Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Имеем юдо(г) = 2я(Го — дГ,)е — 2д д е доодой, с г,(ь) о (4О) о Г ро (/о) юоо (г) = — 2яд (Го — дГд) е е — 2 д ' е-'ы б)с. х — ао/е о $36. Вычисление сил, действующих на тело при его колебаниях Компоненты главного вектора сил давления, приложенных к твердому телу, определяются следующими формулами: амплитуда же волн, уходящих влево,— а = — ] Гд+ дГ,!. (9) х Скорость распространения с этих волн, их частота а и длина Х находятся в согласии с формулами з 6 теории простейших прогрессивных волн: р за, силы, Действующив НА ТЕЛО ПРИ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ $61 причем давление р дается интегралом Бернулли: д)р 1 тре — бУ р др 2 Подставляя это значение р в предыдущие формулы, получаем Х= — р~ дч ау+ —," р~У ау, д2Рэ'+ Р др дс с с где М вЂ” масса жидкости, вытесненной телом. Из этих двух фор- мул получаем У+~Х=Му+р~ ',д йй — —,' р~р~дз. При колебаниях тела потенциал скоростей в каждой точке контура С меняется благодаря изменению времени и перемещению точки в силу движения тела.
Определим это изменение потенциала, оно будет иметь следующее значение: Ор др др де де — = — +и — + с — = — — У"'. Вй дс дх ду дс С помощью атой формулымы можемвыражение У+$Х переписать так: У+ ),Х = Мд+ р~ — ой+ — р) Утеря. дар . 1 р рэ1 2 с с Вынесем символ Р/Ж аа знак интегрирования, пользуясь форму- лой — ~ рр дх = — ерг + ~ ер —, В Г Г Врр Г Рде вс,') =~ гн ) ж с с которую можно переписать так: — ерш = ~ — еИ + ~ трд (и — тэ). ю~ =3ж с с Получим Г.ррт хр.~-р —,~ ррр — р~ рр( — ь)-р р р~ р'рр. )2) с с Предположим, что вокруг контура С нег циркуляции; тогда, 6 Л.
Н. Сретенееаа 162 гл к плоскАя 3АдАчА О Весконвчно МАлых ВолнАх пользуясь интегрированием по частям, можем написать, что рр Н (и — 1и) = — ~ (и — рс) Йр. с с Отсюда, вместо формулы (2), будем иметь У + г Х вЂ” Мд + р — ~ рр Иг + р ~ ~(и — го) с рр + — У Нг~ . с с Преобразуем последний член этой формулы. Имеем ~(и — гу)гир+ 2 г сг = (и — гс) ~д(р + 2 (и + гу) г)г 1 1 1 1 рЪ = (и — 1с) ~йр — — Йш~ — (и — Ь) (дрр+ 1йр) = — — — Йш. 2 ) 2 2 р1г (з) После этих подсчетов получаем окончательную формулу: У+ 1Х = Мя+ р —, ~ рр дг — — р ) — дш. (4) ПГ 1 ГЬ вг ~ 2 1 1. Применим эту формулу к той частной задаче, когда движение контура и его деформация периодически зависят от времеви. В этом случае возможно получить для средних значений Х' и У' величин Х и х за период колебания весьма простые формулы.
Возьмем формулу (4) 4 34: ш (г, 1) = ш, (г) соз с1 + ш, (г) з(п с1. Для этой характеристической функции течения интеграл ~ра, с входящий в формулу (4), будет тригонометрическим двучленом относительно соз сг и з(пс1, а потому среднее его значение за период колебания будет равно нулго, и, следовательно, х ~р х = ррр — ' р)((+)'р( — р)') р,.
рр~ Для практического использования этой формулы выгодно преобразовать ее введением функций Г, (рг) и Г, (й). Рассмотрим сначала интеграл 2 26. силы, действующие нА 'гелО ИРи вго кОлеБАниях 1ев Пользуясь выражением (5) Э 34 для функции и1 (г), получаем 1("') 1дх,12 Е Р 2 ~ — „' ~ 22г = 1д(и„+ и12)'222+ 21д(и21+ им)и,з22а+ ~ и2212г. с с с В силу голоморфности функции и22 (г) в нижней полуплоскостн, последний интеграл равен нулю, и, следовательно, — ) 2(г = ~ (ии+и„) 2(2+ 2~ (и11+ и„)и,ее(ю (6) с 1(" ) с с Вычислим первый интеграл правой части: О = ~ (и„+ и„)'11ю с Перепишем этот интеграл так: ~= — ~ (и1 + '.)(и2,+и,',))х.
В точках оси абсцисс частные производные дри е2р12 и дх дх равны по своим абсолютным величинам, но противоположны по знаку, частные же производные д~р22 дт'22 — и ду ду равны друг другу. В силу этого в точках оси абсцисс комплексное число и11будет сопряжено числу — и12. Заметив это, мы моя1ем написать в силу формулы (13) в 34, что Ю и'„,(х) = — 11 Г,(й) 1 е)й. О Отсюда имеем О О и„(х) + и„(х) = — 1~ Г,(й) е1"х2)й — 1~ Гд(й) е-'""2)й. О 0 Обращаясь теперь к формуле (7), имеем О О = 1 ~ (и„+ и„)'дх~ Г1(й)е'2" е)й + О О О Р + 1 ~ (и„+ и,Де)х~ Г1(й) е ™хе)й, 164 ГЛ. К ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ ИЛИ О~ О = о~ Гг(й)г)й ~ (и„+ в1о)е'о е(х+ о О + о~ Г,(й)дй ~ (и„+ и„)е-""й..
о — О Согласно формуле (17) 6 34 имеем ~ (в„+ в„) е'о" дх = — 2яоГ1 (й); вместе с тем О~ ~ (и„+ воо) е-'о" ох = — 2яоГ,(й), Ю (8) Я = 2я ~ Г, (й) Г, (й) <й + 2я ~ Г, (й) Г, (й) дй, о о или Я = 4Л ~ (Г„(й))одй. о Вернемся к формуле (6) и найдем значение интеграла 7 = 2 ~ (вгг + геьо) вгоню с Этому интегралу можно придать такой вид: О У = — 2 ~ (вн + вго) в1о ох. О Внесем сюда значение функции иг„взятое иа т 35, получим Т= — (Г,— (Г,) ~ (в„+в„)е е дх— 0 О ОΠΠ— 4( ~ (вп+вго)дх~ ' е-'о"дй.
ьг, (А) а — оотг оо о так как вдоль оси абсцисс функция в'„ + и,', имеет чисто мнимые значения. Таким образом, о ЗО. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО ПРИ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ $85 Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле и применяя формулу (8), получаем С О Т= — (Го — 1Г,)ГГг — 4о~ ' ой ~ (ш1г+юго)е-о Нх. 8ЯЬо . — . С йГ,(й) Г К й — ооф о О Применяя снова формулу (8), находим о или о о (40) Теперь мы можем составить значение интеграла (6).
Используя формулы (9) и (10), получаем О ~ ( — „' ) Нз = — (Го — оГ,) Г, — 4л~ (Г,(й))ойс— с о о Повторяя в значительной мере предыдущие вычисления, прихо- дим к следующей формуле: ~~ '') Г оыо го 8яооо — ~ е(г = — — (Гг+ оГо) Го — 4л~ (Го(й) )оеой— с о о Пользуясь двумя последними формулами, мы можем рассчитать среднее значение сил за период колебания. Применяя формулу (5), получаем Г+ Х =Ма+ — '"' р)Г.+'ГоГ+ К О ~ цГ (й))о+)Г (й)(о)йй+ — р~ — р~ й — )д о о Отсюда находим отдельно силу Х' и силу У', выполняя небольшие 166 гл. н плоскАя 3АдАчА О Ввсконвчно мАлых ВОлнАх преобразования, получаем 4л2о2 Х' = — р1ш(Г,Г,), г (11) С Г=лр"~ ,'+,г ((Г,(й)('+~Г,®~') (й+Мд.
2 5 37. Определение главного момента сил давления Главный момент сил давления Ь, взятый относительно начала координат, имеет следующее значение: Ь = ~ р(хаша — усоза)2Ь; с а — угол, образуемый с осью Ох внутренней нормалью, проведенной к контуру. Подставим сюда вместо р его аначение, взятое из интеграла Бернулли, и заметим, кроме того, что 1 (х гйп а — у соз а) сЬ = — 2( (гг). 2 Получим 1 = — р)( — — — Р2))(гй) — — ру) уд(гг) 2 з(д1 2 ) 2 с с или 2 ()(1 Ш 2 ) с где $ — абсцисса центра вытесненного объема жидкости. Вынесем операцию 211А21 за знак интеграла, пользуясь соотношением — ~ 2р21(гг) = ) —, д(гг) — 2 Ве ~ г(и — 1с)а2р. с с с Используя формулу (3) 3 36, получим после небольших преобра- зований окончательную формулу для главного момента: Х = Муз+ — р — ~ д21(гй) — — рйе~ г( — ) 11г. (1) С с Будем рассматривать лишь среднее значение Л' главного момента за период колебания тела.
Интеграл ~ 2р д (гг) с 1 зп опгкдвлвник главного момкнта сил длвлвния представляет собою тригонометрический бином относительно сов ах и в)п а~, благодаря этому среднее значение интеграла есть нуль. Отсюда формула (1) упрощается и дает величину среднего момента: где в' — среднее значение абсциссы $. Выразим интегральное слагаемое формулы (2) через функции Г, (Й) и Г, (Й). Рассмотрим сначала интеграл Пользуясь формулой (5) $ 34, записываем этот интеграл в распро- страненном виде: ~ х( — ') оКх = ~ х(иг„, + гого)гдх+ с с +2~ х(иг,„+вгг)юггогх+ ~ хкг,гдх. (3) с с В силу голоморфности функции гого в нижней полуплоскости, последний интеграл равен нулю: (4) хиггго(х = О. с Рассмотрим интеграл я = ~ х(кг„+ югг)ге(х.
с При неограниченном увеличении ~ х ~ функция ге„+ иггг стремится к нулю, как 1! ~ с ~о, в силу этого мы можем придать интегралу Я следующий вид: х (вгп (я) + лагг (и) ) Но наг, (и) + ю„(я) = — 1 ~ Гг (й) емх Нс 1 ~ Гг ()о) елаг,Ц„. о о 163 гл. г. плОскАя зАдАчА О Бнсконкчно мАлых ВОлнАх поэтому Я можно преобразовать к такому виду: О о = с ') х(ш +ш„)с[х~ Гс(й)е1оосЦс+ о О + с ~ х(ш„+ ш„)сСх) Г,(й)е-'о" сгй, О о илн О о = с~ Г,(й) с[й ~ х(ш„+ шсо) есо" ссй+ о (й) )й ~ х (ш [ ш ) е-сом с[й о О Из формулы (8) з 36 следует, что ~ х(ш„+ш„о)е-со" с[й = 2лГ,(й) (5) и, кроме того, х(шп+ ш о)есо" с1й = — 2ЯГ1 (й). Поэтому О О о = 2лс ~ Г,(й) Г,(й)с[й — 2лс' ~ 1',(й) Г„(й)дй, о о или Я = — 4л1ш~ Г,(й)Г,(й)йс.
о (6) Возьмем затем интеграл формулы (3) Т = 2~ г(ш„+ ш,о) шсо(г) дг с и придадим ему следующий вид: О~ У = — 2 ~ х [ш„(х) + ш„(х)) ш,о (х) с[х. Подставим сюда вместо шсо (х) его значение, получаемое из фор- о 37. Опгеделение глАВного моментА сил дАВления (ез мулы (10) $35, получим О оч 4зом — — х Т= — (Г,— (Г,) ~ х(оо„+и„) е з ох— — 41~ '(, дй ~ х(ю„+ ю1о)е-'охйх. АГ,(А) Применим к интегралам, взятым по переменному х, формулу (5), получим Т = — (Г,— (Г,) Г, — 8л(~ А о' г)й.
8лЧФ вЂ”, Г хГ1(х) Г~ (х) о Пользуясь этой формулой и фориуламч (4), (6), находим выражение интеграла (3): ~ г ( — '~ Нз = — (Г, .+ (Г,) Г,— с "йр,(х) 7;(х) — 4Л1ш ~ Г,(й) Г,(й) йй — 8л( ~ д о,' с(й. Выполняя такие же вычисления, мы можем найти величину ин- теграла: ~ з( о ) дг = (Го — (Г,)Гав с — 4л1ш~ Г,(й)Г,(й)8й — 8Л(~ „,' ой.
Сложим почленно две последние формулы и запишем результат, используя главное значение интеграла: ~г[( — „' ) +( — „о )10з= < — (Г,Г, — Г,Го) — 4л1ш~ [Г,(й) Г,(й)+ Г,(й) Г,(й)) Ий— о Ю вЂ” 8Л( ~ „(Го (й) Г~ (й) + Го (й) Го (й)) сУс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
