Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пользуясь формулой (2), получаем х х ( ( ь собес(х — ь) + Йбсз!пас(х — ь) 1 ц— ~В+ Аб рс' х Ь созе!(х — Ь)+ Аб!З1пб!(х — Е) 1 1 ~2+ А2 Ь)' ! ) здесь и далее для простоты написания формул принимаются 1 62. НАпнлляРно-1'РАвитАцнонные волны 279 такие обозначения: 61 1~'1~ 62 1~~2~ числа о1 и о, — действительные и положительные. Формула (11) дает внд поверхности жидкости для всех значений х; наибольший интерес представляет определение формы поверхности жидкости в местах, удаленных от вихря.
Найдем форму поверхности жидкости далеко за вихрем, т. е. при 2 = х = ос. Для этого удобно воспользоваться не формулой (11), а формулой (10); полагая в ней 2 = х = оо, получаем по теории вычетов 2х Ч = Е-Ааа ЗШ О6Х. .~/ 4ае с 1 —— рса ПОЛОЖИМ ЗатЕМ 2 = Х = — оо, НайдЕМ 2х Ч= Е-Лаа ЗШ О1Х ''р~ '-— Г 4ае Эти асимптотические формулы показывают, что за вихрем, далеко за ним, развиваются синусоидальные волны, которые своим происхождением обязаны в основном силе тяжести; перед вихрем, далеко впереди него, развиваются короткие волны капиллярного происхождения. Найдем теперь горизонтальную составляющую Х силы давления потока на некоторый замкнутый контур Г, окружающий вихрь; эта составляющая будет определять волновое сопротивление вихря.
С этой целью воспользуемся формулой Чаплыгина: Х вЂ” 1У = — р1 1 ~ — с+ — ~ 162. 2 (12) г Дифференцируя формулу (10), получаем с1в х1 1 где Н (2) — функция, голоморфная около точки 2 = — Ь1, ее выражение записывается так: хс 1 Н(2) = —— 2х г — М а г 4 (61 ~ С а г ~ да) (1З) Рсз Подставим в формулу (12) выражение производной дюЯ2, получим, применяя теорему Коши о вычетах, Х вЂ” Л' = ерхс' — гхрН ( — Ь1). (14) 220 Рл. ь плоскАя 3АдАчА О БескОнечнО ИАлых ВОлнАх Пользуясь выражением (13) функции Н (г), находим Н( — Ь1) = х — ы — м ыи Г е'ак 4ха ~О е-"' ~ ' дь — Оое-"" ) — е)~~ .
(15) — — г — ле рее Преобразуем к новому виду интегралы, входящие в эту формулу. Выполняя комплексное интегрирование, получаем — И о — м е"Л е еааахлх ь — И зх — 2И еЦ Елаа о еоа1хах х — И + о -ааах е'*" ( —. дх. 1х+ 2ле о Отсюда формула (15) перепишется так: а Н( — Ьг) 4 Л+ ~ог ~ — 2Л'елх Оо ~ 2ЛИ'елх~ . (16) о реа Отметим теперь следующие формулы, получаемые приложением теории интегральных вычетов: Составим на основании зтих подсчетов формулу (16), ограничива- ясь лишь определением мнимой ее части: 1ш Н ( Ь1) " (О,е-олаа + Оое-ела~) ~' -Ф Найдем, наконец, по формуле (14) компоненту Х силы давления потока на вихрь, т. е.
волновое сопротивление: рх' Х = Р (Оге-ела + О,е-'"*). Несколько более сложная формула может быть получена для подъемной силы вихря. еаа'х 1 1ш( —.дх =— ,)х — 2И 2 о -аа,х +2И ~* 2 еоаах 1п1 ~ дх = яе-"", х — 2И е — аа,х ( —.а, = — я;" 2 х+2И Глава 11 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ б 1. Колебание жидкости в прямоугольном бассейне В предыдущей главе были рассмотрены установившиеся и периодические движения тяжелой жидкости с образованием волн на открытой поверхности. В настоящей главе мы изложим результаты, полученные при изучении неустановившихся движений, вызванных различными причинами. Рассмотрим сначала бассейн постоянной глубины Ь, ограниченный с боков вертикальными стенками х = О, х = 1.
Допустим, что ось абсцисс расположена по уровню жидкости в состоянии ее равновесия, ось Оу направлена вверх. Пусть в начальный момент времени, ( = О, к поверхности жидкости приложено некоторое импульсивное давление, а частицам жидкости, принадлежащим поверхности, даны некоторые смещения. Требуется найти вызванное этими причинами движение жидкости во все последующее время. Так как движение жидкости вызывается приложением импульсивных давлений, то будет существовать потенциал скоростей ф = ф (х, у; (). Если через / (х) обозначить функцию, дающую начальное импульсивное давление в точках поверхности жидкости, то первое начальное условие задачи запишется так: рф (х, 0; О) = 1(х), (1) где р — плотность жидкости.
Предположим, что в начальный момент времени уравнение поверхности жидкости имеет вид т) = у(х) На основании формулы (2) 1 3 гл. 1 это условие принимает следую- щий вид: ( дф(х, 0;О) (2) ав Искомый потенциал скоростей ф (х, у; () должен, помимо условий (1) и (2), удовлетворять добавочным граничным условиям. Прежде всего, это будут условия обтекания стенок и дна бассейна: ( — ',") =О, (") =О, ( — 'ф) =О. (З) 282 Рл. и.
