Главная » Просмотр файлов » Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости

Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 28

Файл №1163302 Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости) 28 страницаЛ.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302) страница 282019-09-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Единственной особой точкой этой функции может быть лишь г = О. Этим же свойством будет обладать и функция И", (г). Отобразим конформно область .0 на нижнюю полуплоскость комплексного переменного 2, полагая Я = гет. Функция И'„рассматриваемая теперь в зависимости от перемен- 5 41. РРАвннник 3АдАчи О ВОлнАх ПРи нАклОннОм дне 1З1 ного 2, будет аналитической функцией во всей нижней полуплоскости и будет принимать действительные значения на всей действительной оси. Следовательно, эту функцию можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость, при этом будет иметь место соотношение И" (~) = Иг1(З). (17) Таким образом, функция И'1 (Е) будет аналитической функцией на всей плоскости комплексного переменного Я с единственной возможной особой точкой в начале координат.

В силу этого функция И; (Е) может быть представлена рядом Лорана на всей плоскости переменного Я: И'1(Е) = (18) и (г1) = и (г), и затем, после ряда дифференцирований, что и' (г,) = еоми1' (г), и" (г,) = ео"'и" (г), и" (г,) = ео"в" (г), (19) Составим теперь выражение функции И', (г,) = И', (г,); имеем о — 1 И'о(г1) = ~е о" осе — ~е — '"' — — 1тв(г1)~, о=о 1 или, пользуясь равенствами (19), о — 1 а74 г Ыю Ио(г1) = р со — ~ — + 1тв(г)~.

Лго " «г о=о Заменяя здесь ео равной ему величиной — Ью имеем И'о (гг) = — Й1(г) или И'д (г1) = — И', (г). В силу соотношения (17) коэффициенты ао будут действительными числами. Покажем затем, что все коэффициенты а„с четными индексами равны нулю. В самом деле, из равенства (3) вытекает прежде всего, после интегрирования, что $ Ог. РЕШЕНИЕ ЗАДА~!До О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНГ $ЯЭ где Со, фф..., Со — произвольные комплексные константы, а Л„ Л„, Ло, ..., Л, — корни характеристического уравнения о — д ~2 Ь„(Ло+д + дрЛо) = О. о=а Имея в виду значения коэффициентов Ью можно убедиться, что корни этого уравнения будут Ло = до Лд = дрх Ло = д™~ " Ло-д где ар — — 1 х — е — оад е о Отметим нужные для дальнейшего соотношения Ло = Ло-о = хЛо-о-д.

Выберем теперь постоянные ффф..., С, так, чтобы удовлетворялись условия (1) и (2) э 40. Обратимся сначала к условию (2) 3 40. Это условие можно записать так: Подставляя сюда выражепие (2) функции лд (г), имеем еРН [ЛоСоедо + ЛдСдеди+ ... +Л,С,е"о-д*)— — ед" [ЛоСоедм+ЛдСдед„*+ +Л дСо деда д [ 0 Но при г = ге-"д имеем Лог = Ло,г, Л,г = Ло,г, ..., Ло дг = Лог. Отсюда предыдущее равенство переписывается так: (Лое — "Со — Л,,е'"С,)еди+ (Л е — "С, — Л,,е™С,,) е" '+... ...

+ (Л де '" С, — ЛоедоСо) е о — д' = О, или, принимая во внимание значения чисел Ло, Лд, ..., Ло „ дтх(Со — Со — д)едм+дрх'(С, — С,,)е"*+... ... + дтхо(С д — Со) е о ' = О. Отсюда получаем, в силу линейной независимости функций едо', Л о ед *, е о-д, такие равенства: С,— С = О. (3) С,— Сод — — О, Сд — С,=О, Обратимся теперь к условию (1) 5 40. Это условие можно 184 ГЛ.

