут быть получены с помощью метода установившихся фаз. Производная функции К (х) = х + )/х не обращается в нуль в интервале интегрирования второго интеграла; следовательно, порядок этого интеграла будет — 1 по отношению к в, как определяемый концом х =- О пути интегрирования.
Члены такого порядка мы не учитываем при своих подсчетах, поэтому второй интеграл формулы (25) можно заменить нулем. Производная же функции К, (х) = х — [/х обращается в нуль внутри интервала интегрирования, а именно при х =Чв Применяя формулы метода установившихся фаз, находим для больших в следующую асимптотическую формулу [4'), [25'): 332 гл. 11. ПлоскАя 3АдАчА О неустАнОВиВшихся дВижениях Последнее слагаемое этой формулы добавляется лишь прп соблюдении неравенства (18). Выясним смысл этого неравенства.
Подставляя вместо яа его аначение и извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (18), получаем ах 1 †(— 31 2' х(~1. 2а Обозначим через с скорость прогрессивных волн частоты О; имеем с= —. а а Отсюда предыдущее неравенство запишется так: (28) х( — с1. 2 Но с(2 есть групповая скорость прогрессивных волн частоты а. Следовательно, неравенство (18) показывает, что дополнительный член в формуле (27) имеет место в той области поверхности жидкости, которая пройдена уже группой волн частоты а.
Первоначальные формулы (2) и (3) показывают, что для всякого аначения времени Ф ординаты поверхности жидкости стре- мятся к нулю при неограниченном х увеличении х. Более же точно можно сказать, что для всякого конечного интервала изменения времени0(1( Тможно указать такое значение Х (Т), что для Я всех значений х ) Х ординаты т) стремятся к нулю. Выяснив все ато, мы можем сс описать теперь с достаточной Р У А С полнотой распространение волн, возникающих у колеблющейся Рис. 40. плоскости х = 0 и распростра- няющихся вдоль оси Ох в бесконечность.
Для этого возьмем систему координат 01х (рис. 40) и, задавшись большим числом П, построим параболу Р (29) и прямую г: (Зо) х = — с1. 2 5 аа. ГАРмонические кОлеБАния ВеРтикАльнОЙ стенки 333 Эти две линии пересекаются в точке Л1 с коордипатамн аы С%2 та= —, ха= — ° 2х ' Аз 1/ — соз ( — — — я) в квадратных скобках формулы (27). Дадим теперь Г какое-нибудь азачепие, превосходящее Для такого значения г прямая АВС, параллельная оси ординат, пересечет прямую 1,, и для значений переменного х, отвечающих точкам, расположенным между А и В, основное значевне в формуле (27) будет играть последнее слагаемое.
Это слагаемое изображает прогроссивную волну длины ). == 2яфпа, сформировавшуюся на участке АВ и уходящую в бесконечность. Область оси абсцисс, охватываемая этой правильной волной, увеличивается с течением времени, и ее передний фронт распространяется в бесконечность с групповой скоростью волн длины А. Впереди этого фронта, который на рис.
40 можно условно принять за точку В, будет область ВС оси Ох, где поверхность жидкости будет изображаться слагаемыми, находящимися в квадратных скобках в формуле (27). Для значений х, превосходящих ординату точки С, поверхность жидкости мало отличается от горизонтальной прямой. Полученные результаты исследования можно кратко описать так. 'от колеблющейся оси ординат распространяется формирующаяся прогрессивная волна, фронт которой двшкется в почти спокойную жидкость с гру|шовой скоростью прогрессивной волны длины А =.
2яд/Оа. Все полученные в предыдущем изложении Реаультаты относились к тому случаю, когда скорости, нормальные к оси Оу, менялись пропорционально з1п Ой Если же эти скоРости будут пропорциональны соз п~, то все проведенное исследование можно, с небольшим изменением в деталях вычислений, повторить и получить соответствующие формулы, определяющие вид свободной поверхности жидкости в любой момент времени. Имеем 2аа Ч= — я(Ф+,„) (Чт — Ча) (з1) Полученная асимптотическая формула (27) имеет место для тех значений переменных а и х, которые изображаются точками, лежащими между осью Ог и параболой Р.
Дадим г какое-нибудь значение, меньшее чем аа. Для такого значения 1 поверхность жидкости будет иметь, как это видно из формулы (27) н рис. 40, довольно сложный вид, изображаясь кривой с бесконечным числом подъемов и спусков, уменьшающихся по своим величинам до нуля по мере приближения к началу координат. Это обусловлено присутствием слагаемых с мяожителями 334 ГЛ. 11. ПЛОСКАЯ ЗАДАНА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ где .т) = соя х я!и ео — я!и 1геат о Ч2 21и ао — 21и Г' Е ! соя х о Для больших значений параметра ат получаем отсюда асимптотическую формулу для т): Ч= н(со+ ря) ~ 4 1+42 я)П О1 (Е- хя Е-тхя) о 2 . ° / л . /312 1 1 — 4х У оо ( 4х 4 322 (32) (33) / иох ~я!Во! ~(е "х — е ' 1) п(со+от) ( ) 1+У вЂ” я соя ( — — се)~ .
Г (35) Задачу об образовании волн под влиянием периодических колебаний вертикальной прямой, оси Оу, можно равсмотреть без привлечения теории неустановившихся движений. При таком решении задачи будут известного рода затруднения, связанные с удовлетворением условий излучения волн из бесконечности в направлении к колеблющейся прямой. С такими затруднениями встречаемся всегда, когда ставим задачу о волнах, возникающих в результате внешних периодических воздействий на жидкость. Указанные затруднения состоят в том, что получаемое тем или иным способом решение задачи неоднозначно; к полученному решению Последнее слагаемое этой формулы добавляется лишь для значений х, меньших чем е1)2.
Это слагаемое дает волну, распространяющуюся в бесконечность и постепенно, со скоростью е!2, покрывающую всю поверхность жидкости. Формула (34) имеет место для больших значений параметра от. Рассмотрим произвольно большой интервал изменения х, начинающийся в точке х = О, и устремим 1 к бесконечности. Благодаря этому ю будет стремиться к бесконечности, и после перехода к пределу формула (34) представит вид поверхности жидкости, находящейся под постоянным воздействием периодических колебаний оси Оу. Соответствующее этим колебаниям уравнение поверхности жидкости запишется так: ,, 1а.
глгмонпчвскпв колавлппя внгтпклльноп сткпки злв можяо добавить соответствующие собственные колебания жидкости. С помощью надлежащего выбора этих колебаний удовлетворяются условия излучения. Такие обстоятельства, осложняющие решение задачи, могут быть устранены двумя путями. Во-первых, можно к массовым силам (силе тяжести) добавить фиктивные силы Рэлея, рассеивающие энергию жидкости и тем самым устраняющие в решении задачи паразитические собственные колебания. Такое введение сил Рэлея и последующее их устранение в решении несколько усложняет выполнение необходимых вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
