Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Первой характерной особенностью этого движения является неограниченное возрастание ординат поверхности жидкости при подходе к берегу. Пользуясь выведенными выше асимптотическими формулами, легко найти уравнение поверхности жидкости вдали от берега, 1 55. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДОЕМА 2О! Беря формулы (8) 4 42 и (14) в 44, находим, что вдалеке от берега уравнение поверхности жидкости запишется так: аС 2) = — — СОВ аА — — в[п е тх+ 4 л(Д вЂ” 1)1 в[В(о1+ е)— 1 тх + — л (а — 1)1 вш (о1 — е). 4 (4) 1 При этой записи отсчет времени смещен на — (е, + ез) и положе2б но е = — (е, — ев). Кроме того, А — произвольная константа, связанная с произвольной константой .0 соотношением „(2ПИ.1)2-1 А = ( — 1)( мм-2 22ы [(2т+ 1) а — 1[! в!и а вш 2а...
22п(б — 1) а Уравнение (4) можно преобразовать к следующему виду: т! = — !(Асове — С вше)сов [(чх+ о1)+ — л(о — 1)1+ 2х ( 4 + (А в[п е — С сов е) в[п ( (тх + о() + — л (о — 1)1 '(— 1 4 а 1 . Г 1 — — 1(Асове+ С вше)сов ~(тх — о1)+ — л(о — 1)1— 2я [ 4 1 — (Аз[не+Ссове)в[п~(тх — о1)+ 4 л(д — 1)).
(5) Определим входящие сюда постоянные А, С, е так, чтобы движение, характеризуемое функцией (3), возникало от волны данной амплитуды Л, идущей из бесконечности к берегу. Для этого мы должны удовлетворить уравнениям А сове + С вш е = О, А вш е + С сов е = О.
У этих уравнений имеем два решения: 1) (ив = 1, А + С = О; 2) (де =- — 1, А — С = О. Для обоих решений имеем аА . / 1 1 т[= — в[п~тх+о1+ — лд) для е= — л. 4 ) 4 аА / ! (б) т[ = — сов [тх+ о!+ — ло) для е = — — л. х 4 4 Постоянная А определится через данную амплитуду Л этой набегающей на берег волны простой формулой: А= ~Л. а ЕОЕ Гл. 1.
плоскАя 3АдАчА О Бес1<онечно мАлых ВолнАх Используя все предыдущие формулы, находим по формуле (3) характеристическую функцию течения, возникшего от данной набегающей на берег волны (6). При лт Ф О эта функция имеет в точке в = О полюс порядка 2тд и поведение соответствующей величины т) определяется в бесконечности формулами (6), в которые не входит число т.
Поэтому существует со~ прогрессивных волн, имеющих заданное выражение (6) для своих ординат в бесконечности, причем главная часть С (г) разложения в ряд Лорана около нуля характеристической фуакции течения будет состоять из т слагаемых с произвольными коэффициентами А„АМ..., Ам „ А т. А А А~ Р"» Если в формуле (5) мы подчиним константы А, С, в уравнениям А сове — Саше=О, А в1пв — С сов е = О, то определим прогрессивные волны, уходящие в бесконечность из начала координат, как из источника. В бесконечности уравнение прогрессивных волн запишется так: оА / 1 1 т) = — — сов(тх — О1+ — лд) для з = — я 4 ) 1 ЗА 1 1 т) = — — вшах — о~+ — яд~ для в = — — я.
а А ) 4 Эти прогрессивные волны зарождаются у берега и уходят в бесконечность со скоростью прогрессивных волн на поверхности жидкости бесконечной глубины. В заключение следует особенно отметить, что полученные прогрессивные волны, идущие на отлогий берег, ие испытывают отражения от берега, но уничтожаются у него. Аналитически это уничтожение волны обусловлено наличием особенности в точ- кев=О. Задавшись частотой и амплитудой прогрессивной волны, идущей на берег, мы не определяем тем не менее однозначно ни форму волны на всем протяжении бассейна, ни сопутству1ощее ей движение жидкости.
В самом деле, для всякого числа т существует, с назначенными частотой и амплитудой, прогрессивная волна, движущаяся к берегу. Самое простое решение задачи получается при т = О, когда правая часть основного уравнения (1) в 43 имеет наиболее простой вид и когда уравнение поверхности жидкости обладает не полярной, а логарифмической особенностью в начале координат. 1 аэ, пРимеРы 2 46. Примеры Л (е) = )а — ее Ае = — 1т 1 Характеристическая функция течения, соответствующая стоячим волнам с конечным возвышением в начале координат, запишется так." и (з) = Се-'"' (1) Уравнение поверхности жидкости будет В = — — Ссозтхз1п(а1+ е,). а К (2) Одновременно с этой стоячей волной будет и другая, обладающая неограниченным возвышением вблизи начала координат. По формулам (13) и (20) 2 43 эта волна определится так: и = ( та" (Хе(з)+ Хье(а)], — 1)е'+аа Ч = 2 та Ве (Хе(*) + Хье(х))з)п(аг+ за) (3) 2е В этих формулах -ыа Хе(з) = е-1"* ~ е ей аэаа+1 е здесь путь интегрирования обходит точку 8 = О слева.