1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕх1НО МАЛЫХ ВОЛНАХ переписать так: Подставим сюда вместо ш и йвгг[г их выражения, получим (Ло+ ра)Сосл'х+(Л, + ро)Слсл" +... +(Л, + ра)Со ле о лов — (Ло — ре) Соелх — (Л, — ро) С сл х †. — р, — ра) Со ле'о — лх= (). Принимая во внимание следующие Ло+13 О, Л Лл = Л, „Ло = Л, „ формулы: — лт =О, Ло, —— Л„ приводим предыдущее равенство к такому виду: [(Л, + лт) С вЂ” (Л, — ро) С [ елох + [(Ло + лт) Со— — (Лт — лт) С,,) вы~ + ...

+ [(Л,, + лт) С,,— — (Л, — ра) Сл]3 о 13 = О, откуда имеем: (Л,+ но)С1 — (Л,— лт) Со 1= О, (Л,+ро)С,— (Л,— лт)Со 3=0, (4) (Л 1 + ре) С 3 — (Л, , — 13) Сл = О. Таким образом, для определения коэффициентов Со, фф... ..„С,, имеем системы уравнений (3) и (4). На основании уравнений системы (3) придаем уравнениям системы (4) следующий вид: (Лл + Ро) Сл = (Лл — лт) Со, (Л, + От)С, = (Л,— ра)С„ (Ло + лт) Со = (Ло гт) Со (Л 1+Ро)С, = (Ло 1 — Ро)С Перемножая почленно [' первых уравнений, находим (Лл — ко)(Л; л — 13)... (Л,— 13) Подставляя сюда вместо Л; их значения, получаем выражение коэффициента С; через коэффициент Со, остающийся пока произвольным:, С1= 1иссакс132со ... С1яуа Со (['= 4,2, ..., д — 4).

З 42. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНВ 135 Подстановка найденного значения коэффициента С; в уравнения (3) приводит к одному-единственному следствию: 1 — ЛЫ-1К с,= се где С вЂ” произвольное положительное действительное число. Отсюда формула для Се запишется так: с1 = се'чыдм'+1тс1аиста2а ... с1яуя (7 = 1, 2, ..., д — 1). (5) Таким образом, подставляя в выражение (2) вместо коэффициентов Се, С„, Сю ..., С„, их значения, находим функцию л1 (г), определяющую по формуле ~р(х,у; 1) =сов(се+ з) Кею(г) потенциал скоростей стоячих волн некоторого вида, развиваю- щихся над наклонным дном: Ю вЂ” 1 1 1р(х, у; 1) = Ссоз(а1+ е) Ке ,'~~ е' с~йасСй2а...ОСИ1а.е~1'.

3=0 (6) Уравнение поверхности жидкости, определяемое этим потенциалом скоростей, будет писаться так: т((х, ~) = — — зш (О1+ з) Ке ш (х). (7) Исследование этого уравнения показывает, что в начале координат возвышение поверхности жидкости имеет конечное значение при любом угле а. Что 1ке касается воавышения поверхности жидкости в бесконечности, то здесь имеют место два случая. Если число р = 1 и угол а имеет, следовательно, такое значение: и а= —, 2е то при любом числе д действительная часть комплексных чисел Х„Х„..., Х, 1 отрицательна. Отсюда вытекает, что в бесконечности все члены суммы (2), начиная со второго, равны нулю, и уравнение поверхности жидкости в бесконечности запишется так: 1) = — — созыв + — я (д — 1)~ з1п(О1 + з).

ОС Г а (8) Если же число р неравно единице, то среди чисел Х„Х„..., ), 1 будут числа с положительной действительной частью. В силу лзб ГЛ П ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВВОКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ этого вся сумма (2) будет неограниченно расти при х, стремящемся к бесконечности, и, в силу этого, ординаты поверхности жидкости будут сами стремиться к бесконечности.

Благодаря этому обстоятельству характеристическая функция течения (2) не будет определять при р Ф 1 допустимого решения гидродинамической задачи. Здесь надо отметить, что при р = 1, как и при р чь 1, ни один из с1я)сс не равен нулю и, следовательно, все коэффициенты С; отличны от нуля, что и обусловливает, для р~1, стремление Ч к бесконечности при х =- оо а). р 43. Решение неоднородного уравнения Решение дифференциального уравнения (20) з 41 мы проведем только для того случая, когда число р = 1 и, следовательно, угол а есть целая доля от 90'. В заключение мы перечислим те результаты, которые относятся к любому нечетному числу р. Вместе с тем мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда правая часть уравнения (20) з 41 состоит только из одного члена с коэффициентом, равным единице.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение Применим к решению этого уравнения метод вариации произвольных постоянных. Будем искать общий интеграл уравнения (1) в следующем виде: иг = С»ел" .+ С,ел * + Сзе"*+... + С,ел» вЂ” л', (2) считая Со, фѻ, ..., С» „неизвестными функциями переменного з. Подстановка вырая'ения (2) в уравнение (1) приводит к следующей системе уравнений для определения ффф..., С,,: — е")а + — е "), + — е и) з + Ебг л, г ИС» л„к ЛОг ггг аг 6[г '%~ — л л * а ([с = 0,1,2,..., д — 2) — ели).о + — е 'г)»» + — е г)»з + ...

оо» .- » — л вол л, » — л оог л, » — л Нг ег ггг .» — 1 ...+» е» вЂ” л*)г»г ',= иг » л (згг+1)» *) В атом мосте на полях рукописи имеется указание автора на статью Хансона [108[. (Прим. ред.) ! 23. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Решение этой системы уравнений записывается так: 1Е7 Сг ~ аг ,— гг «г 212м+1)2 ггС1 уг 1 о1 1 — е — '"-, Ег (2 и+1 М а ЫС г — 1 Ь 2 †! 2 ††г е аг 212 Нг а где 1 )" а )2 2 Лг ' О Л21...Л2 1 ''' 2 1 Здесь гЛ2, гЛ„Л„..., Л㠄— миноры детерминанта гЛ, отвечающие элементам последней строки и взятые с соответствующими знаками. Имеем йо (Лг )"1) (Ло Лг) "' (Лг Лэ-1)' Л = Л, (Л, - Л,) (Л, - Л,) ...

(Л, - Л„,), А = 122-1(Ла-! — ) 2)() 2-1 — )1) " (Лг-!.— ) 2-2). Положим Л(Л) = (Л вЂ” Лг)(Л вЂ” Л1)(Л вЂ” Лг) ... (Л вЂ” Л,,). При этом обозначении будем иметь — '-"' =Л'(Л,), — '-' =Л'(Л,),..., ~ =Л.'(Л,,). для производных функций фф г 2-1 22112 +1)2 Л (Ло) г 2-1 -Л,г еС, Ыг 12мг1)2 Л' (Лг) -Л г г 1)2 гг' (Л ) Отсюда получаем формулы ..., С, в следующем виде лс, Ег 1 ... 1 Лг ... Л 12 )2 Л1 ''' 2 1 133 Гл. 1. плоскАя ВАдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх Отметим значения функции Л' (А) для корней уравнения Л (А) = = О; имеем — — ы(о — л) 1 Л'(Ао)=(2т)о ле 4 з)паз)п2а...нбп(д — 1)а, (4) Л'(Ан) = ( — ) Л'(Ао) Сд алд 2а...

СЯ йа (й = 1, 2,..., () — 1). Отметим вместе с тем и следующие формулы: — нз(о-л) 1 Л (Л.) =" Л'(2,), (б Л (Лн) = — — Л'(Р.о-н-л) (й = 1 2 . () — 1). Проинтегрируем уравнения (3) и составим выражение общего интеграла уравнения (2). Получим ю(з) = Кое~" + Кле~" +... + Ко ле о-" + о о-л -лл,(ь 4-1 -л,С,(ь элм + эл» + Л'(Ло] ) ~(о 4()о+ Л'(Л,) ~ н(о~+))4 + ''' -л Л' (Л ) Э Но(О онн)4 е о-л Здесь К„К„..., К, — произвольные комплексные постоянные. Покажем прежде всего возможность брать входящие сюда интегралы по кривой, идущей кз отрицательной бесконечности действительной оси. Для этого рассмотрим интеграл он(з) ~ (оо нлн (7) — О Таким образом, угол р будет удовлетворять неравенствам яй ян — (1(л+ —.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,7 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
298
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее