Главная » Просмотр файлов » Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости

Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 29

Файл №1163302 Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости) 29 страницаЛ.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302) страница 292019-09-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

() (8) Возьмем показатель степени — 1(нЬ; полагая Ь = ~ ~ ( е(э, имеем (1 л' ). — Лнь = — 7(н(ь(е)Р = т) ь) е = к~~- (+.— ф+д)+ .(+.— ф+д)~. Действительная часть этого показателя будет отрицательной при соблюдении неравенств 1 1 ЯН 3 — л( — я — — + р( л. 2 2 о 2 212. ГКШКНИВ НВОДНОГОДНОГО ГГЛВНКНИЯ $89 Отсюда видно, что при любом числе й, положительном и не превосходящем д — 1, угол )), равный я, удовлетворяет неравенству (6). Следовательно, все интегралы формулы (6) сходятся при нижнем пределе. Отметим особо, что и при )2 = О для всех значений чисел т и д интеграл Яэ (2) также сходится при нижнем пределе.

Вернемся к интегралу Я» (г) и преобразуем его к новому переменному интегрирования 1, полагая Х»2=2 Принимая в расчет, что Р2~+1)2 — ( — 1)».'2 ( )(222+1)2 получим Л~ 2 е Ж 1(2 221)2 , 2(л(2 — М/2)( (9) Приняв такое соглашение, разрежем плоскость переменного ч Этот интеграл будет сходиться, если часть пути интегрирования, уходящая в бесконечность, будет находиться в области тех значений 1, действительная часть которых положительна.

Но направление, уходящее в бесконечность и характеризуемое углом я/2— — я(27(), располагается,для всех значенийк, в правой части полу- плоскости. Следовательно, интеграл (9) сходится при нижнем пределе. Имея в виду теорему Коши о независимости значений интеграла от формы пути, мы можем так изменить путь интегрирования в формуле (9), что бесконечная ветвь этого пути расположится, для больших (, вдоль положительной части оси абсцисс. Разумеется, что при такой деформации особая точка ( =- О не должна пересекаться путем интегрирования при его непрерывном преобразовании. Допустим, что путь интегрирования в формуле (7) был выбран так, что в формуле (9), при движении по пути интегрирования от ( = ос до ( = Х»2, точка ~ = О остается слева.

Функция Я» (г) является неоднозначной функцией переменного 2, обладая в точке 2 =- О логарифмическим ветвлением. Поэтому надо точно установить ту ветвь этой многозначной функции, которую мы будем в дальнвйп(ем рассматривать. Мы будем рассматривать в качестве исходной ту ветвь, которая обладает действительными положительными значениями при действительных и положительных значениях верхнего предела т в интеграле т е Д( 1(22~+и» 1ЕО ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВБСКОН1Р1НО МАЛЫХ ВОЛНАХ вдоль отрицательной части мнимой оси.

В точках такой разрезанной плоскости и будем рассматривать интеграл (9). Вернемся теперь к формуле (6) и перепишем ее, устраняя в ней первые д — 1 слагаемых, как решение однородного уравнения (1): Π— 1 г () =~,'('„,(,,",) ~ () (10) о=-о где ло ллг б е Ио (11) и е ( 1)ггегг>ело,го(о епо-1 Как было указано выше, интегрирование в формуле (11) ведется так, что особая точка з = 0 находится слева при движении от ~ == оо до 1 .= Лоск Но наряду с частным решением (10) мы можем составить другое частное решение того же уравнения (1), обходя путем интегрирования точку г = О справа. Такое частное решение будет записываться следующим образом: Π— 1 ю,(з)=~ о ЛА, ~ Л„,.(о).

(12) л-=о Функция Ьлл (з) определяется такой же формулой (11), как и функция Ьо (з), но только путь интегрирования взят другим: он обходит точку з =- 0 справа. Таким образом, мы можем составить новое частное решение неоднородного уравнения (1) в следующем виде: о †~ 1с И'(з) =- 2 У~.