плОскАя 3АдАчА О неустАнОВиВшихся дВижениях Затем, должно выполняться специфическое граничное условие волновой задачи: (4) это условие было установлено в 4 3 гл. 1. Таким образом, мы должны найти интеграл уравнения Лапласа дЧр дй,р — + — =0 дх' дуй удовлетворяющий начальным условиям (1), (2) и граничным условиям (3), (4). Определив такой интеграл, находим скорости частиц жидкости в волновом движении и, кроме того, уравнение поверхности жидкости. Это уравнение записывается так в согласии с 4 3 гл.
1: 1 д~р(х, 0; О (5) д$ В 4 3 гл. 1 было дано выражение (11) потенциала скоростей стоячих волн. Определим число й, входящее в выражение этого потенциала, так, чтобы соблюдалось второе из граничных условий (3); первое и третье из этих условий рассматриваемым потенциалом уже удовлетворяются.
Если число й выбрать в согласии с формулой яшй1=0, й = —" (и=0,1, 2,...), то будут удовлетворяться все три условия (3). Если же число О взять равным а„= ~/ +и ~Ь( — и), то будет соблюдаться и условие (4). Таким образом, потенциал скоростей б. СЬ~ — "," (у+А)1 б ЯА СОЯ ЯХ и сОЯ О г х (6) сэ — и будет удовлетворять граничным условиям (3) и (4). Уравнение поверхности жидкости запишется так: ях т~„= а„соя — и яш О„Г.
Уравнения (11) 4 3 гл. 1 были получены из первой формулы (10) того же параграфа, если положить я, = О. Положим затем з, = — и/2. Тогда, повторяя все предыдущие вычисления, приходим к следующему потенциалу скоростей, удовлетворяющему Я Н КОЛЕБАНИЕ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЪНОМ БАССЕЙНЕ 232 всем граничным условиям (3) и (4): ии сЬ вЂ” (у+ А) СОЯ вЂ” И ЯШ О„с; сЬ вЂ” и Ь д Ф с и здесь ܄— произвольная постоянная.
Этому новому потенциалу отвечает уравнение поверхности жидкости пх Ч„= Ь„сов — пеева„1. Пользуясь найденными потенциалами скоростей (6) и (7), составим выражение потенциала скоростей в виде следующего бесконечного ряда: 1Р(х, У; С) = пи сЬ вЂ”,(у+ Ь) = д~ СОВ( — "*П)(Ьив1нои~ — аиСОВОис). (8) и=о с сЬ вЂ” и Этому потенциалу будет отвечать поверхность жидкости с уравне- нием (аив1по„~+ Ь„сове„~) сов ( — и) . (9) и=о Потенциал скоростей (8) удовлетворяет всем граничным условиям нашей задачи.
Определим теперь коэффициенты аи и Ь„так, чтобы удовлетворились и начальные условия задачи (1), (2). составляя эти условия, приходим к следующим уравнениям: ~-~ си 1лх — яр т — 'сов( — и) =1 (х), ,~1 с„~ 1 с=о Ь„сов( — п) = Р (х). и=О 2с„о пх — —" ~ ~ (х) сов — и сх, РУ о ! 2 Г лх — ~Г(х) соя — паях. о Из этих уравнений получаем обычным приемом значения коэффициентов ои и Ь„: 284 гл. 11, плоскАя зАдАчА О неустхновнвл1ихся движениях Подставляя эти аначения коэффициентов и„и Ь в формулы (8) и (9), получаем решение поставленной задачи об определении волнового движения жидкости, вызванного данным импульсивным давлением и данным начальным изменением равновесного положения поверхности жидкости: Яп са 1 (у+ А) <р(х,у;1) = — Оо со⻠— и) Х р1~ ~ яп =о сз Х (сова„г~»(а)сов — паа+ — в1по„1 ~Р(а) сов — пда1, иа ря .
Г па о о па о) = — р а сов ( — и) ~ — сов опг ~ Р (а) сов — п да— =о о — в1па„1 ~» (а) сов — и аа1 . иа о Если глубина бассейна бесконечна, то вместо этих формул имеем более простые, а именно: ~р(х,у; Г) = — ~ е ' сов( — "и) Х вЂ” 12. йо 1 Х ~сова„г~ »(а) сов — п да + — в1по Г ~ Р(а) сов — паа1, па ря . Г иа о о О 2 'Г1 ах Грд Г яа т( = — т а сов — п ~ — сова 1~Р(а) соя — пра†ря1 А'.А " о=о о — в1ОО„Г~»(а) соя — п1(а1, иа о о ие причем о„= — и. Отметим, что функция Р (х) должна удовлетворять условию ~ Р(а) да = О, о чтобы ось Ох была средним уровнем жидкости.
Нетрудно проверить, что в силу этого условия будет при любом значении Г удовлетворяться необходимое равенство 1 ~ т((а, Г) да = О. о $2, ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА ДЛЯ БАССЕЙНА 285 б 2. Задача Коши — Пуассона для бассейна бесконечной глубины Под задачей Коши — Пуассона обычно понимают задачу об определении движения И1идкости, обладающей свободной поверхностью, простирающейся неограниченно во всех горизонтальных направлениях, причем такое движение вызвано приложением импульсивного давления к поверхности с одновременным изменением горизонтального равновесного состояния свободной поверхности.
Итак, предположим, что в рассматриваемой плоской задаче поверхность жидкости неограниченно распространяется в сторону положительных и отрицательных л; допустим, кроме того, что жидкость имеет бесконечную глубину. Допустим, что в начальный момент времени к поверхности жидкости приложено некоторое импульсивное давление р<р (х,О) = 1 (х), (1) а поверхности придана некоторая форма, задаваемая уравнением ц = г" (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
