Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Это положение Коши было использовано лордом Кельвнном для построения ряда примеров распадения начальной формы поверхности жидкости !135!. Уравнение (1) имеет, как известно, частное решение следующего вида: (2) Н= емэ — ю, где а — произвольное постоянное число; примем это число равным — ~/ — 1х. Таким образом, Н стала функцией комплексного переменного У + Рх. Поэтому ее мнимая и действительная части Н, и Н, 2рв гл п, плоская зьдлчь а няустьновившихся двнясвниях удовлетворяют уравнению Лапласа и, кроме того, уравнениям о'Н дН, доН дН вЂ” '+у — '=О, — *+у — =О. дСо ду ' дФ ду Как*.дая из этих функций представит при постоянном у о„динаты некоторой движущейся неустановившейся волны.
Примем для исследования этих волн следующие обозначения: х=рьш20, у= — рсоь20. С помощью этих обозначений функции Нг и Но могут быть за- писаны так: еес Н, = Ке11 = 11 — сов~Π— 4, )е 'с* р ~ 4ро ) еес - l 2 . Г уСох ~ Н, = 1шН = 1г,' — вш а — — )е 'с* У ~ 4 ) (3) (4) Ограничимся рассмотрением функции Н,. Дадим у какое-нибудь постоянное отрицательное значение — с, тогда будем иметь для положительных абсцисс с 1 х = ссд 20, р =, 0~(0( — л, соз20 ' 4 и аргумент у тригонометрических функций в уравнениях (3) и (4) запишется так: васо Π— — зш 40.
8с Отсюда нетрудно получить, что в момент времени г =- 0 уравнение поверхности жидкости записывается так: у' у' со+ хо+ с у со+ хо О+ лп = — з)п40 —— дсо 8с 2 (0) как абсциссы точек пересечения синусоиды — з1с40 с семейусо 8с ством отрезков прямых линий О + ап+ я/2, рассматриваемых для и =- О, 1, 2,... при изменении О от 0 до л/4. В начальный момент времени скорости частиц жидкости равны нулю, так как потенциал скоростей будет ~р = д~ Н,М.
о Рассмотрим волну (3) и определим ее узлы. Они найдутся из следующего уравнения: 299 $ 5. ПРИМЕРЫ Возьмем сначала и = 0 и будем давать параметру уР/(8с) значения, увеличивающиеся от нуля. При некотором значении ф2 времени произойдет касание синусоиды у = — эш 40 с отрезком зс прямой линии у = 0+ я/2. Иэ атой точки касания образуются затем два узла, из которых один будет уходить в бесконечность, а другой — стремиться к началу координат. При дальнейшем /',Ю! Рис. 26. Рис. 27.
увеличении времени произойдет для некоторого значения 0 касание синусоиды и отрезка прямой линии у = 0 + Зп/2. Отсюда возникнут еще два узла, один из этих узлов будет уходить в бесконечность, а другой — к началу координат. Таким образом, при увеличении времени появляются на поверхности волны, в определенных ее местах, два новых узла с противоположными направлениями движения. Одно семейство узлов уходит в бесконечность, а другое имеет предельную точку в начале координат.
Между каждыми двумя образовавшимися узлами ординаты поверхности жидкости весьма быстро стремятся к нулю при увеличении времени. Кривая, изображающая начальную функцию (5), дана на рис. 26. Иаменение вида атой кривой, т. е. начальной формы поверхности жидкости, иллюстрируется рис, 27, Этот рисунод 300 гл. и. плОскАя 3АдАчА О неустАКОВившихся движкниях изображает форму поверхности жидкости для семи моментов времени: с,= к21/ — '= — '; 4; — ',; 2; — ',; б. Рассмотренный нами пример имеет то неудобство, что полная площадь начального возвышения поверхности жидкости равна бесконечности.
От этого неудобства можно избавиться, рассматривая вместо функции Н, производную по х от функции Н,. Итак, рассмотрим распадение начального возвышения, определяемого формулой Н2 )I — с+ )/сс -~- хс х (2с — У'сс -)- хс) (7) ~с.~ <.с~ ">''~' — +Р +" Дифференцируя функцию (4) по переменному х, находим уравнение свободной поверхности для каясдого момента времени: аос ~/ *ь~ (4~ ) 2 (4рс )) сс2 р а На рис. 28 показана кривая (7); общая площадь, ограниченная этой кривой и осью абсцисс, равна нулю; части кривой (7), возвышающиеся вад горизонтальной прямой у = — с, заключены — 1а а га я м Рис. 28. внутри узкого отрезка ширины 2)/3 с; при увеличении ) х ) ординаты рассматриваемой кривой убывают, как ) х )-ч*.
Эти обстоятельства делают рассматриваемое начальное возвышение весьма удобным для изучения распространения волн, возникающих от отдельных возвышений. 5 ь. пгимкгы зо1 На том же рис. 28 указана форма поверхности жидкости для различных моментов времени. 1(ифрами помечены точки пересечения поверхности жидкости с ее невозмущенным положением. Абсциссы этих точен найдутся из уравнения дл . 1 дР г зл соз ~30 — — з1п 401 — — соз 20 соз ~50 — — Мп 401 = О. 8с ) 2с 8с О 2Ь Г НЙ д = — ~~ соз/схсозД/у/с2)з1п йа — „ о Придадим атому уравнению следующий вид: 2л — д = 1 ш (Ях + Яз + оз + Я4) ~ (8) Анализ етого уравнения показывает, что в момент времени 2 = 0 имеется с каждой стороны оси Оу по одному узлу.
