Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 20
Текст из файла (страница 20)
К этому равенству мы можем присоединить еще условие 12) о зс. волны, возникающив от нвравномврного давлвния 1зз Отсюда получаем граничное условие для потенциала скоростей: Уравнение поверхности жидкости будет (4) Таким образом, задача об установившихся волнах, возникающих от распределенного поверхностного давления, приводится к отысканию интеграла уравнения Лапласа с удовлетворением граничного условия (3).
Помимо условия (3) функция ~р (х, у) должна удовлетворять добавочному условию, состоящему в том, чтобы при у — ~ — оо скорости — дух, — дср!ду стремились к нулю. Представим заданную функцию р (х) в следующем виде: (3) р (х) = ~ [а(й) сов йх+ Ь(й) вшйх) ай, о где, на основании интеграла Фурье, а(й) = — ~ р(а)совйада, Ь(й) = — ~ р(а)в(пйада. (5) 1 Г 1 Будем искать функцию ~р (х, у) в виде следующего интеграла, удовлетворяя условиям в бесконечности: ср(х, у) = ~ [А(й) сов йх -[- В(й) вшйх) еасс[й. (6) о Положим вместе с тем ц (х) = ~ [( (й) сов йх + т (й) в)л йх) с[й. (7) о Отсюда имеем а (Й) р(сов — с) ' А(й) =— ь(а) т(й) = В й са(а) р (со)с — с) ' Функции А (й), В (й), с (й), т (й) подлежат определению.
Пользуясь условиями (1) и (2), находим выражения зтих функций из уравнений а (й) = р [сй В(й) — д( (й)[, — Ь (й) = р [сй'А(й) + лт (й)1, ст (й) = — А (й), с[(й) = В(й). 124 гл. ь плОскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Обращаясь к формулам (6) и (7), находим потенциал скоростей и уравнение поверхности жидкости: с Г Ь(й]совйх — а(й)з!пйх зв „ ср(х, у) — — — ! Р сзй — в с с 1 (' а(й) совйх+ Ь(й] в!пйх (9) в) (х) — — ~ Р свй — а с Как и при решении ряда рассмотренных выше задач, мы можем считать, что путь интегрирования обходит особую точку йо = дlсв в плоскости комплексного переменного. Составим функции (8) и (9), обходя точку йс сначала сверху по маленькой полуокружности, а затем снизу; таким путем мы получим две разных функции ср (х, у) и т) (х).
Возьмем полусумму этих функций и уменьшим обходные пути до нуля; это даст нам главные значения интегралов, через которые и выразятся функции ср (х, у) и в) (х) в следующем виде: (8) с "(' Ь(й)созйх — а(й)з!пйх зв,йй у(х, у) — — — ! Р сзй — а е вИ(с, с 1 '~ а (й) сов йх+ Ь (й) з!и йх в) (х)— Р сзй — в о (10) (11) Здесь надо отметить, что формулы (10) и (11) дают лишь частное решение поставленной задачи; общее решение будет получаться добавлением свободных установившихся волн, и к правым частям формул (10) и (11) должны быть прибавлены соответственно такие функции: с (Р сов — + ~) вш — !еез! ах ах ! сз (12) О сов —, — Рвш «х вх величины Р и Ч произвольны.
Для определения этих величин должны быть указаны, в каждой частной задаче, дополнительные условия. В качестве приложения полученных общих формул рассмотрим один частный пример. Предположим, что на участке изменения х от — е до е давление р (х) имеет некоторое постоянное значение Р„отличное от того, нулевого, значения, какое оно имеет для всех остальных значений переменного х. Для етого частного случая имеем а(й) = — 'в)п)се, Ь(й) = О. $26. Волны, ВозникАющие От неРАВномерного дАВления Отсюда 2рос "Г втйев!пйх йо „ р(х,у) = — ' ««Р 2 й (сей — Е) о (13) 2р, "Г в«пйесовйх пр ) й(сей — д) о Преобразуем по формулам Эйлера составленное уравнение, полу- чим «) (х) ро ( (овхоо«йо е«х-о«й«) 2глр «й(сей — е) с)й р» '«(ем»о«ы е-«х-о)й«) 2«««р й (.»й — е) ' о Перенесем интегрирование на мнимую ось комплексного перемен- ного й.
Будем иметь «)(х) = — вш —, зш —, + — 2« 2ро . йе, дх 2рос' Г вьет е с«т, х( — е; ро со со пр З сото+ Ев о «) (х) = — — з«п — з«п —, 2ро . ае . ах 2р с' Г вЬет рс со со яр А с»то )- ов . е- ««т, хне; о 2Р» де Ех 2Р»со Г с ~о «)(х) = — 'сов —,соз — — — '«2 с)«тхет, ~х~(е. ре со со пр ~ сот'+Ее о (14) Добавим к рассматриваемому волновому движению с потенциалом скоростей (13) волновое движение, описываемое формулами (12). Выберем произвольные постоянные Р и Ч так, чтобы набегающий поток, подверженный внешнему давлению р„' не был покрыт периодическими установившимися волнами. Из формулы (14) следует, что «',) должно быть взято равным нулю, а Р = — зш 2ро ее рд со Таким образом, если набегающий поток не покрыт периодическими установившимися волнами и волны создаются лишь приложенным давлением, то соответствующий потенциал скоростей будет иметь следующий вид: 12В гл.
