Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Единственной особой точкой этой функции может быть лишь г = О. Этим же свойством будет обладать и функция И", (г). Отобразим конформно область .0 на нижнюю полуплоскость комплексного переменного 2, полагая Я = гет. Функция И'„рассматриваемая теперь в зависимости от перемен- 5 41. РРАвннник 3АдАчи О ВОлнАх ПРи нАклОннОм дне 1З1 ного 2, будет аналитической функцией во всей нижней полуплоскости и будет принимать действительные значения на всей действительной оси. Следовательно, эту функцию можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость, при этом будет иметь место соотношение И" (~) = Иг1(З). (17) Таким образом, функция И'1 (Е) будет аналитической функцией на всей плоскости комплексного переменного Я с единственной возможной особой точкой в начале координат.
В силу этого функция И; (Е) может быть представлена рядом Лорана на всей плоскости переменного Я: И'1(Е) = (18) и (г1) = и (г), и затем, после ряда дифференцирований, что и' (г,) = еоми1' (г), и" (г,) = ео"'и" (г), и" (г,) = ео"в" (г), (19) Составим теперь выражение функции И', (г,) = И', (г,); имеем о — 1 И'о(г1) = ~е о" осе — ~е — '"' — — 1тв(г1)~, о=о 1 или, пользуясь равенствами (19), о — 1 а74 г Ыю Ио(г1) = р со — ~ — + 1тв(г)~.
Лго " «г о=о Заменяя здесь ео равной ему величиной — Ью имеем И'о (гг) = — Й1(г) или И'д (г1) = — И', (г). В силу соотношения (17) коэффициенты ао будут действительными числами. Покажем затем, что все коэффициенты а„с четными индексами равны нулю. В самом деле, из равенства (3) вытекает прежде всего, после интегрирования, что $ Ог. РЕШЕНИЕ ЗАДА~!До О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНГ $ЯЭ где Со, фф..., Со — произвольные комплексные константы, а Л„ Л„, Ло, ..., Л, — корни характеристического уравнения о — д ~2 Ь„(Ло+д + дрЛо) = О. о=а Имея в виду значения коэффициентов Ью можно убедиться, что корни этого уравнения будут Ло = до Лд = дрх Ло = д™~ " Ло-д где ар — — 1 х — е — оад е о Отметим нужные для дальнейшего соотношения Ло = Ло-о = хЛо-о-д.
Выберем теперь постоянные ффф..., С, так, чтобы удовлетворялись условия (1) и (2) э 40. Обратимся сначала к условию (2) 3 40. Это условие можно записать так: Подставляя сюда выражепие (2) функции лд (г), имеем еРН [ЛоСоедо + ЛдСдеди+ ... +Л,С,е"о-д*)— — ед" [ЛоСоедм+ЛдСдед„*+ +Л дСо деда д [ 0 Но при г = ге-"д имеем Лог = Ло,г, Л,г = Ло,г, ..., Ло дг = Лог. Отсюда предыдущее равенство переписывается так: (Лое — "Со — Л,,е'"С,)еди+ (Л е — "С, — Л,,е™С,,) е" '+... ...
+ (Л де '" С, — ЛоедоСо) е о — д' = О, или, принимая во внимание значения чисел Ло, Лд, ..., Ло „ дтх(Со — Со — д)едм+дрх'(С, — С,,)е"*+... ... + дтхо(С д — Со) е о ' = О. Отсюда получаем, в силу линейной независимости функций едо', Л о ед *, е о-д, такие равенства: С,— С = О. (3) С,— Сод — — О, Сд — С,=О, Обратимся теперь к условию (1) 5 40. Это условие можно 184 ГЛ.
1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕх1НО МАЛЫХ ВОЛНАХ переписать так: Подставим сюда вместо ш и йвгг[г их выражения, получим (Ло+ ра)Сосл'х+(Л, + ро)Слсл" +... +(Л, + ра)Со ле о лов — (Ло — ре) Соелх — (Л, — ро) С сл х †. — р, — ра) Со ле'о — лх= (). Принимая во внимание следующие Ло+13 О, Л Лл = Л, „Ло = Л, „ формулы: — лт =О, Ло, —— Л„ приводим предыдущее равенство к такому виду: [(Л, + лт) С вЂ” (Л, — ро) С [ елох + [(Ло + лт) Со— — (Лт — лт) С,,) вы~ + ...