Л ~, Л (1~(х)+ 1чо(з)). (19) ~-" о 1 о) л.=о Покажем, что функция И' (г) удовлетворяет обоим условиям (1) и (2) % 40. Чтобы установить зто, найдем зависимости между Ьл (х) и Х о (х), с одной стороны, и между Лл,о „и Ало, с другой стороны, считая число з действительным и положительным: з = =х)0. Применяя теорему о вычетах, имеем Ьо(х) = Ь'(х)+(-1)" И,„.(~,",', ц, гГ, но Хлт (х) =- ~о- ( ), (14) $ лз. Решение нводноиодного уилвненпя 19к следовательно, о л 2я~ лкх ~к(х) = ~~-к(х)+( — 1) ((2~ ) ))Ч ))) Отсюда имеем Ь,(х) = Ь, к(х) — ( — 1)' ',и' р е" -"' (15) Иэ этого соотношения получаем на основе равенства (14) новое соотношение и, кроме того, 2вн лх л о-к ( ) = Ьлк(х) + ( — 1) ((2ю, )) о ))) Отметим, что соотношения (15) и (16) имеют место для й ) О. Для й = 0 надо отметить формулу Ало(х) = Ло(х)+( — 1)' "', ел~".

(17) Обратимся теперь к условию И) 2 40. Чтобы составить левую часть этого условия, выведем дифференциальное уравнение для функции Лк (г). Дифференцируя формулу (11), получаем и, <отлл)о лот+к)о ' л или а;„( — ))к Лк к ' (зоил)о о-л )к (18) С помощью этого уравнения находим о — л г)кг' к ь к ( — л) л к1"т л Л (2) ( к( )+ л ( ))+ ~м„Л~~ы)о ~ л.=о к=о Последняя сумма равна нулю *), и, следовательно, о — л — — 2 ~ У Л,(2) (7к(х)+~к,к(л)1.

к=о (19) ") В самом деле, рассмотрии интеграл л ) оо 2гн,) Л (Х) с взятый по некоторому замкнутому контуру, заключающему внутри себя все 192 гл. ь плоскАя 3АдАчА О Бесконечно мллых ВолнАх Составим теперь условие (1) й 40. Имеем гИ .

1 '- ( — 1) (Ак+ кэ) — + (тИ' = — у~, ]Ьк(х)+ Ькк(х)]. йо 2 2.1 АКЛ (АК) к=о Отсюда получаем г~д 1 ( — 1)К(А +ко) 211ш ~ — „+ (тИ') = — т' у э, (Ьк(х) + Ьь к(х)] + к=к ,+, 1 '=-' (-1)'(Лк-Ю) + ( — 1)о+1 У Е к Кк(х) + Ь,,,(х)].

2 2.~ Х,л (х,) 1=1 Из формул (15) и (16) вытекает, что (х) + 1 г к (х) Ло-к (х) + Хг о-к (х)' Следовательно, /о(И', К 1 Н ( — 1) (Х~+ ко) 211ш( ~ + гтгг) 2 1') ° ) ]1к(х)+Лыс(х)]+ Кст о — г к чы 1 ч ч ( — 1) (АК вЂ” то) + ( 1) 1 ~ э ]Л (х) + Ь (х)] 2 2 Переменим в последней сумме порядок следования ее членов и при- меним, кроме того, формулу Л' (й к) = (Л' (йк) сьп )си, вытекающую из формул (4) и (5).

После небольших преобразований нули функции Л ().). Подынтегральная функция голоморфна около бесконечно удаленной точки, и коэффициент при 1Й равен нулю, следовательно, по теореме о вычетах интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот же интеграл равен сумме вычетов, относящихся к полюсам ео, )т,..., "ь т подынтегральной функции; эта же сумма будет равна к=о и, следовательно, ее Значение есть нуль. Надо заметить, что это докаэательство неприменимо при о = 1. Но в этом исключительном случае Л'(ь) = 1 и рассматриваемая сумма будет равна единице.

