Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Будем рассматривать периодические по времени, с частотой о, колебания поверхности жидкости. Потенциал скоростей соответствующего движения будет иметь вид Ф (х, у; 1) = !р (х, у) сов (аг + е); функция ф (х,у) должна удовлетворять следующим граничным условиям: — — тр=О для х)0, у=О; д!р дУ вЂ” в1па+ — сова = 0 для х)0, у = — вайа дф . д!р дх ду ог х, У=в Ю Последнее условие есть требование обтекания дна Введем комплексное переменное г = х + Еу и ческую функцию течения ее (г) = !р (х, у) + Еер (х, у), бассейна.
харантеристи- Выписанные выше граничные условия для потенциала скоростей можно переписать так: 1ш~ — „+!тел) = О для г = х )О; / дв 1ш(е —" — Е! = 0 для г = ге-". — х !Ег (2) Таким образом, задача об определении периодических волновых движений в канале с равномерно понижающимся дном привелась н построению аналитической функции ее (г) внутри угловой области, ограниченной положительной частью оси абсцисс и прямой у = — х $у а и удовлетворяющей на границах атой области усло- 176 гл. 1. плоскАя ЗАдАчА О Бес1юнгчно МАлых ВОлнАх виям (1) и (2). Но одних лишь условий (1) и (2) недостаточно для определения функции 1е (г); существенную роль в определении функции и (г) играет предписываемое (в качестве дополнительного условия) поведение функции и (г) в бесконечности и у точки г = О.
Эти дополнительные условия будут указаны в дальнейшем. Определение функции 1е (г) может быть получено для любого угла а в пределах от 0' до 180'. Особенный интерес представляет задача для угла а, точно равного 180'. Здесь мы имеем аадачу о волнах на поверхности бесконечно глубокой жидкости, причем лишь часть поверхности, от х = 0 до х = оо, свободна и находится под постоянным давлением, а другая часть, от х = — со до х = О, покрыта твердой горизонтальной пластиной. Если угол а ) 90', то имеем задачу о волнах при нависающем откосе.
Все эти задачи будут разобраны в дальнейшем изложении. Но наиболее просто и своеобразно решается задача для углов, имеющих следующий вид: Р а= —— где р и д — два взаимно простых целых числа, причем р — не- четное число, меньшее чем 29. $ 41. Вывод дифференциального уравнения задачи о волнах при наклонном дне Предположим, что дно бассейна составляет с горизонтом некоторый угол х.
Вдоль дна бассейна будет соблюдаться условие (2) э 40. Это условие показывает, что функция Я' (Э) Š— 1а 1а принимает действительные значения вдоль прямой (2) Е = 1'Е а1 Отсюда вытекает, по правилу аналитического продолжения, что функция г (г) может быть аналитически продолжена через прямую (2) из области Р, занятой жидкостью, в угловую область Р„ограниченную прямыми г = ГЕ а' И г = ГЕ Эа1 Возьмем в области Р, точку г„симметричную точке г относительно прямой (2); точка г принадлежит области Р.
Значение функции Р в точке з, будет сопряжено значению этой же функции в точке гл г' (з,) = г' (э). г ы. РРАВненив 3АдАчи О ВОлнАх пРи нАклОннОм дне т77 Придадим этому равенству другой вид: е-«' и' (г,) = е'"и'(г). (3) Прежде чем выводить из этого равенства следствия, обратим внимание на принимаемые в дальнейшем обозначения. Символом и (г) будем обозначать функцию комплексного переменного г, определяемую формулой и (г) = ~р (х, — у) — Йр (х,— у). В том, что правая часть этого равенства — действительно функция комплексного переменного г = х + 1у, можно убедиться, показав, что функциями ~р (х, — у) и — ф (х, — у) удовлетворяются условия моногенности.
Вернемся к соотношению (3) и применим его к точке г = х действительной оси. Значение г„соответствующее этой точке, будет г, = хе-'«', и равенство (3) запишется так: и' (хе-'«') =- емнй' (х). Интегрируя это равенство, получаем и (хе-'«') = и (х); (5) добавочная константа интегрирования может быть взята равной нулю.
Полученные равенства (4) и (5) дают возможность найти значения функций и (г) и и' (г) на прямой р = — х $д 2а по значениям функций и (г) и и' (г) на действительной оси. Обратимся теперь к граничному условию (1) $ 40. Имея в виду определение функции и (г), придадим этому условию такой вид 1ш (и' (х) — 1уй (х)] = О. Перепишем это равенство в другой форме, пользуясь соотношениями (4) и (5); получим 1ш ]е-г«'и' (хе-г«') — гуи (хе-ьн)] = О. Следовательно, в точках прямой у = — х $д 2а будет иметь место следующее равенство: 1ш [е '«'и' (г) — й~ и (г)] = О. (б) Таким образом, функция и (г), определенная в угле, ограниченном осью абсцисс и прямой р = — х 1д 2и, удовлетворяет на сторонах этого угла следующим условиям: / йи 1ш~ — +1уи)=0 для г=х >О; 1ш(е '"' — — 1ти~ = 0 для г = ге — г«'.
«« Чтобы найти функцию и (г), обратим внимание на следующие 178 гл. д. плослоя эхдхддх о Ввскопнчно ддлльдх волг»ах заключения, вытекающие из условий (7). Если построить вспомо- гательную функцию о — д И;(,) =,» Ь,— ", ( — "„; + ' ) д=-о (8) с помощью произвольно взятых действительных коэффициентов Ьо, Ь„..., Ь, д в каком-нибудь числе е, то для г = х ) 0 будем иметь следующее равенство: 1ш И', (г) = О. Затем дифференцирование по переменному х выражения е-дадю' (хе-д д) дти» (хе-ход) имеющего на прямой у = — х гу 2сд действительные значения (в силу формулы (6)), приводит всегда к действительным значениям.
Результат этого дифференцирования, выполненного »о раз, может быть записан так: ло+д. 1ш ~е — '""' (е — '"' — дт )1 =- О, ег +д его Отсюда вытекает, что вдоль прямой г = — х гд 2сд другая вспомогательная функция о — д И' (г)"= ~ е — мо»с„— » е — '"' — — дти») „,о ~ (9) о=о о — д ло о — д Ьд. — д — ~ ) дтид) = — ~~» сое — ооод (де оо' — — ддос) . о=о о=о Это требование приводит к следующим уравнениям для опреде- ления указанных чисел: »тьо отсо~ дтЬд+ Ьо = ( — дтсд + со)е — о'"', дтЬо + Ьд — — ( — посо + сд) е — д'"', (10) дтЬ, д+ Ь, о = ( — отсо д+ с,,) е — и* — д»«', Ь,,= с, де — д будет иметь действительные значения, если коэффициенты с„ с„ с„..., с,, действительны. Поставим теперь задачу: так подобрать действительные числа Ьо, Ь„..., Ь, „со, сд, ..., с, д, чтобы функции И~д (г) и И'о (г) были тождественны: з 41.
РРАвнкние ВАЛАчи О ВОлнАХ пРН нАклОннОИ дне 179 Из первого уравнения находим со (11) отсюда второе уравнение после кеболыпого преобразования запишется так: зт (Ьз зн + с е "1) .= 2со соз оз, или у (сз — Ьз) ззп и + гу (с, + Ь,) соз и .-= 2со соз ох. Но так как числа с„с„Ьд действительпые, то оо с = — Ь„Ь,= — ~д (12) Третье уравнение системы (10) записывается так: зу ((Ьз + с,) соз 2ох + 1 (Ь, — с,) а(п 2а] = 2с, соз 2а.
Отсюда получаем ~о сз = — Ьз, Ь, = —., с!Дозс~Д2О. (13) Четвертое уравнение системы (10) дает аз=- — Ьз Ьз= — зсСдас$82ас1дЗа. Ьо (14) Предпоследнее уравнение системы (10) дает с, 1 = — Ь, „Ь, 1 = — 'с1дасСд 2а...сйд(з — 1)а. (15) Подставляя эти апачения Ь, 1 и с, 1 в последнее уравнение той же системы, получаем — Ь,, = Ь,, е-""'.
Отсюда получаем такое значение угла оо, при котором возмолоно отождествить между собою функции И'1 (з) и И'з (г): зо 2а+ 1 а=— о 2 з п — произвольное целое число. Таким обрааом, если угол со имеет следующее значение: ЗР а =-— 27 где р — какое-пибудь печетпое число, мепьшее чеп целое число Но коэффициент Ь, „не равен нулю, так как суммы (8) и (9) содержат з слагаемых, но не меньше. Следовательно, е--""1 =- — 1. 180 гл. х плоскАя 3АдАчА О Бвсконкчно ИАлых ВолнАх 2д = 2е, взятое произвольно, то, определяя коэффициенты Ь„ Ь„..., Ь, „с„с„..., с,, по формулам (12) — (15), находим, что функции И', (г) и И' (г) тождественны друг другу.
Коэффициент Ь, остается произвольным, возьмем его равным +1, тогда с, будет равен — 1. Отметим, в частности, что 1 ь г — г ' Вернемся теперь к условиям (7). Вдоль оси абсцисс функция ЫΠ— + гтаг Ыг имеет действительные значения; действительные значения будет иметь на этой же оси и всякая производная от этой функции. Отсюда вытекает, что вдоль оси абсцисс функция И', (г) имеет действительные значения, так как все коэффициенты Ь действительные. Равным образом функция (6) — гв е — ггв Ьаш Ыг имеет действительные значения на прямой у = — х $я 2а; на этой же прямой будут иметь действительные значения и все производные атой функции, вычисленные по модулю комплексного числа г = ге-'"', как по независимому переменному.
Из этого вытекает, если принять, кроме того, во внимание, что все коаффициенты с действительные, что значения функции Иг (г) на прямой у = = — х1Я 2а ЯвлЯютсЯ действительными. Но так как И'г (г) ен Иг, (г), то отсюда вытекает, что и на прямой у = — х 1я 2а, как и на действительной оси, функция И', (г) имеет действительные значения. Следовательно, функция Иг, (г), составленная с помощью искомой функции гс (г), имеет действительные значения на двух прямых: у=О и у= — хгд2а. (16) Это обстоятельство, в сочетании со специальным видом угла а = = яр/(2д), дает воаможность просто определить функцию И', (г). Функция аг (г) есть аналитическая функция г в области А), ограниченной прямыми (16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