1. плоснАя зАдАчА О Висконечно в|Алых волнАх и уравнение поверхности жидкости для ( х () е запишется так: 4) (х) = ~ — — овал — в)п — 1+ — 24 е- (х) с(т. (16) 4ра . Вв . вх ') 2расв (' вЬ вт ре св св~ яр ) с~то+до о Интегральное слагаемое этой формулы стремится к нулю с увеличением ( х ~.
Первое слагаемое правой части, взятое в квадратные скобки, присутствует лишь для х ) е и дает периодические установившиеся волны, остающиеся за областью приложения внешнего давления. Следует отметить, что амплитуда этих волн обращается в нуль, если ширина области приложения давления есть целое кратное длины установившейся волны при скорости потока, равной с. В промежуточной области, ( х ~ ( е, имеем 2((х) = —" сов — (х+ е) — — ' ~ СЪтхсат. (17) (2ра в 2расв Г с ат рв са яр З сато+ во о Применим полученные формулы к определению вида поверхности жидкости при давлении, сконцентрированном в одной точке — в начале координат.
Допустим, что длина е стремится к нулю, а давление ро неограниченно растет, но так, что произведение 2еро стремится к конечному пределу Р. Возьмем второй член правой части формулы (16) и, воспользовавшись формулой ЗЪет = ет+ — евтввЬ(бет), 0(9(1, представим его так: а 2р свс вЬет 2врс' " Ра ~ в в е-ха!х) с(вв влас ~ ва е-т)х) ( вр ) сато+ 42 вр ) с4тв-(- дв о о васса 4" тввЬ(звт) + "а вр З сато-~- ео о Абсолютное значение интеграла та вЬ (Ввт),х, д 44тв.( ва о не превосходит суммы чисел 1 1 2с4 Ох ( — Вв) 2са((х(+ Ве) о аь о волнах от нкгавномкгного внкшнкго длзлвнин 127 Отсюда вытекает, что при 1пп 2зро = — Р будем иметь для ] х] ) 0 е о 1[ш — '~~ е- ]Мс[т= — ~~ 2р,со Г оЬ оог е-~!"! 42т.
яр ~ сот2+ до яр ) С22442+ до о При стремлении е к нулю первый член правой части формулы (16) имеет предел, равный 2Р. хх — — З2П вЂ” ' рсо со Все зги рассмотрения показывают, что при концентрированном давлении уравнение поверхности жидкости записывается так: ц (х) = ~ — '— зш — 1+ — ~ ' е-"4М] с[т. (18) ~2Р . ох 1 Рсо Г со рсо со ~ лр ) соосо -[- со о Вернемся к формуле (15) и перепишем ее для рассматриваемого случая концентрированного давления. Пользуясь изложенными здесь соображениями, получаем для ср (х, у) следующее выражение: ср(х, у) = — соз со еооее + — 2 еоо с]й. (19) рс со яро с с о со й 27. О воднахс возникающих на поверхности жидкости конечной глубины от неравномерного внешнего давления Определим вид установившихся волн, образующихся под влиянием внешнего неравномерного давления, приложенного к поверхности жидкости, текущей со скоростью с и имеющей глубину Ь.
При исследовании втой задачи сохраним зсе обозначения з 26 и добавим к граничным условиям (3) и (4) 2 26 условие обтекания дна бассейна: Имея в виду зто условие,' представим потенциал скоростей в следующем виде: 2р(х, у) = ~ [А(й)созйх+ В(й) зшйх] сЫс (у+ Ь) Нй. о Подстановка етого выражения потенциала скоростей в условия (1) и (2) 2 26 дает четыре уравнения для определения неиавестных 123 гл. г. плОскАя ЗАдачА О весконячно мАлых ВолнАх функций А (й), В (й), ! (!с), т (й): а (й) = р [сй с)э ЙЙВ (й) — Й'! (Й)1, — Ь (й) = р [сй СЫсй А (й) + Йтп (Й)), ст (й) = — А нй Йй,с! (Й) = В ай Йй, Решая эти уравнения, получаем а (Й) сой соЬ йй — д ' Й (Й) сой саа ЙЙ вЂ” Х А (й1 = — сй(й), В (й) = са00 сойсвйй — днЬйй ' Р ) сойсийй — аньйй Польауясь этими формулами, находим выражение потенциала скоростей и уравнение поверхности жидкости: о Ч(х)— 1 Г а(й) сон йх+ Й(й) н(э Йх р Э сойсЬЙЙ вЂ” анййй э о (2) При исследовании этих формул могут представиться два случая: 1) скорость потока с больше чем )/ гй; 2) скорость потока меньше чем )' яй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
