Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Возьмем в качестве дополнительного условия задачи отсутствие бесконечного возвышения жидкости у левой стороны барьера. Это условие приводит на основании формулы (16) к двум уравнениям: 2ЯЗ ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ так; тт = 2А соя(тх — от+ — я)— 4 — А У 2 ' ((Яз + 84) соя (тх — от) — (Яз — 84) в(п(тх — От)1 аз+ аз (18) т) = А у 2 ~з ((82+84)соя(тх+ п1)+(Яз — 84)втп(тх+а1)). Хз+ уз В этом частном случае Ь, и Ьз равны нулю; следовательно, ординаты поверхности жидкости имеют конечное значение не только у левой стороны барьера, но такнте и у правой его стороны. Рассмотрев этот частный случай, обратимся к рассмотрению общего случая.
Четыре уравнения (11), (17) надо дополнить еще двумя уравнениями, чтобы получить возможность найти все шесть неизвестных (14). Такие два уравнения можно получить, налагая дополнительные требования на течение жидкости. Потребуем, например, чтобы отраженная волна отсутствовала в силу поглощения части набегающей волны правой стороной барьера. При таком допущении уравнение (12) дает два необходимых уравнения: 81Ь1 вш е, + 82Ьз втп ез — Ьз Яш ез = — А)т 2, (19) Я,Ь1 соя е, + 8'зЬз соя ез — Ь, соя е, = А)1 2. I ттт Ь2е" = ( — — Из) тт, а Ьзет" = — А (1 + 1) — — Я4Лт, 1 ят У2 а Ь,еае = 1озй, (20) Ь,е" = — 1Я4гт' пт а где Лт определяется формулой — (Оз — 1О4) + 1(ото4 — О252)~ М = А ф' 2 (1 — 1). а Укажем в заключение уравнение волны, ушедшей за барьер: 1 т) = — 2А сов 1тх + о1 — — я) + 2Ьз сов (тх + от+ ез). (21) 4 Таким образом, для определения шести неизвестных (14) имоем систему шести уравнений (11), (17), (19).
Яайдя из этой системы искомые неизвестные (14), мохтно составить по формулам предыдущего параграфа выражение характеристической функции течения с теми особенностями распространяющихся волн, которые и привели к системе уравнений (10), (11), (17) и (19). Решение этой системы уравнений молтно записать в таком сокращенном виде: 1 зт.
ОтРАжение воля От ВГРтикАльнОГО БАРьгт'А 253 В конце 2 56 были даны формулы для вычисления функций 8„8ю 8э, Яе при больших значениях числа а = аот/д. Прилоятим эти формулы к определению отраженной и прошедшей волны для двух рассмотренных случаев движения жидкости. Рассмотрим сначала волны (18). Применяя формулы (18) и (19) 1 56, получаем для отраженной и прошедшей волны следутощие уравнения: 1 1 тт = 2А сов 1тх — О1 + — л) — Аа )Г2ла е-" зт (тх — ог + — л), 4 ) 4 т) = Аа у' 2тта е-" соз ( тх — о1 + — т ) . Таким образом, при больших значениях а прошедшая волна имеет неаначительную амплитуду по отношению к амплитуде 2А набегающей волны.
Из первого уравнения легко вывести значение коэффициента отражения г: у 1+ лазе — т 1 2 Для больших значений а этот коэффициент близок к единице. Рассмотрим теперь волну (21), уходящую за барьер. Найдем по формулам (20) коэффициент Ь, и фазу е, входящие в уравнение (21). Для больших значений а имеем прежде всего з ( +1)~ 22У2 Отсюда третья из формул (20) дает Ьзет" = — (1 — П А. 2У'2 з Следовательно, уравнение (21) волны, ушедшей за барьер, после выполнения небольших вычислений будет записываться так: 14 / 1 т) = — — А соз ( тх + а1 — — л ) .
з 4 Это значительное увеличение амплитуды прошедшей волны по сравнению с амплитудой набегающей волны может быть объяснено наличием источников с двух сторон погруженного барьера. Рассмотрим теперь набегание волн большой длины на погруженный барьер. Пользуясь формулами (20), (21) и (22) 2 56, находим для волн (18) следующие выражения: т) = 2А сов (тх + О1 — — л) .