+ [(Л,, + лт) С,,— — (Л, — ра) Сл]3 о 13 = О, откуда имеем: (Л,+ но)С1 — (Л,— лт) Со 1= О, (Л,+ро)С,— (Л,— лт)Со 3=0, (4) (Л 1 + ре) С 3 — (Л, , — 13) Сл = О. Таким образом, для определения коэффициентов Со, фф... ..„С,, имеем системы уравнений (3) и (4). На основании уравнений системы (3) придаем уравнениям системы (4) следующий вид: (Лл + Ро) Сл = (Лл — лт) Со, (Л, + От)С, = (Л,— ра)С„ (Ло + лт) Со = (Ло гт) Со (Л 1+Ро)С, = (Ло 1 — Ро)С Перемножая почленно [' первых уравнений, находим (Лл — ко)(Л; л — 13)... (Л,— 13) Подставляя сюда вместо Л; их значения, получаем выражение коэффициента С; через коэффициент Со, остающийся пока произвольным:, С1= 1иссакс132со ... С1яуа Со (['= 4,2, ..., д — 4).
З 42. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНВ 135 Подстановка найденного значения коэффициента С; в уравнения (3) приводит к одному-единственному следствию: 1 — ЛЫ-1К с,= се где С вЂ” произвольное положительное действительное число. Отсюда формула для Се запишется так: с1 = се'чыдм'+1тс1аиста2а ... с1яуя (7 = 1, 2, ..., д — 1). (5) Таким образом, подставляя в выражение (2) вместо коэффициентов Се, С„, Сю ..., С„, их значения, находим функцию л1 (г), определяющую по формуле ~р(х,у; 1) =сов(се+ з) Кею(г) потенциал скоростей стоячих волн некоторого вида, развиваю- щихся над наклонным дном: Ю вЂ” 1 1 1р(х, у; 1) = Ссоз(а1+ е) Ке ,'~~ е' с~йасСй2а...ОСИ1а.е~1'.
3=0 (6) Уравнение поверхности жидкости, определяемое этим потенциалом скоростей, будет писаться так: т((х, ~) = — — зш (О1+ з) Ке ш (х). (7) Исследование этого уравнения показывает, что в начале координат возвышение поверхности жидкости имеет конечное значение при любом угле а. Что 1ке касается воавышения поверхности жидкости в бесконечности, то здесь имеют место два случая. Если число р = 1 и угол а имеет, следовательно, такое значение: и а= —, 2е то при любом числе д действительная часть комплексных чисел Х„Х„..., Х, 1 отрицательна. Отсюда вытекает, что в бесконечности все члены суммы (2), начиная со второго, равны нулю, и уравнение поверхности жидкости в бесконечности запишется так: 1) = — — созыв + — я (д — 1)~ з1п(О1 + з).
ОС Г а (8) Если же число р неравно единице, то среди чисел Х„Х„..., ), 1 будут числа с положительной действительной частью. В силу лзб ГЛ П ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВВОКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ этого вся сумма (2) будет неограниченно расти при х, стремящемся к бесконечности, и, в силу этого, ординаты поверхности жидкости будут сами стремиться к бесконечности.
Благодаря этому обстоятельству характеристическая функция течения (2) не будет определять при р Ф 1 допустимого решения гидродинамической задачи. Здесь надо отметить, что при р = 1, как и при р чь 1, ни один из с1я)сс не равен нулю и, следовательно, все коэффициенты С; отличны от нуля, что и обусловливает, для р~1, стремление Ч к бесконечности при х =- оо а). р 43. Решение неоднородного уравнения Решение дифференциального уравнения (20) з 41 мы проведем только для того случая, когда число р = 1 и, следовательно, угол а есть целая доля от 90'. В заключение мы перечислим те результаты, которые относятся к любому нечетному числу р. Вместе с тем мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда правая часть уравнения (20) з 41 состоит только из одного члена с коэффициентом, равным единице.
Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение Применим к решению этого уравнения метод вариации произвольных постоянных. Будем искать общий интеграл уравнения (1) в следующем виде: иг = С»ел" .+ С,ел * + Сзе"*+... + С,ел» вЂ” л', (2) считая Со, фѻ, ..., С» „неизвестными функциями переменного з. Подстановка вырая'ения (2) в уравнение (1) приводит к следующей системе уравнений для определения ффф..., С,,: — е")а + — е "), + — е и) з + Ебг л, г ИС» л„к ЛОг ггг аг 6[г '%~ — л л * а ([с = 0,1,2,..., д — 2) — ели).о + — е 'г)»» + — е г)»з + ...
оо» .- » — л вол л, » — л оог л, » — л Нг ег ггг .» — 1 ...+» е» вЂ” л*)г»г ',= иг » л (згг+1)» *) В атом мосте на полях рукописи имеется указание автора на статью Хансона [108[. (Прим. ред.) ! 23. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Решение этой системы уравнений записывается так: 1Е7 Сг ~ аг ,— гг «г 212м+1)2 ггС1 уг 1 о1 1 — е — '"-, Ег (2 и+1 М а ЫС г — 1 Ь 2 †! 2 ††г е аг 212 Нг а где 1 )" а )2 2 Лг ' О Л21...Л2 1 ''' 2 1 Здесь гЛ2, гЛ„Л„..., Л㠄— миноры детерминанта гЛ, отвечающие элементам последней строки и взятые с соответствующими знаками. Имеем йо (Лг )"1) (Ло Лг) "' (Лг Лэ-1)' Л = Л, (Л, - Л,) (Л, - Л,) ...
(Л, - Л„,), А = 122-1(Ла-! — ) 2)() 2-1 — )1) " (Лг-!.— ) 2-2). Положим Л(Л) = (Л вЂ” Лг)(Л вЂ” Л1)(Л вЂ” Лг) ... (Л вЂ” Л,,). При этом обозначении будем иметь — '-"' =Л'(Л,), — '-' =Л'(Л,),..., ~ =Л.'(Л,,). для производных функций фф г 2-1 22112 +1)2 Л (Ло) г 2-1 -Л,г еС, Ыг 12мг1)2 Л' (Лг) -Л г г 1)2 гг' (Л ) Отсюда получаем формулы ..., С, в следующем виде лс, Ег 1 ... 1 Лг ... Л 12 )2 Л1 ''' 2 1 133 Гл. 1. плоскАя ВАдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх Отметим значения функции Л' (А) для корней уравнения Л (А) = = О; имеем — — ы(о — л) 1 Л'(Ао)=(2т)о ле 4 з)паз)п2а...нбп(д — 1)а, (4) Л'(Ан) = ( — ) Л'(Ао) Сд алд 2а...
СЯ йа (й = 1, 2,..., () — 1). Отметим вместе с тем и следующие формулы: — нз(о-л) 1 Л (Л.) =" Л'(2,), (б Л (Лн) = — — Л'(Р.о-н-л) (й = 1 2 . () — 1). Проинтегрируем уравнения (3) и составим выражение общего интеграла уравнения (2). Получим ю(з) = Кое~" + Кле~" +... + Ко ле о-" + о о-л -лл,(ь 4-1 -л,С,(ь элм + эл» + Л'(Ло] ) ~(о 4()о+ Л'(Л,) ~ н(о~+))4 + ''' -л Л' (Л ) Э Но(О онн)4 е о-л Здесь К„К„..., К, — произвольные комплексные постоянные. Покажем прежде всего возможность брать входящие сюда интегралы по кривой, идущей кз отрицательной бесконечности действительной оси. Для этого рассмотрим интеграл он(з) ~ (оо нлн (7) — О Таким образом, угол р будет удовлетворять неравенствам яй ян — (1(л+ —.