Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 29
Текст из файла (страница 29)
() (8) Возьмем показатель степени — 1(нЬ; полагая Ь = ~ ~ ( е(э, имеем (1 л' ). — Лнь = — 7(н(ь(е)Р = т) ь) е = к~~- (+.— ф+д)+ .(+.— ф+д)~. Действительная часть этого показателя будет отрицательной при соблюдении неравенств 1 1 ЯН 3 — л( — я — — + р( л. 2 2 о 2 212. ГКШКНИВ НВОДНОГОДНОГО ГГЛВНКНИЯ $89 Отсюда видно, что при любом числе й, положительном и не превосходящем д — 1, угол )), равный я, удовлетворяет неравенству (6). Следовательно, все интегралы формулы (6) сходятся при нижнем пределе. Отметим особо, что и при )2 = О для всех значений чисел т и д интеграл Яэ (2) также сходится при нижнем пределе.
Вернемся к интегралу Я» (г) и преобразуем его к новому переменному интегрирования 1, полагая Х»2=2 Принимая в расчет, что Р2~+1)2 — ( — 1)».'2 ( )(222+1)2 получим Л~ 2 е Ж 1(2 221)2 , 2(л(2 — М/2)( (9) Приняв такое соглашение, разрежем плоскость переменного ч Этот интеграл будет сходиться, если часть пути интегрирования, уходящая в бесконечность, будет находиться в области тех значений 1, действительная часть которых положительна.
Но направление, уходящее в бесконечность и характеризуемое углом я/2— — я(27(), располагается,для всех значенийк, в правой части полу- плоскости. Следовательно, интеграл (9) сходится при нижнем пределе. Имея в виду теорему Коши о независимости значений интеграла от формы пути, мы можем так изменить путь интегрирования в формуле (9), что бесконечная ветвь этого пути расположится, для больших (, вдоль положительной части оси абсцисс. Разумеется, что при такой деформации особая точка ( =- О не должна пересекаться путем интегрирования при его непрерывном преобразовании. Допустим, что путь интегрирования в формуле (7) был выбран так, что в формуле (9), при движении по пути интегрирования от ( = ос до ( = Х»2, точка ~ = О остается слева.
Функция Я» (г) является неоднозначной функцией переменного 2, обладая в точке 2 =- О логарифмическим ветвлением. Поэтому надо точно установить ту ветвь этой многозначной функции, которую мы будем в дальнвйп(ем рассматривать. Мы будем рассматривать в качестве исходной ту ветвь, которая обладает действительными положительными значениями при действительных и положительных значениях верхнего предела т в интеграле т е Д( 1(22~+и» 1ЕО ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВБСКОН1Р1НО МАЛЫХ ВОЛНАХ вдоль отрицательной части мнимой оси.
В точках такой разрезанной плоскости и будем рассматривать интеграл (9). Вернемся теперь к формуле (6) и перепишем ее, устраняя в ней первые д — 1 слагаемых, как решение однородного уравнения (1): Π— 1 г () =~,'('„,(,,",) ~ () (10) о=-о где ло ллг б е Ио (11) и е ( 1)ггегг>ело,го(о епо-1 Как было указано выше, интегрирование в формуле (11) ведется так, что особая точка з = 0 находится слева при движении от ~ == оо до 1 .= Лоск Но наряду с частным решением (10) мы можем составить другое частное решение того же уравнения (1), обходя путем интегрирования точку г = О справа. Такое частное решение будет записываться следующим образом: Π— 1 ю,(з)=~ о ЛА, ~ Л„,.(о).
(12) л-=о Функция Ьлл (з) определяется такой же формулой (11), как и функция Ьо (з), но только путь интегрирования взят другим: он обходит точку з =- 0 справа. Таким образом, мы можем составить новое частное решение неоднородного уравнения (1) в следующем виде: о †~ 1с И'(з) =- 2 У~.
Л ~, Л (1~(х)+ 1чо(з)). (19) ~-" о 1 о) л.=о Покажем, что функция И' (г) удовлетворяет обоим условиям (1) и (2) % 40. Чтобы установить зто, найдем зависимости между Ьл (х) и Х о (х), с одной стороны, и между Лл,о „и Ало, с другой стороны, считая число з действительным и положительным: з = =х)0. Применяя теорему о вычетах, имеем Ьо(х) = Ь'(х)+(-1)" И,„.(~,",', ц, гГ, но Хлт (х) =- ~о- ( ), (14) $ лз. Решение нводноиодного уилвненпя 19к следовательно, о л 2я~ лкх ~к(х) = ~~-к(х)+( — 1) ((2~ ) ))Ч ))) Отсюда имеем Ь,(х) = Ь, к(х) — ( — 1)' ',и' р е" -"' (15) Иэ этого соотношения получаем на основе равенства (14) новое соотношение и, кроме того, 2вн лх л о-к ( ) = Ьлк(х) + ( — 1) ((2ю, )) о ))) Отметим, что соотношения (15) и (16) имеют место для й ) О. Для й = 0 надо отметить формулу Ало(х) = Ло(х)+( — 1)' "', ел~".
(17) Обратимся теперь к условию И) 2 40. Чтобы составить левую часть этого условия, выведем дифференциальное уравнение для функции Лк (г). Дифференцируя формулу (11), получаем и, <отлл)о лот+к)о ' л или а;„( — ))к Лк к ' (зоил)о о-л )к (18) С помощью этого уравнения находим о — л г)кг' к ь к ( — л) л к1"т л Л (2) ( к( )+ л ( ))+ ~м„Л~~ы)о ~ л.=о к=о Последняя сумма равна нулю *), и, следовательно, о — л — — 2 ~ У Л,(2) (7к(х)+~к,к(л)1.
к=о (19) ") В самом деле, рассмотрии интеграл л ) оо 2гн,) Л (Х) с взятый по некоторому замкнутому контуру, заключающему внутри себя все 192 гл. ь плоскАя 3АдАчА О Бесконечно мллых ВолнАх Составим теперь условие (1) й 40. Имеем гИ .
1 '- ( — 1) (Ак+ кэ) — + (тИ' = — у~, ]Ьк(х)+ Ькк(х)]. йо 2 2.1 АКЛ (АК) к=о Отсюда получаем г~д 1 ( — 1)К(А +ко) 211ш ~ — „+ (тИ') = — т' у э, (Ьк(х) + Ьь к(х)] + к=к ,+, 1 '=-' (-1)'(Лк-Ю) + ( — 1)о+1 У Е к Кк(х) + Ь,,,(х)].
2 2.~ Х,л (х,) 1=1 Из формул (15) и (16) вытекает, что (х) + 1 г к (х) Ло-к (х) + Хг о-к (х)' Следовательно, /о(И', К 1 Н ( — 1) (Х~+ ко) 211ш( ~ + гтгг) 2 1') ° ) ]1к(х)+Лыс(х)]+ Кст о — г к чы 1 ч ч ( — 1) (АК вЂ” то) + ( 1) 1 ~ э ]Л (х) + Ь (х)] 2 2 Переменим в последней сумме порядок следования ее членов и при- меним, кроме того, формулу Л' (й к) = (Л' (йк) сьп )си, вытекающую из формул (4) и (5).
После небольших преобразований нули функции Л ().). Подынтегральная функция голоморфна около бесконечно удаленной точки, и коэффициент при 1Й равен нулю, следовательно, по теореме о вычетах интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот же интеграл равен сумме вычетов, относящихся к полюсам ео, )т,..., "ь т подынтегральной функции; эта же сумма будет равна к=о и, следовательно, ее Значение есть нуль. Надо заметить, что это докаэательство неприменимо при о = 1. Но в этом исключительном случае Л'(ь) = 1 и рассматриваемая сумма будет равна единице.
1 оо. гнщкник нводнородного ггавнвния 193 получим 21 1ш ( — + (тИ7) = 7 о(И7 (, о(г ах х 2 7 7 Л Л (Л ) ПЛх+ (т)+1(Л вЂ” (т)М)оо] [Ъх(в) + Л,, ( )]. х=о Но (Лх + (т) + 1 (Лх — (т) Вя [оа = 0; отсюда следует, что 1ш ( — + (тИ') = 0 / ЫИ7 ( Ио для действительных значений г. Такиоа образом, функция И'(г) удовлетворяет граничному условию (1) 9 40. Покажем, что эта функция будет удовлетворять и условию (2) 2 40. Пользуясь формулой (19), получаем для е-"'ЫИИг следующее выражение: а — х о(И 1 .
'Г\ ( — 1)х с-ко — = — 1е-ко гт г, [Ьх(г) + Ц, х(г)]. Ио 2 2 ! Л'(Л,) х=о Отсюда имеем для г = ге-"' а — 1 21 1ш (е-"а — ) = — ) е-ко ~ —, [Т х (г) + Тч, х (г)]— . НИАХ 1 .%1 ( — 1) К. ) 2 21Л (Лх) х.=о а — х — — 1е" р — [Ьх (г) + Ьь „(г)]. ; %"О ( — 1) Преобразуем последнюю сумму на основании следующих формул, имеющих место при г = ге-и и аналогичных формулам (15) и (16): Хог = Ла дг, Х,г = Ха,г,..., Л„,г = Хог, ~х(г) = ~~-х-~(г) + ( — )' 1'ь х (г) = Ьь а х ~ (г) — ( — 1) Получим 211ш (е оз = — 7е-ко о, [1,х(г) -]- Ь х(г)]— Но ) 2 ,~ О Л'(ЛХ) х=о а — 1 1 „, х-х ( — 1)х — — 7'е"' 7„—,.
[Ьа-х-х(г) + Хь а-х-х (г)]. "* 2~ Л Л(Лх) 7 л. н, сротенсниа 194 ГЛ. Г. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БВСКОНГЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Меняя в'последней сумме ш ри;(ок следования слагаемых на обрат- ный, получаем 21 1ш (е-ал — ) = — 1е а(~~ —, [Ьк(з) + Ь1, к(г)! + -ал о)1 ) 2 Х'..' й'!>к) Π— 1 ( 1)к + 1 ( — 1)ое"17 ~ ( ) (Л (з)+ли, (з)!. й'(Х~ к 1) Применяя формулу (5), получаем 2( 1ш (е-а( — ) = = 2 У-"'-(-1Л"'!ЕЛ,А) (Лк()+акт()! к=о Коэффициент перед суммой обращается в нуль, так как 1 = ( — 1)о/ и к = е-'"'. Таким образом, функция И' (г) удовлетворяет и граничному условию (2) ~ 40. Следовательно, функция И'(з), определяемая формулой (13), удовлетворяет обоим условиям рассматриваемой волновой задачи и дает, таким образом, некоторое волновое движение лкидкости иад равномерно понижающимся дном.
Уравнение поверхности )квдкости запишется так: Π— 1 и- — —.) (4)- )о ((А' ( . (1()(-о,,()]). (20) 1 к=о Таким образом, в добавление к стоячим волнам, найденным в 1 42, мы получили еще один вид периодических волн. Уравнение этих волн не содержит, в противоположность уравнению волн 9 42, ни одного произвольного параметра, отличного от фазы е. 4 44. Определение формы стоячих волн нового вида Проведем анализ вида новых стоячих волн, определяемых уравпениелл (20) 9 43. С этой целью рассмотрим сначала интеграл е (н( .7„(9) = ез ~ — '„ а Применяя формулу интегрирования пе частям, получаем 1 Мь ОПРЕДеЛЕНиЕ ФОРл1Ы Стончнл ВОЛН НОВОГО ВЕДА 133 следующее рек уррентноо соотношение: Повторное применение этого соотношения приводит к следующей формуле: 1 1 1 7„($) — — —.