1 4 г54 гл. ь плОскАя БАЛАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Пользуясь теми же формулами, находим для длинной волны (21) следующее уравнение: 1 — / 1 г) = — 2Асоз1тг+ Ог — — 4п)+ 2А )в 2 а'соз)тг+ Ог+- — п~, 4 5 58. Прохождение волн над барьером Небольшие изменения приемов решения задач, разработанных в четырех предыдущих параграфах, приводят к решению задачи о волнах, возникающих над вертикальным барьером, идущим из бесконечной глубины н приближающимся на некоторое расстояние к свободной поверхности жидкости. Будем предполагать, что верхний конец погруженного барьера отстоит на расстояние а от среднего уровня жидкости.
Искомая комплексная функция и (г) должна удовлетворять условию 1ш( — + ° )=О / в)гв Авг вдоль всей открытой поверхности жидкости, т. е. для действи- тельных значений г от — оо до оо. В точках обеих сторон барьера должно соблюдаться условие обтекания 1ш(1 — '„) =0; (2) зто условие имеет место для следующих значений комплексного переменного г: г = )у, — оо ( у ( — а. Повторяя рассуягдения Я 53, 54, можно установить, что функция И'(г), определяемая через искомую функцию пв (г) формулой Ив (г) = — „+ гз в)гвг .
в)гв (3) принимает действительные значения длядействительных значений г и для значений г, соответствующих обеим сторонам барьера. Нетрудно видеть, что функция И'(г), даваемая формулой Йг Ив(г) = (гг+ гг) А г) 0 стенеии общности исследуемого ниже ращения см.
замечание в начаЛе $56, касающееся функции )гвг (г), удовлетворяет при произвольном действительном Й поставленным условиям *). 1 28 ПРОХОЖДВ11ИК ВОЛН НАД ВАГЬВ1'ОИ ззб Отсюда получаем дифференциальное уравнение х~2»х . а~» Йх — + 1т — =— х1хх ах (22+ 22)Ю Интегрируя это уравнение, получаем последовательно ИВ . а — + гтю = ах ~/ 22 + ах (4) х ех"ха» = й.-х- '1 ,) г эх+ ах (5) Две произвольные константы интегрирования приравнены нулю, как не имеющие значения. Из уравнения (4) видно, что найденная функция ю (з) удовлетворяет граничному условию (2). Заменяя в формуле (5) переменное интегрирования 1", переменным $ по формуле ~ = Ц и полагая г =- ху, находим и = — ле"» ~ — ц15 2» = ЙЕ'» г' 522' — ах (6) + г»(»е'» 2' у' — 1 Э '2/С2 — а' — а (7) Эти формулы показывают, что и условие (2) удовлетворяется функцией (5).
Вернемся к функции И'(з); эта функция может быть взята тождественно равной нулю, ибо два условия, накладываемые на функцию И'(г), функцией Й(г) — = 0 удовлетворяются. Таким образом, мы получаем для функции и (з) однородное дифференциальное уравнение Р~» . аь» — + хт — = О.
»~22 х12 Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условиям (2) и (2), Первая из этих формул относится к правой стороне барьера, вто- рая — к левой стороне барьера. Из этих двух формул имеем для двух сторон барьера 256 гл. т, НлоскАН зАдАчА О Бесконвчно мАлых ВОлнАх записывается так; (8) ю — — Се-'"е С вЂ” произвольное действительное число. Таким образоот, поставленная задача обтекания вертикального погруженного барьера с образованием волн на поверхности решается следующей функцией: е ет'Стте ю = Се-"' 1- йе-"' Ст у ~о+ ао (9) Действительные постоянные С и /с могут быть взяты произвольно.
Из формул (7) вытекает, что скорости йт;тстотц жидкости на верхнем конце барьера обращаются в бесконечнофть, как это и долж. но быть при обтекании острых кромок твердь)х тел. Найдем уравпение поверхности;кидкости. Для функции и (я), определяемой простейшей формулой (8), получаем стоячие волны ОС т~ = — — соя тх ятп (Ог + я,); (10) х для функции и (я), определяемой формулой (5), имеем уравнение поверхности жидкости в таком виде; х 1 тт = — — ~~' ' ( " е)~+ яшттх~ ' )ятп(О1+е ). (11) о о Найдем с помощью формул (10) и (11) уравнение поверхности жидкости для фуякции (9); выпишем такое уравнение для мест поверхности, находящихся вдалеке от начала координат. Имеем ОС т) = — — соятхя1п(от+ я,)— х 1 оа (Г оооо(Ь вЂ” х] Г еа"е ец — — т тэ т7~+ Яштхтэ гетп(от+ Я,); аут Р1 это уравнение относится к большим положительным х; для боль- ших по абсолютной величине отрицательных х имеем т) =- — — соя тх яш (От + я,) + ОС х 1 о о Нридадим этим уравненяям другой вид, вводя следующие т Оя.
ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН НАД БАРЬЕРОМ 257 обозначения: тт ( ятиоь 2х э 1/раааа о о ( соятЬ 2К 3 Я~~+от о 1 2о 3 Ртт о ( сато ат5 о е(~ = — К, (ар) = М. 2д Получим для больших значений ( х ) — — С вш е, + т' й соя е, ~ Мй яш ео~ с 2д — — С соя ет -~- ЛИ сов е, — Пс яш е,1 2д соя(тх+ ог)+ в1п(тх+ Ф) + СОЯ (тХ вЂ” Ое) + + ~ — — С яш ет — Пс соя е, + ЛИ в1п ео 2и + 1 — С сов е, + Мй соя е, — Х й вш е,1 яш (тх — ое). ~2а Верхние знаки относятся к полоя<ительным х, нижние — к отрицательным х.
В эти уравнения входят четыре произвольные константы: С соя е„С вш е„й соя ея, й я(п ея. (12) Допустим, далее, что из отрицательной бесконечности не идет в сторону положительной бесконечности никакой прогрессивной волны. Эти два условия приводят к следующей системе уравне- ний для определения неизвестных (12): о А — — С шпет+Ыссовео — Мйвше, =- =, 2х 3/2 о А — — Ссове, — тттй сове, — Ися1пе, = =, 2х У'2 ' о — — Сяшео — Пссове, + Мйяшео = О, 2а о — С сов е, — Мй соя е, — Пс яш е, = О. 2х Решение этой системы уравнений можно записать в виде Сотет — е ~ (1 + тт йоттт А (я ~т ~ (~ + т) М 9 л. н.
сретеисиия Для определения этих констант надо принять четыре добавочных условия. Предположим, что из положительной бесконечности идет прогрессивная волна данной амплитудыА, определяемая уравнением А А ц — - соя(тх+ се) + --юп(тх+ с2). 253 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МИЛЫХ ВОЛНАХ откуда уравнение поверхности жидкости для больших положительных х запишется так: А А т) = = сов (ти + Ог) + = зш (мв + О() + г'2 )2 — — соз(тт — О()+ —,, з)п(тх — Ог).
(13) А М(Ь+М) А М(ь™) р'2 ь +М у"2 Уравнение поверхности жидкости для отрицательных х с болыпой абсолютной величиной запишется так: — — соз (тт+ О() + —,, зш (ме + О1). (14) А ь(ь — М) А Л(Л+ М) г'2 й +М' Уравнение (13) показывает, что в области положительных х поверхность жидкости покрыта погрессивной волной, идущей в сторону погруженного барьера, и отраженной от барьера прогрессивной волной; амплитуда этой последней волны есть (15) Волна, ушедшая за барьер в сторону отрицательных х, — прогрессивная волна, амплитуда которой А", вычисляемая по уравнению (14), есть й У'Лз+ М (16) Из этих двух формул вытекает соотношение сохранения энергии волн Аз = А'з + А"'. Для больших значений числа сс = ат = поз/д, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