В формуле же — Ьа е ~Р Х„л(з) = е-'"' ) а +, аа +' О (4) путь интегрирования обходит точку 1 = О справа. Формула (17) $43 устанавливает связь между Х,е (х) и Ха,е (х): Ха(х) = Х (х) + — е а"" 2Ж ьо (2аэ)1 откуда Хе(х)+ Ха,е(х) = 2Хье(х) + ( ) е ™х 2я1 Применим полученные общие формулы к рассмотрению некоторых частных случаев. Допустим сначала, что число д равно единице; в этом случаЕ мы имеем распространение волн в бесконечно глубоком бассейне, ограниченном вертикальной стенкой. В этом простейшем случае имеем 204 гл. и плОскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВоотнАх Интеграл, входящий в определение функции е.ьо (х), может быть преобразован к новому виду, если заменить первоначальный путь интегрирования интегрированием вдоль отрицательной части мнимой оси от точки — оо1 до точки — ттх. Получим 41ч чт Ю1, (х) = ( — 4) ечте-1че ~ Следовательно, Ве Г.
(х) ( $) 41 1 сов(ч* т) (т 2217И.1 Че Формула (3) даст уравнение поверхности жидкости в следующем виде: т1 = — 11 в1п ох+ то ~ 4(т1 яш(ОГ+ в). о (( — ц"+1ячо ' Г соя (чх — т) Е $ (222)1 2ччч 1 чх В том наиболее простом случае, когда т = О, зто уравнение можно записать с помощью интегрального синуса и косинуса так: о Г1 т1 = — — — л вш тх — сов тх С1 (тх) + ятп тх Ь (ъх)1ятп (ое + в), е ~ 2 (5) где 00 чх С1(тх) = ~ — 4(т, 51(21х) = ~ — '4(т. чх о Для функции т) можно дать другое простое выражение при т = О, если интегрирование провести по прямой линии, параллельной оси абсцисс и находящейся ниже нее на расстоянии тх; получим т) = ~ — — яштх+ — ~ е(т~яш(ае+ е).
яо оГ те' е 22+ 2222 о Рассмотрим теперь волны над наклонным дяом, образующим угол в 45' с горизонтом. В атом случае число о равно 2 и, кроме того, 1 4 Н' 14 1' 'чо 1т' 'ч1 Характеристическая функция течения для стоячих волн с ограниченным возвышением в начале координат запишется так: 1 1 к1(в)= Се 4 е-+ +Се4 е-* О 48. ПРИМЕРЫ 205 Отсюда уравнение поверхности жидкости будет Ц = — — ~СОЗ РХ+ — и) + =Е-'х~ ЗШ(аг+ Е,).
(6) — Ьх Ло(г) = е-1 12(оа+1) ' е »2 2,1(г) = Ееи ~,(,,,). 1 е е(2 22(221+1) Формула (13) 2 43 дает выражение характеристической функции в таком виде: 1 И" (г) = — — т' "е' (1~о(г)+ ~~ьо(г) — ~1(г) — гч,1(г)). Применим эту формулу к написанию уравнения поверхности жидкости в простейшем случае: т = О. Для действительных значений г = х имеем на основании формул $ 43 следующие соотношения: УО (Х) = Ь1,О (Х) — 2Я)Е-1»х (Х) = ~, (Х) — 2я)Е»х. Отсюда 1 О (х) + 1 1,0 (х) Ь1 (х) Ь1,1 (х) О (х) 21 1 1 (х) ) 2я (е Б» + ое-»х) Следовательно, 1 т) = — КеЦ1212(х) — Ь11(х)) е' + г о'2 1 + Я(Е-' +1Е-"х) Е ' ) З)П (Ог+ Зо). (7) Преобразуем отдельные слагаемые етой формулы.
Выполняя интегрирование по частям, получаем го о(х) = — — + е- ) — е(т, ох ох ее ( ) + 11 Е- »+ Е-»х ~ ()~. тх -»Х Найдем затем волны с неограниченными ординатами около начала координат. Для составления характеристической функции укажем сначала выражения ряда вспомогательных величин. Имеем Л (2,) = (Х + от) (Х + т) Л' (2е) = т ($ — 1), а»1+О (22) = — У (1 — 1), 2еб гл. 1. плоская задача о вксконкчно мллых волнах Отсюда 1 — ив и и 1 Не Иь (х) — Еп ( )) е ' = — 'е-'" — — 'сов ( — 4 я) + 2 -мХ + юп ~тх — 4 п~ С1(тх) + сов ~тх — — я) Я~ (тх) — =Е ( — чх), 4 где е Е( — чх) = ~ — й.
Теперь формула (7) может быть записана так: д = — 1 — сов (тх — — я)+ в1п(тх — — я)С1(тх)+ "Г 1 -~-сов(тх — — я) 8) (тх) — = е-"' ~ — й~в1п(а1+ ез). (8) — ~х Полученные формулы позволяют вычертить поверхность жидкости для стоячих колебаний двух разных видов. На рис. 40 показана форма поверхности жидкости у отвесного берега, а =- 90'. Штрих-пунктирная линия изображает псовтх, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
