Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 32
Текст из файла (страница 32)
величины, пропорциональф ные ординатам стоячих волн пер- 4 ваго вида. Сплошная линия У дает величину выражения, стоящего в квадратных скобках в формуле (5), т. е. величину Ф, пропорциональную ординатам х точек стоячей волны второго -1 вида. Наконец, штриховая ли- -Г ния изображает и в1п тх. -У Из рис. 40 видно, что при увеличении тх ординаты стоя- 7 г ' 4 х чей волны второго вида ис- ключительно быстро становятся Рис. 10. равными ординатам синусоиды я вш тх, изображающей по аснмптотическим формулам волну второго вида для больших тх.
Затем, уже для небольших значений тх, ординаты стоячей волны первого вида становятся сдвинутыми на четверть длины волны по отношению к ординатам волны второго вида. Это последнее обстоятельство дает, в конце концов, возможность построить не отражающиеся от берега волны, возникшие в бесконечности и распространяющиеся к берегу. зь !ах!вчлппя О тког!!!! !!Они ! и! !!А!Ы<ягныы дном 207 На рис. 11 даны для а —: 45' золп гппы, пропорциональные ордпнатам стоячей волны первого п второго вида.
Штрих-пунктирная линия дает значения Ф, выражения в квадратных скобках формулы (6); сплошная линия дает значения Ф, выражения в ~„Фх фигурных скобках формулы (8), и, наконец, штрихами изображена кривая, построенная по асимптотической формулен соз(тх — — я) соответству- 4 ющей выражению в фигурных скобках формулы (8) для боль- . ~'х! ших значений тл. -у Из рис. 11 можно вывести в данном случае те же заключения, как и из рис.
10, пост- -и роенного для а = 90'. Ооа чертежа (рис. 10 и 11) взяты нами из работы Стокера, Рис. И. содержащей, кроме того, чертежи, иллюстрирующие волны, возникающие у весьма отлогого берега, а = 6' (184] "). 5 47. Замечания об изложенной выше теории волн над наклонным'дном е") В основу всего предыдущего изложения теории распространения волн над наклонным берегом было положено уравнение (20) 4 41.
Это уравнение служит для определения характеристической функции в том случае, когда угол наклона диа к горизонту определяется формулой яр а=— 2с в которой р — какое-нибудь нечетное число, меньшее чем произвольно взятое четное число 2!7 ) р. Для этого общего случая было решено соответствующее однородное уравнение (1) 9 42. Для р = 1 решение этого уравнения дало стоячие волны, ограниченные вблизи берега по своим ординатам. Наибольшее внимание *) В этом месте на полях рукописи имеется ссылка автора на статью ФРидрихса и Леви 198], э которой дается приближенная формула для потенциала скоростей прн малых а.
(Прим. ред.) *') Название 1 47 дано редакцией, так как э рукописи названия этого параграфа не оказалось. (Прим. ред.) 2Щ ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЫСКОНВЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ было уделено нами в предыдущем изложении томуслучаю, когда угол наклона дна бассейна к горизонту есть целая доля от 90', следовательно, р = 1. Для этого случая нами было подробно изучено неоднородное дифференциальное уравнение (1) 1 43. Решение этого уравнения дает стоячие волны с неограниченными ординатами вблизи берега.
Сочетая эти решеяия с решениями однородного уравнения, оказалось возможнымнайти прогрессивные волны, набегающие из бесконечности на отлогий берег и не отражающиеся от него. Решение неоднородного уравнения З вЂ” 1 ~~1~~5 ~ „( — „~ И ) =- г=э г при р чь 1 может быть получено, как и в з 43, методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Но разбор полученного решения весьма сложен, так как требует выяснения многочисленных деталей. Поэтому мы вынуждены ограничиться лишь указанием полученных здесь результатов. Мы видели выше (з 42), что при р ~ 1 стоячие воляыпервого вида, находимые как решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (1), обладают неограниченно растущими ординатами при удалении от берега. Но можно найти одно-единственное решение в, (г) неоднородного уравнения (1), конечное в начале координат и дающее в бесконечности обычную стоячую волну.
Такое решение уравнения (1) заменяет в данном случае, р чн 1, решение однородного уравнения при р =- 1 и может служить для образования прогрессивных волн, набегающих издалека на покатый берег. Уравнение (1) обладает одним решением 1г, (г), имеющим в начале координат логарифмическую точку ветвления и дающим волну с тем же самым поведением в бесконечности, каким обладает волна, определяемая функцией и, (з). Следовательно, можно построить одну прогрессивную волну, идущую на берег и обладающую в точке х = 0 логарифмической особенностью.
Помимо такой волны можно установить существование со прогрессивных волн, идущих из бесконечности на берег и обладающих в точке х =- 0 бесконечной ординатой порядка х ' Задача о волновых движениях;кидкости над наклонным дном при и =- яр((2д) получила большое развитие в последние годы. Среди работ, посвященных этой задаче, отметим основные работы Леви [145) и упомянутую вьппе работу Стокера (184). Все эти работы характеризуются широким применением методов теории функций комплексного переменного.
1 18. ВОлны нА НОВегхности кАнАлА 209 Приведенное выше изложение задачи основывается, в главных своих чертах, на исследовании Бриллуэ, удостоенном премии Фран. цузской Академии наук [891. Отметим, что стоячие волны с конечным возвышением у берега были получены для углов а = я/(29) Поклингтоном [165[ с помощью метода отражений.
Им было установлено, в частности, что амплитуда колебаний поверхности в начале координат в у' д раа больше, чем максимальная амплитуда в бесконечности. й 48. Волны на поверхности канала, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом В предыдущих параграфах были определены волновые движения на поверхности водоема, дно которого составляет с горизонтом угол, равный целой части от 90'. Теперь мы рассмотрим общую задачу о волнах на поверхности водоема, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом.
Этот угол может быть любым в пределах от 0' до 180'. При этом, если угол наклона дна будет превосходить 90', то это будет соответствовать бассейну с нависающим берегом. Отметим, что мы не дадим полного изложения решения задачи со всеми необходимыми деталями, так как это потребовало бы слишком много места. Мы ограничимся лишь определением функции п1 (з), не давая, однако же, исследования этой функции, и приведем только результаты такого исследования.
Наше изложение будет следовать статье Питерса [163), в которой рассматривается задача о волнах на поверхности водоема в присутствии поля битого льда на поверхности жидкости; этому же вопросу посвящена статья Вейца и Келлера [202[. Функция и (г) должна удовлетворять условиям (1) и (2) $40.
Рассмотрим сначала первое из этих условий. Функция и (г) определена внутри области Р, ограниченной положительной частью оси Ох и прямой з =- ге "'. На действительной оси функция принимает действительные значения, следовательно, она может быль продолжена аналитически через действительную ось в область Р„ограниченную этой осью и прямой з = ге'. Таким образом, в области Р + Р„ограниченной прямыми г = га-м и з = = га"1, мы будем иметь аналитическую функцию (1). Для действительных значений з функция (1) имеет действительные значения; следовательно, по правилу аналитического продолжения будет существовать для точек з, принадлежащих области Р + Р„следующее равенство: и (з) + 1ти (з) = и (й) + 1ти (й).
2$0 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЭАДАЧА О ВЕСНОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Черта сверху служит для указания комплексно сопряженных величин. Вдоль луча г = ге-"' имеет место условие (2) з 40; следовательно, функция может быть аналитически продолжена через луч г = ге-"' в область А)г, огРаниченнУю пРЯмыми г = — ге-", г = ге '"', поскольку функция и (г) определена в области 1) + ВО При этом будем иметь следующее равенство: е-"'и' (г) = е "' и' (ге '"). (3) Таким образом, в угловой области 1) +,О, +.0г, ограниченной прямыми г = ге ' и г = ге-з«1, имеют место для функции и (г) равенства (2) и (3). Преобразуем эти равенства к новому виду, принимая в соображение, что комплексная функция двух переменных ~р (х, — у) — Нр (х, — у) В этом можно убедиться, проверив, что две функции ~р (х,— у) и — ~р (х,— у) удовлетворяют условиям Коши — Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