1 оо. гнщкник нводнородного ггавнвния 193 получим 21 1ш ( — + (тИ7) = 7 о(И7 (, о(г ах х 2 7 7 Л Л (Л ) ПЛх+ (т)+1(Л вЂ” (т)М)оо] [Ъх(в) + Л,, ( )]. х=о Но (Лх + (т) + 1 (Лх — (т) Вя [оа = 0; отсюда следует, что 1ш ( — + (тИ') = 0 / ЫИ7 ( Ио для действительных значений г. Такиоа образом, функция И'(г) удовлетворяет граничному условию (1) 9 40. Покажем, что эта функция будет удовлетворять и условию (2) 2 40. Пользуясь формулой (19), получаем для е-"'ЫИИг следующее выражение: а — х о(И 1 .

'Г\ ( — 1)х с-ко — = — 1е-ко гт г, [Ьх(г) + Ц, х(г)]. Ио 2 2 ! Л'(Л,) х=о Отсюда имеем для г = ге-"' а — 1 21 1ш (е-"а — ) = — ) е-ко ~ —, [Т х (г) + Тч, х (г)]— . НИАХ 1 .%1 ( — 1) К. ) 2 21Л (Лх) х.=о а — х — — 1е" р — [Ьх (г) + Ьь „(г)]. ; %"О ( — 1) Преобразуем последнюю сумму на основании следующих формул, имеющих место при г = ге-и и аналогичных формулам (15) и (16): Хог = Ла дг, Х,г = Ха,г,..., Л„,г = Хог, ~х(г) = ~~-х-~(г) + ( — )' 1'ь х (г) = Ьь а х ~ (г) — ( — 1) Получим 211ш (е оз = — 7е-ко о, [1,х(г) -]- Ь х(г)]— Но ) 2 ,~ О Л'(ЛХ) х=о а — 1 1 „, х-х ( — 1)х — — 7'е"' 7„—,.

[Ьа-х-х(г) + Хь а-х-х (г)]. "* 2~ Л Л(Лх) 7 л. н, сротенсниа 194 ГЛ. Г. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БВСКОНГЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Меняя в'последней сумме ш ри;(ок следования слагаемых на обрат- ный, получаем 21 1ш (е-ал — ) = — 1е а(~~ —, [Ьк(з) + Ь1, к(г)! + -ал о)1 ) 2 Х'..' й'!>к) Π— 1 ( 1)к + 1 ( — 1)ое"17 ~ ( ) (Л (з)+ли, (з)!. й'(Х~ к 1) Применяя формулу (5), получаем 2( 1ш (е-а( — ) = = 2 У-"'-(-1Л"'!ЕЛ,А) (Лк()+акт()! к=о Коэффициент перед суммой обращается в нуль, так как 1 = ( — 1)о/ и к = е-'"'. Таким образом, функция И' (г) удовлетворяет и граничному условию (2) ~ 40. Следовательно, функция И'(з), определяемая формулой (13), удовлетворяет обоим условиям рассматриваемой волновой задачи и дает, таким образом, некоторое волновое движение лкидкости иад равномерно понижающимся дном.

Уравнение поверхности )квдкости запишется так: Π— 1 и- — —.) (4)- )о ((А' ( . (1()(-о,,()]). (20) 1 к=о Таким образом, в добавление к стоячим волнам, найденным в 1 42, мы получили еще один вид периодических волн. Уравнение этих волн не содержит, в противоположность уравнению волн 9 42, ни одного произвольного параметра, отличного от фазы е. 4 44. Определение формы стоячих волн нового вида Проведем анализ вида новых стоячих волн, определяемых уравпениелл (20) 9 43. С этой целью рассмотрим сначала интеграл е (н( .7„(9) = ез ~ — '„ а Применяя формулу интегрирования пе частям, получаем 1 Мь ОПРЕДеЛЕНиЕ ФОРл1Ы Стончнл ВОЛН НОВОГО ВЕДА 133 следующее рек уррентноо соотношение: Повторное применение этого соотношения приводит к следующей формуле: 1 1 1 7„($) — — —.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,7 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
298
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее