Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, мы имеем следующее дифференциальное уравнение для определения функции ю (з): о — +1уш= — ~ дм . 1 Г )(а)да (2) Найдем частное решение этого уравнения в виде следующего ин- теграла: ш (з) = — ~ .4 (к) е-оо' ~Щ, 1 Г о с неизвестной функцией А (к). Подставим это выражение в уравнение (2). Принимая в расчет формулу Π— = ~ ееда о1 6)о, 1ш з ( О, а — г о находим функцию А (к): 1 А()о) = ~ 1(а)ео""Аа. 1 50, эАчАчА о плАВАющей плАстинке 219 Отсюда имеем 1 аса-*) ис(г) = — „~ /(а)с(а~ с()с.
1 седа-с) ис(г) = Ве "с + — ~ ~(а) й~~ сУс, (з) о где  — произвольная комплексная константа. Эту константу мы определим в дальнейшем из дополнительных условий излучения. Вернемся к уравнению (2) и продифференцируем его два раза по г, получим с(гв . ав 1 ( С (а) с(а с(сс с(с сс Э (а — с)5 — с (4) с с(св , с(св 2 Г С (а) с(а — + (т— с(сс с(сг я Э (а — с)с Из этих двух формул имеем Следует отметить, что интегрирование ведется здесь по отрезку действительной оси, так как г — число комплексное.
Присоединим к этому уравнению ему сопряженное уравнение — с Вычитая почленно эти уравнения, находим 2 ( сс (а) с(а с5с ( с'(а) с(а сст ( с (а) с(а (а — Р)с сс ) (а — с]5:с ) (а с)с (б) Отметим, что при интегрировании по сс мы обошли особую точку )с = т сверху маленькой полуокружностью. Это — частное решение уравнения (2).
Общее же решение будет 2го гл. г. плоская злдлчь о вксконвчно малых волнах Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя мнимые части комплексных переменных г и г к нулю. Чтобы осуществить этот переход, соединим точки ( — з, О), (з, О) плоскости переменного сз какой-нибудь кривой С, лежащей в верхней полуплоскости. Так как г будет стремиться к г, то можно считать, что точка й находится внутри замкнутого контура, составленного из действительной оси и кривой С. В силу этого будем иметь яз г 1(а) з(а 2~,~, + ( 1(а) Ыа (а — з)з,) (а — з)з -3 с — = ~"(-)+~ ((а)Ыа .
„, Г ((а)да (а — з)' з (а — з)' -с с Отсюда вся правая часть уравнения (5) принимает следующий внд: — — 1/(а) На — 2(~" (г)— к з ((а — з)' (а 7)з ~ с — — + 17(а) зза+ 2з7 (й). с При стремлении точек г и й к точке х отрезка ( — з, Л все это выражение переходит в такое: 2уП ) -2з~'(*) -+~ """, (6) с Рассмотрим затем левую часть уравнения (5). Имеем з(х дф . дф — — — — = — и+Ь, Нз дх ду з(зх дз,р дзф дзи . дзз — = — — з — =.— — +з —.
дгз дхз дхз ду дхз дхз Отсюда (", "',)+ ("" — ") =2зф+ Ъ). (7) При стремлении точек г и й к оси абсцисс правая часть этой формулы стремится к вполне известному пределу, так как на оси абсцисс известна скорость и в зависимости от г. Таким путем соотношение (5) приводит, на основе формул (6) и (7), к следующему уравнению колебаний пластинки: .()з- з~)-з+1;.":, --(аз-") ~з) Для придания этому уравнению окончательного вида проинтег- 5 55.
зАдлчА о плАВАюшеи плАстинке рируем обе его части от 0 до произвольного х, получим ~'(х) + И~(х) + — ~ = У(х), (9) где р(х) имеет следующее выражение: У (х) = 1" (О) + 1т1'(О) (- — ~ 1(а) — — ~( —, + топ дх. (10) С о Для иаучаемого движения пластинки в вертикальном направлении функция э (х) сводится к постоянной, равной — ао, как зто вытекает из второго условия (1). Следовательно, У(х) = ~'(О)+ И~(0) + — ~ ~(а) — + аст'х. (11) с Уравнение (9) может быть приведено к уравнению Фредгольма с правильным ядром. В самом деле, проинтегрируем обе части этого уравнения по х от нуля до х, получим х х х /(х)+И~~(а)да — — '~1(а)да~ =1(0)+~У(а)5(а. (12) о с о о Положим х — а = Леох, — а = Кое'х, при этих обозначениях будем иметь х л1 ВΠ— — = 1п — '+ 1(уо — 11).
