Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В состоянии равновесия Ь =- Ь, имеет заданное значение, определяемое весом поплавка и формой его поверхности. Что же касается г (О, то зто— искомое возвышение тела в момент времени г над осью Ох. Отметим, что г1гЯг = с (О. Рассмотрим на оси Оу от точки у = — Ь (г) до точки у = О простой слой источников плотности д(у) = — ас о'(у). Симметрично этому слою расположим на положительной части той же оси простой слой источников плотности д (у) = ас оо' ( — у). Потенциал скоростей двиа'ения жидкости, Вызванного этими про- стымк слоями, запишется так: од) о Представим искомый потенциал скоростей ~р (х, у; г) в виде следующей суммы: оц ч(*,у;г) = —,~ '( — р)) ~, ~",~Ф+ — р ( у'г). () о При написании атой формулы мы заменили верхний предел ЕВ- теграла (4) его значением, отвечающим состоянию равновесия поплавка.
Эта замева допустима при взятой степени точности подсчетов, так как число а малое, 314 гл. и. плоская задача оо (6) о Будем искать функцию ~э, (х, у; С) в виде следующего интеграла, содержащего неиавестную функцию А (й, с): оо О <р,(х, у; с) = ~ оо'( — р)ор~ А(й, с)еио-юсоайхдй. (7) о а Чтобы найти функцию А (й, с), воспользуемся граничным условием (6). Принимая во внимание формулу С хо+ ро , = ~ е-Э" созйхс(й, о находим, что условие (6) удовлетворится, если функция т1 (й, о) будет интегралом уравнения аол — +дйА+ 2ус = О. Общий интеграл этого уравнения пишется так: А = С,соз у'дйс+Соа1п)/уйс — ~ с(с) з(п)/уй(с — т)с(т.
,д;й ~ Легко видеть, что два последних условия (1) будут удовлетворяться, если Ст и С, приравнять нулю. Таким образом, имеем для А (й, о) следующее окончательное выражение: А = — — ~с(т) з1п у дй(С вЂ” т)дт. 2д Г ~/ еа (8) Совокупность формул (5), (7) и (8) определяет искомый потенциал скоростей. Интегральное слагаемое формулы (5) удовлетворяет условию (3), вытекающему из свойства нормальных производных потенциала простого слоя в точках самого слоя, и, кроме того, обращается в нуль при у = О. Функция ср,(х, у; г) — новая искомая функция. Эта функция должна быть регулярна во всей нижней полуплоскости и должна быть определена так, чтобы функция ~р (х, у; 1) удовлетворяла условиям (1).
Первое из этих условий приводится к следующему виду: о 3. НЕУСтАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕВАНИЯ ПОПЛАВКА В(б Составим теперь уравнение движения поплавка. Для этого найдем вертикальную составляющую У результирующей сил давления жидкости ка обе поверхности поплавка. Имея в виду малость скоростей частиц жидкости, мы можем взять интеграл Бернулли в следующем упрощенном виде: — = — — уу.
о д( Отсюда имеем для составляющей У следующее выражение: о У= — 2 ~ рсоа~((у, -«(О но соь р = — аео' (у), следовательно, о У = 2а ~ р(о'(у)(гу. — «а) Пользуясь интегралом Бернулли, придаем втой формуле такой вид: о о У = 2ар ~ — (о'(у) (оу — 2ару ~ у(о' (у) (оу. — «(1) -«(() Преобразуем последний интеграл этой формулы; выполняя интегрирование по частям, получаем в предположении, что е)( — й) =О, у(о'(у) Ну = — ~ о)(у)ду = — Я+(о(0)з(г); — «(О здесь аЯ вЂ” половина площади тела, находящейся под уровнем жидкости в состоянии гидростатического равновесия.
Теперь формула для У может быть переписана так: У = 9 — 2аруо) (О) з (г) + 2ар ~ + (В' (у) Оу; (9) адесь ~ — вес тела; нижний предел интегрирования можно было бы взять равным — Ьо вместо — Ь ()). Пользуясь формулами (5), (7) н (8), можно вычислить интегральное слагаемое формулы (9). 3!б г11. 11. плОскАя 3АдАчА О нвустлновнвшнхся дзпжвнпях Выполняя такое вычисление, получаем для Р следующее выражение: о о 1" = Π— 2ардо1(0)г(1) — — „— „, ~ оэ'(у) ду ~ оо'(р)!п~" ~д()в — ло — л, О 4зг ' ~ с (т),М ~ д (й) „, у'бй (1,) Яй, о о где Л (й) = ~ ю'(у) е"о ау. б 9.
Решение уравнения колебаний поплавка Полученное в конце З 8 выражение для силы 1' позволяет написать уравнение дви1кения поплавка ь вертикальном направлении. Е?азывая через т массу поплавка, записываем уравнение его двия;ения в следующем виде: М вЂ” ', + 2аруо1 (О) г = — ~ е (т) дт ~ Л' (й) соз 'г' уй (г — т) дт, о о где о о М = т+ — ~ ~ оо'(у) со'(р)1п~ — ) Йуф.
(1) — ло — ло Преобраауем интегрированием по частям вторую часть уравнения) обозначая через г, начальное поднятие поплавка над осью Оз, получим М вЂ” „,, + лог = ~ К (1 — т) г (т) дт + г ~ (1). (2) о Поясним принятые обозначения: по = 2арув(0) + ег ~ Л'(й) о)й, о К (1 — т) = — ~ )1 бй Л' (й) зш ~~'бй (г — т) ~й, о 1(1) = Рг ~ й'(й) тя'~/фсоай. о О. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНПЯ КОЛЕБАНИЙ ПОПЛАВКА;](7 Решение интегро-дифференциального уравнения (2) можно получить с помощью преобразования Лапласа.
Умножим обе части уравнения (2) на е '* и, считая действительную часть комплексного числа г положительной, проинтегрируем полученное произведение по переменному 1 от О до со. Найдем ~ (М вЂ”, + и'г] еем й — ~ е-" й ~ К (( — т) г (т) дт = о о о = г, ~ е-19 (1) й. (3) о Преобразуем слагаемые левой части этого уравнения, принимая во внимание, что е (О) =- О; получим С О (М вЂ” „,'.,+ иог)е "й = — Мего+ (Мз'+ и') ~ г(() е '*й, о о 1о й ') К (1 — т) г (т) ат = )о ( ) ~ г (т) -'* от, о о а где Й (г) = ~ е-"*К (и) ди. о Теперь уравнение (3) может быть переписано так: (, М +ф() г(т)е-"1(т = Агоо+ао А )га о (4) где ) (г) = ~ е 1о~(() ( 4аР~ г~ )о (В)о1 о о Таким образом, решение уравнения (2) привелось к задаче обращения интеграла (4).
Обозначая буквой а некоторое положительное число, получаем г (() в виде следующего контурного интеграла: а+с 1 оа ( 1 Ато+ф(о) г = ая1 ) е А1оо+ ао А(о) г. Для получения окончательного выражения функции г (1) заметим, что К (() =- — ]' (~), откуда следует связь между функциями 318 1л. и. П11оскАя 3АдАчА о нгустАновпв1лихся двпжвннях Й (г) и 1р (г): й (г) = иг — 2ирдв (О) — гор (г). В силу этой формулы имеем а+ м + ( (.) 2Л1 2 2йагЯ (О) + Маг+ аф (а) (5) примем вместе с тем, что йа = сс.
Для такой функции имеем по формуле (1) Обозначим выра1кение в скобках этой формулы буквой р и положим, кроме того, уз= —, Еф)= $. я (2а — 1) — 2 1п 5 2п( ' (51 — 1)а Укажем вместе с тем выражения функций Л (Ь) и 9 (г): Е(й) = — „, 1Р(г) = — р у'й(Е($), где $ = г/)/А1. Принимая все эти обозначения, мы можем для рассматриваемой частной задачи записать формулу (5) так: а+ая г(() = —" ( еп Уг1 ~ е$. 2л1 ) т'+ (р5+ е) 5 (6) а — 1 Функция 1п $ неоднозначна на плоскости комплексного переменного ~; по смыслу задачи мы берем ту ветвь этой функции, которая имеет действительные значения при $ действительном и положительном.
Эта ветвь не допускает обращения в нуль знаменателя подынтегральной функции в формуле (6). Благодаря этому интегрирование в формуле (6) может быть проведено вдоль мнимой осн, Обозначим $ = 1у. Для отрицательных у функция 1п $ равна Оставляя в стороне задачу об исследовании интеграла (5) как функции времени для поплавка произвольной формы, рассмотрим один частный пример, на котором достаточно хорошо выясняются особенности рассматриваемого движения тела с образованием им волн. Предположим, что функция в (у) имеет следующий вид: а(у) =е1а, 1)0; $ О. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ПОПЛАВКА зи 1п[у[ — 'lоя1, для положительных у будем иметь 1п$ = 1пу+ — лй 2 Приняв все это в расчет, приводим формулу (6) к следующему виду после несложных преобразований: Ю г(1) = — '~ [яу(Ру+ Ч) соз Дlу[ 1у)— о где Р = у [[А (1 + у')' — (1 + у') — 21п у], Д = (у' — ру')(1 + у')' + у' (1 + у') + 2уо[п у.
Найдем асимптотическую формулу для функции г (1) при больших значениях параметра )~у1 й Применяя интегрирование по частям, находим — '" ~ яу (Ру + О) соз (У у1 1у) о 2а1г, 1 (1) о (УГг)' ' или г(1) = — — ''+ щ,оо (8) Зто и есть искомая формула для отклонения центра тяжести тела, пригодпая при больших значениях времени 1. Заметим, что формула (8) будет справедлива и в случае, когда поверхность поплавка задается уравнением общего вида: х = аоо (у). Надо число а в формуле (8) заменить через аю (О).
Слагаемые, скрытые за точками, стремятся к нулю быстрее, чем (Уу[ 1)-' Интегрирование по частям, примененное ко второму интегралу формулы (7), приводит к заключению, что этот интеграл стремится к нулю быстрее, чем (~Гу1 ~) '. Таким образом, для больших значений параметра ф'у1 1 будем иметь следующую асимптотическую формулу: 320 гл.
и. плОскАя ЗАДАЧА О неустановившихся дВижениях Чтобы сделать ясным процесс колебаний поплавка, приведем результаты подсчетов функции г (с), выполненных по формуле (7) при следующих данных: а = — см, ие = 800 9 >> =— 2 у) = 100 сее ', уз = — = 4 и 2о> Результаты подсчетов даны на рис. 36, по оси абсцисс отложены е 2с> ес,уд >7ю хс с)2 дд -42 -дс -ф' Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