Между моментами Г = 0 и 2 =- 1/Д/л 2фс/у с каждой стороны от начала координат возникает еще по одному узлу (2), которые так же, как и начальные узлы, удаляются от начала координат. Между моментами времени 2 =- у'л.2 у'с/у и 2 = '/, ул 2)/с/у появляются еще два узла (3, 3) с каждой стороны оси Оу.
Один из этих узлов движется к оси Оу, другой — от нее. В момент времени г = 4~/л.2у'с/у имеем по шестнадцати узлов с каждой стороны оси ординат. На положительной части линии у = — с девять из этих узлов (1, 2, 3,..., 9) лежат правее точки х = с, семь же остальных узлов находятся между началом координат и точкой х = с.
При увеличении времени первые из упомянутых узлов удаляются от начала координат, остальные же семь приближаются к нему. Такое же распределение и движение будетнаблюдаться и у шестнадпати узлов, расположенных левее начала координат. При г = 8)/л 2)/ с/у имеется уже по 64 узла с каждой стороны от оси ординат. Тридцать три узла из каждых шестидесяти четырех имеют абсциссу, ббльшую величины с по абсолютному значению; эти узлы удаляются в бесконечность с увеличением времени. Остальные же узлы группируются в интервале ( — с, с) и при увеличении времени неограниченно приближаются к оси Оу. Рис.
29 — 31, взятые из статьи Кельвина [135), показывают распространение группы волн, образованной сложением девяти изученных выше волн и состоящей в начальный момент времени из пяти гребней и четырех долин. В качестве следующего примера рассмотрим образование волн от начального возвышения постоянной величины Ь, возникшего на отрезке ( — а, сс) оси абсцисс. Применение общей формулы (11) $ 2 приводит к уравнению поверхности жидкости для любого момента времени й 302 гл. и.
плоскАя 3АдАчА О неустАнОВиВшихся дВижениях где 8 е([мх+х) — х вйй() Ий о Рис. 29. Рис. 30. Рис. 31. переменное интегрирования о( по следующей формуле в(2 (х + а)о И и положим для краткости записи о)1 =— в(о х+а Получим х~ е ~ ~а~(х — О х) и о Найдем асимптотическое выражение етого интеграла для больших я е((й(х+х)+ У вйн Ий о й о Рассмотрим сначала интеграл енм — ) — о вй() Ий й о едй( —.)+ )'ейю) Ий й о Введем вместо (е новое 1 З.
пгимвРЫ значений ю, (4), (251. Для этого, обозначая х — у' х = Р (х), найдем нули производной функции Р (х). Имеем ая 1 ааР 1 — =1 — —, 2)/й "" 4хфй Производная обращается в нуль для х =- 1/4. При этом значе- нии х вторая производная положительна и равна 2. Отсюда полу- чаем следующую формулу для больших значений ео,: (9) а~ Получаем я — — ~ш — и) Яз=4 — е Ю~ (10) Формулы (9) и (10), составленные дляположительных значений ео, и о„т. е.
для х) а, дают величины интегралов Я и Я, с точностью -ч до «о,ьи ее.,*. Обратимся к интегралу Я . Преобразовывая этот интеграл к переменному х, мы получаем в показателе степени функцию Р (х) = х + )~ех. В промежутке интегрирования (О,,оо) эта функция не имеет экстремумов, следовательно, для больших значений е, интеграл Я будет порядка ее,', т. е. будет несравненно меньше интегралов Яг и Яз.
Точно так же для больших значений еез интеграл Я, пренебрежимо мал по сравнению с интегралами Ят и 8,. Таким образом, для больших значений параметров «о, и в, имеем вместо полной формулы (8) следующую асимптотическую формулу: (11) Если мы будем рассматривать значения л, достаточно большие по отношению к а, то множитель Совершенно так же найдем асимптотическую формулу для интеграла Я„пригодную для больших значений параметра ео,: х12 еоз х — а ' 304 гл. н. ИлОскАя зАдАчА О неустАновившихся дВижениях будет близок ь единице, и формула (11) может быть переписана тогда так: т) = ~~зш — (я — атт) + зтп — (Я вЂ” юз)1, 26 )1 х)- а Г, 1 1 1 у'ЯЕ 1.
4 4 или В данном месте оси абсцисс, достаточно удаленном от области начального подъема поверхности жидкости, колебания уровня в зависимости от времени можно графически представить синусо- идой Гт Ф х т~т = З1п ~ — —— (4 4 хт — ат (12) вписанной в части плоскости, ограниченные двумя косннусоидами: т1, = + соя~в 4Ь'|Гх+а Г гР а (1З) ад Расстояния тт„между двумя последовательными узлами косинусоиды сжимаются с увеличением номера и узла и равны для удаленных, по времени, узлов следующей величине: )т ах 3Гп Последовательные яте узлы синусоиды т)1 разделены расстоянием Так как х должно быть взято значительно большим, чем я, то множитель 1т а/х будет близок к нулю; следовательно, Л, значительно болыпе, чем тт„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