,1» — а В о Возьмем двойной интеграл, входящий в уравнение (12), и преобразуем кривую С в отрезок [ — 1, 1) осиабсцисс. В результате этого преобразования получим для рассматриваемого интеграла следующее выражение: — ~ ~(а) [1п — '+1(25 — Х)1да. — ! ~ 1 (а) 1п ~: ~ Иа + по ~ / (а) Ыа. о Принимая во внимание величины углов у и у для различных взаимных положений точек х и а, находим, что этот интеграл имеет следующее значение: 222 гл.
г. плОскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВолнАх Отсюда уравнение (12) перепишется так: х ~ (х) = / (О) + ~ У (а) да + — ~ / (а) 1п ~ — (( аа. (13) о Это уравнение может быть решено методом Фредгольма. Отметим теперь одно существенное обстоятельство. Формула (10) показывает, что функция г'(х) будет иметь снова внд (11), если даже вместо данной функции о (х) = — аа взять функцию о, (х) = о(х) + Ксозхх+ ЬЗ1птх; коэффициенты К и Ь произвольны. Благодаря этому необходимо установить те добавочные условия, которые следует присоединить к основному уравнению (9) при его решении, чтобы получить решение задачи, т. е.
функцию Г" (х), отвечающее взятой именно функции о (х). Возьмем уравнение (2) и сопряженное ему уравнение, выпишем эти уравнения для з = х, используя интегрирование по линии С; будем иметь аш . ( Г ((а]На — +(тш= — ~ Ыг я ~ а — х с — — ЮЮ =— аш . — 1 Г )(а)аа + 21|(х).
Нг я ~ а — х Вычтем одну формулу из другой и запишем, что вертикальная компонента скорости на пластинке есть и, (х). Найдем и(х)+~(х)+ Зт (ш(х) + ш (х) ] = — К созхх — Ьз(птх. (14) Возьмем затем два следующих уравнения для з = х: ЫЬх а'ш 1 Г )(а)ла — + (т — =— нх2 ах я ~ (а — х)' ~~'ш . аш ( Г 1(а) На — — (т — = — ~ -(- 21~' (х). лы лх я 2 (а — х)' с Вычтем одно уравнение из другого, получим — + 1' (х) — ти (х, О) = т (К З1п хх — Ь соз тх). аю Ых Из этой формулы и формулы (14) вытекает, что двучлен К соз тх + + Ь з!п тх будет тождественно равен нулю, если будут соблю- 1 ьс.
зАдача о плАВАющен плАстинкв даться следующие два условия: и(0)+ /(0)+ — у[и(0)-[-и(0)[ = О, у' (0) + 7' (0) — чи (О, 0) = О. (15) При этих условиях и нужно решать уравнения (9) илн (13). Функция и (г), найденная затем по формуле (3), после решения уравнений (9) и (15) будет содержать константу В, Одновременно с уравнением (9) следует рассмотреть такое же уравнение, но с другой функцией Г (х), отвечающей неподвижной пластинке. Новая функция ш (г) будет содержать новую неопределенную константу В,. Надлежащим подбором констант В и В„определяющих амплитуды свободных волн, возможно составить решение задачи об отражении волны данной амплитуды от плавающей пластинки; вместе с тем может быть определена и амплитуда волны, ушедшей за пластинку.
Решение уравнения (9) может быть получено с помощью тригонометрических рядов, как для уравнения теории глиссирования. Задача о набегании прогрессивной волнь1 на неподвижную пластинку была рассмотрена Рубином с помощью методов вариационного исчисления И78[. В основу своих рассмотрений Рубин кладет две сопряженные гармонические функции Ф(х, у) иЧ" (х, у), представляющие собой действительную и мнимую части функции комплексного переменного: — — -[- Иш = Ф + 1Ч". Ых (16) дг На отрезке [ — 1, Л оси абсцисс функции Ф и Ч' удовлетворяют условиям дФ дз'Р дч" — +чФ=О, — — у — =О, ду дх~ ду (17) на лучах ( — со, — 1), (1, со) этифункции удовлетворяют условиям — =О, Ч"=О.
дФ (18) ду Первые из этих условий, относящиеся к функции Ф (х, у), указывают на интересный факт, что эта функция есть потенциал скоростей волнового движения жидкости, апериодически затухающего при наличии открытой поверхности лишь на участке [ — 1,Л оси абсцисс, По ряду причин не представляется возможным определить начальный потенциал ~р (х, у) как функцию, дающую минимум некоторому функционалу, а приходится определять гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям (17) и (18). 224 гл. ь плоскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх Рассмотрим функционал '=~11%)'+( — ';)'1 *"+ —,' 1,~ "й" 1'* Первая вариация этого функционала имеет вид 87 = — ~ ~ ~ —;,„, + „, 1ь(, р) д*ду+ а<о у~ ая(,о) аю(*,о1 1 Вариация ь (з, у) функции Я обращается в нуль для ~ х ( ~ 1, у = О, а в остальном есть произвольная непрерывная функция своих аргументов. Приравнивая вариацию бС нулю, получаем уравнение Лапласа и граничное условие для функции О'.
Таким образом, функция Я, дающая стационарное значение интегралу У, удовлетворяет второму условию (17). Такую функцию 8 = 1г' получаем затем, минуя дифференциальные уравнения и условия, как предел некоторой последовательности функций, минимизирующих интеграл .7. По найденной функции Ч' (х, у) поток строится по формуле (16). Таким путем доказывается существование решения задачи о волнах, набегающих на неподвижную пластинку. Спаренберг показал, что функция Ф (х, у), удовлетворяющая условиям (17), (18), может быть найдена без применения соображений функционального анализа в результате решения некоторой краевой задачи Гильберта (182).
Функция дФ/ду есть мнимая часть функции комплексного пе- ременного ~пм . Ыв С(г) =- — — 1т— лакэ ~й (19) показывают тогда, что значения функции С (г) на верхней стороне разреза С' (х) и на нижней стороне разреза С (х) будут связаны между собой следующей зависимостью: С' (л) — С (х) = 21тФ (з, 0). Эта функция, первоначально определенная в нижней полуплоскости, может быть, в силу условия (18), аналитически продолжена через отрезки оси абсцисс ( — оо, — 1), (1, со) в верхнюю полуплоскость. Функция С (э) будет тогда аналитической функцией во всей плоскости, раарезанной вдоль отрезка [ — 1, П оси абсцисс.
Условие (17) и свойство функции С (г), выражаемое равенством С(э) = С(г), М. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНКИ НА КОРОТКИХ ВОЛНАХ 285 Функция 6 (г), решающая эту задачу Гильберта, будет определяться, при выполнении некоторых условий ограниченности в бесконечности, следующей формулой: ! где а, р, С вЂ” проиавольные постоянные. Устремим в этом равенстве точку г к наной-нибудь точке х нижней стороны разреза; принимая в расчет связь между функциями 6 (з) и Ф (х, у), получаем следующее интегральное уравнение для определения функции Ф (х, О): Ф(х,0) = ~ ~ Ф(5,0)1п)$ — г(518+а!О(1 — х!+Р1п)1+х~+С.
— / (21) Решив зто уравнение, находим по формуле (20) функцию С (з) во всей плоскости, а затем с помощью формулы (19) получаем функцию пт(г). $ 51. Колебания пластинки на коротких волнах Интегральные уравнения, установленные в предыдущем параграфе, дают воэможность найти решения различных задач, связанных с колебаниями пластинки, если частота колебаний небольшая. С достаточной простотой может быть найдено, например, движение пластинки, вызванное набегающей волной большой длины. Но полученные интегральные уравнения трудно использовать для решения весьма интересной задачи о колебаниях пластинки, порожденных волной большой частоты. Совершенно так же зти уравнения затруднительно приложить для решения задачи о тех волнах, которые образовываются при колебаниях пластинки с большой частотой.
Причиной этих затруднений является необходимость удовлетворять добавочным условиям (15) 8 50. Эрселл предложил метод для решения волновых задач, связанных с колебаниями болыпой частоты. Этот метод, особенно полно изложенный им для исследования распространения ультразвука, возникшего от источника колебаний в присутствии плоского контура, основан на использовании формулы Грина ~ (у — „— гт — „~ ) е(з = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
