Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(14) с с Это уравнение содержит две неизвестные функции д (з) и х (з). Так как при соблюдении этого уравнения условие обтекания контура С удовлетворяется, то отсюда следует, что одну из функций д (з), х (г) можно взять произвольно, и тогда другая будет определяться решением интегрального уравнения типа Фредгольма. Если взять произвольно функцию х (г), подчиненную лишь одному условию, чтобы интеграл ~ х (г) с(г, равный циркуляции потока вокруг контура, имел данное значение, то составленное уравнение определит плотность источников д (з), распределенных на контуре С.
1 21, пРимеРы 101 После того, как выбрана функция х (з) и найдена функция д (г), мы можем определить функцию Г (Ь), а по ней найти силы и момент, действующие на контур, а также и уравнение поверхности жидкости. Все необходимые для этого формулы установлены в предыдущих параграфах. й 21. Примеры Определив с помощью интегрального уравнения обтекания функцию г (г), мы можем тем самым найти функции 1сг(г), и, (г), и~а (г) и, следовательно, построить характеристическую функцию и1 (г), которая даст возможность вычислить функцию Г (Ь).
Через эту функцию можно затем составить уравнение поверхности жидкости и найти величины результирующей силы и момента давлений потока на тело. Полученные величины будут, таким образом, найдены с соблюдением точных условий обтекания. Но так как решение интегрального уравнения представляет значительные аналитические трудности, то обычно для нахождения сил и составления уравнения поверхности жидкости прибегают к приближенному методу Ламба, который состоит в том, что вместо точного выражения функции и, (г) берется характеристическая функция обтекания тела безграничным потоком.
Такой прием может быть оправдан на основании следующих соображений в предположении, что обтекаемое тело находится достаточно глубоко. При этом предположении величина Л„входящая в уравнение (14) 4 20, значительна, в силу чего четвертое и пятое слагаемые в правой части(14) $20 могут быть отброшены. Прибольшомпогружении тела модуль интеграла в равенстве (13) з 20 мал, благодаря этому модуль функции Л1 (г, г') незначителен, и, следовательно, последние два слагаемых в правой части (14) з 20 также могут быть отброшены. После этих упрощений рассматриваемое уравнение приобретает вид уравнения теории обтекания тел безграничным потоком.
Решение этого уравнения приводит к функции иг (г), являющейся характеристической функцией потока, обтекающего контур С. Принимая этот приближенный метод, разберем ряд частных задач. Допустим, что под поверхностью жидкости находится круглый цилиндр, центр которого лежит на глубине Ь, а радиус цилиндра есть а; допустим, что вокруг цилиндра образовалась циркуляция х. При этих условиях будем иметь аа ~ х1 и>1(г) = — с(г+ —.)+ — !п(г+ Ь1); г+ Ы) 2я отсюда аг 1 х1 1 юг(г) = — с (1— ~+ (. + ийг ~ зя а+ ы ' 102 гл. ь плоскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВолнАх Применяя формулу (8) 2 16, имеем г(а)=.— ',)(-.(1 — "„,,)4- —,"' — '„,),- с*. Вычисляя этот интеграл с помощью вычетов, получаем Г (Й) = с( — — аес7е) е-е" ~2л Г (Ь) = — 1( —" — а'е)с) с-'".
~2л Формулы (5) 1 17 дают возможность написать уравнение поверхности жидкости и найти, в частности, форму поверхности далеко за цилиндром: т) = — ~х — — ~ е е"'с'з~в — ', с Эта формула была выведена уже в 2 14 другим приемом. Формулы (12) и (13) 2 14 для сил воздействия потока на цилиндр могут быть снова получены из общих формул (7) и (8) 2 18, так как соответствующая функция Г ()с) уже найдена. Добавим к зтим формулам выражение для момента сил давления.
Применяя формулу (3) ее 19, получаем Л'= е (х — — )~х+ ~1 ~ )1е мл Найдем теперь составляющую Х силы давления потока насимметричное крыло Жуковского, хорда которого расположена горизонтально. Безграничный поток, омывающий крыло Жуковского, может быть представлен в параметрическом виде совокупностью двух формул: сет хС ю= — е ~+ — )+ — )пь 4) 2л (с — ер г=~ — 1л — е+ Ь вЂ” глубина погружения крыла, г и з — параметры, характеризующие раамеры крыла. Вспомогательное комплексное переменное ~ изменяется вне окружности радиуса г.
Функция и (г), входящая в определение функции Г ()е), равна ю + ег, где ю дается формулами (1). Имеем — „' сЬ = ~( —, + — „— )(ь — з)" — с(г — е)'1 104 гл. 1. плоскАя 3АдАчА О Весконечно мАлых ВОлнАх обозначение: — = )ь. е (г — е) се Следовательно, ел '( — ')='(- 11 с л( 1 ~ е-211 сае е е1е с)б е + (г — е) с для больших чисел )., получаем '(-') = — 'я' — ) '" 1 СГ2 Х~ 1 ' /21 в л) "е1 (г — 22)2 2л(г — 22) 1 Пользуясь этим выражением интеграла О' (д/се) и заменяя в фор- муле (4) функцию Бесселя ее асимптотическим выражением, при- годным для больших значений )': У1 (+г — е) = з1п(2).— — л), получаем после ряда вычислений следующую приближенную формулу для Г (///ее): Г( ее) = ( . )гг — ~Л1соз(2)с+р1 — —,л)+ 1 + 1Л2 соз (2)ь — )22 — — л)1 е лье*. 4 Здесь приняты такие обозначения: ге 1— (г — 2е)1 = Лесоз ре, ле 1 — — = Ле з1п)22.
лс г(г — 2е) л г — е = Л,созрп лс г (г — 2е) ге 1— (г — 22)2 = Льзгпрь, Вычислить этот интеграл с помощью известных функций едва ли возможно. Поэтому найдем приближенное его значение; будем предполагать, что число )ь большое, при заданных размерах крыла это будет соответствовать малым скоростям движения.
Применяя метод определения [25') приближенных значений интегралов вида ь ~ / (Л) Е11'(л) С)т а 5 2Ь ПРНМЕРЫ тев Отсюда по формуле (7) з 18 находим силу Х: Х = — (г — е) ~Л, соз ~2Х + р2 — 4 я) + аРО 2 2 2 + Л, 'соз' (2)2 — р2 — — я)~ е-из~с' 2 4 Это выражение показывает, что с увеличением ), т. е. с уменьшением скорости движения, сила Х быстро стремится к нулю. В одном частном случае, когда крыло вырождается в прямолинейный отрезок, интеграл (5) может быть выражен через функции Бесселя.
Для этого случая з =- 0 и интеграл (5) принимает следующий вид: 2к 2к Я ()с) Сгс ( с — 2222 202 Π— Са ОЯ ~ с — 2222 СОО О Щ 2л О О Применяя разложение (3), находим Я (22) = 2пгсУ (2сг) — кУ (юг). Отсюда по формуле (4) получаем для Г ()с) следующее простое выражение: Г()С) = — ~ ХО(2/т) Е-"". О помощью этой формулы возможно найти силы, приложенные к пластинке, и составить уравнение поверхности жидкости.
Ограничимся определением волнового сопротивления и укажем форму поверхности жидкости далеко за обтекаемой пластинкой. Имеем (6) ц = — е зм"УО( — ) з1п — . С С2 Формула (6) позволяет установить интересные особенности силы Х, рассматриваемой в зависимости от различных параметров. Предположим, что размеры пластинки, глубина ее погружения и циркуляция даны; будем рассматривать изменение силы Х в зависимости от скорости движения.
Прежде всего, видно, что сила Х обращается в нуль, если параметр 2дг/с2 принимает значение ук одного из корней функции Бесселя УО. Поэтому для скоростей с, определяемых формулой с= ~/ —. сила Х будет равна нулю. Так как чисел 12 бесконечное множество и с увеличением индекса з эти числа стремятся к бесконечности, то волновое сопротивление обращается в нуль для бесчисленного 106 Гл. ь плоскАЯ зАЛАНА О Весконечно мАлых ВОлнАх множества скоростей, имеющих в нуле предельную точку. Кроме того, при стремлении с к нулю Х быстро убывает. С увеличением же с до бесконечности волновое сопротивление Х также стремится к нулю.
Отметим, что при скорости с, обращающей в нуль Х, будет обращаться в нуль и амплитуда синусоидального хвоста волн, остающихся за пластинкой. Если в качестве данных величин мы возьмем с, я и Ь и будем рассматривать изменение волнового сопротивления в зависимости от длины пластинки (, которая равна 2г, то найдем, что прн длине пластинки, равной( = — ')„волновое сопротивление обращается в нуль. Отметим в заключение, что для избех<ания бесконечной скорости на острой задней кромке крыла надо определенным образом выбрать циркуляцию х. Получающееся значение циркуляции будет в данной задаче теории волн отлично от того значения циркуляции, которое, в согласии с постулатом Чаплыгина — Жуковского, находится в аэродинамике.
Это проистекает, разумеется, оттого, что совокупность аэродинамических формул (1) не описывает в волновой задаче соответствующего потока. Подробное исследование вопроса об определении циркуляции потока вокруг погруженного тела можно найти в цитированной выше работе Н. Е. Кочина [161.
5 22. Теория подводного крыла Рассмотрим крыло, незначительно уклоняющееся своими двумя поверхностями от горизонтальной оси в виде прямолинейного отрезка. Допустим, что ось этого тонкого крыла имеет погружение Ь и расположена симметрично относительно оси координат Оу. Пусть уравнение верхней поверхности крыла будет у = — Ь+~,(х), а уравнение нижней поверхности у = — Ь+ Л (*).
(2) Б пределах изменения х от — ( до 1 функции ~, (х) и ~, (х) имеют значения, малые по своей величине, и удовлетворяют неравенству ~, (х) ) ~, (х); 21 — длина оси крыла. Йа рассматриваемое тонкое крыло набегает со скоростью с поток жидкости бесконечной глубины. Будем считать движение жидкости установившимся и найдем силы, действующие на крыло. Характеристическую функцию Иг (з) потока представим в виде суммы двух членов: — сх, изображающего основной поток, и сла- 2 22. тнОРНЯ ПОДВОДНОГО кРылА тот и) (г) = и, (г) + ил, (г) + йз (2).
Пусть функция и!! (г) будет представлять поток, создаваемый в безграничной я<идкости простым слоем источников мощности д Я) и вихревым слоем циркуляции х ($); имеем и)! (г) = — ~ Г (ь) 1п(г — ь+ Ь!) <1$, где г($) = дЯ)+ )хЯ). Функция и<2 (г) пусть будет определяться интегралом и)2(г) = — — ~ г($)1п(г — е — я!)<1$, 1 Г 2я з (4) где у ($) = д Я) — <х Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
