Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Изложим приближенное решение задачи о волновых движениях, вызванных движением круглого цилиндра над горизонтальным дном. Эту задачу мы решим, заменяя действие цилиндра действием одного диполя, который в случае неограниченной жидкости заменял бы собой обтекаемый цилиндр. Пусть скорость набегающего потока вдалеке перед цилиндром будет с, глубина потока Н и глубина погружения центра диполя под свободной поверхностью й; момент диполя, заменяющего цилиндр радиуса а, будет — 2яагс. Потенциал волновых скоростей ф (х, у) удовлетворяет прп у == — Н условию 78 ГЛ. Г.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БВСКОНВЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ В силу условий (1) и (2) эта функция будет удовлетворять следуюп(им граничным условиям: — — — — — для у= — Н, д(Э дср„д<ро ду ду ду (4) досэ д дсэ 28 дсро у — О. дхо со ду со ду лля у= Правые части этих условий являются нечетными функциями переменного х, поэтому будем искать функцию Ф (х, у) в виде следующего интеграла: (5) Ф (х, у) = ~ (АсЬйу+ ВяЬйу) яшйхс)1с; о (6) А и  — две неизвестные функции переменного й, подлежащие определению.
Путь интегрирования идет по плоскости комплексного переменного й, начинаясь в точке 0 и кончаясь в точке +оо, Для определения функций А и В воспользуемся граничными условиями (4) и (5). Эти условия приводят к следующим равенствам: ( ~ й (А яЬ ЙН вЂ” В СЬ Й Н) я(п Йх с) 1с = о 2аос(я+А)х 2аос(77 — А)х [хо.( (77+А)о)о (хо ( (77 А)о)с 1(' — — ) ~йоА — — В) яш йх с(й = 4аодах со ) с (хо+ Ао)о о Применяя к этим двум равенствам формулы обращения преобразования Фурье, получаем два уравнения: А яЬ ЙН вЂ” В сЬ 1сН = — 2аосе-но яЬ Йй, йА — ~ В = — оаое-ьо.
со с (7) Детерминант этой системы уравнений Л (й) = — о яЬ ЙН + й СЬ 1с Н обращается в нуль для бесконечного числа чисто мнимых значений 1с = 1(с)Н, где рс — корень уравнения Сд( = — ' (8) Если, кроме того, скорость с не превосходит )1уН, то Ас (й) будет обращаться в нуль для одного действительного положительного 15. дВижение цилиндРА под НОВеРхностью 1кидкости 71) значения)си равного ему, но противоположного по знаку отрицательного й. Если же с ) ~/уН, то уравнение Л (й) — 0 не будет иметь действительных корней. Допустим, что путь интегрирования в формуле (6) выбран так, что он не проходит ни через один из корней уравнения Л (й) = О. Решая систему уравнений (7), получаем возможность ааписать выражение функции Ф (х, у) так: Ф(т, у) =- — 1 ) с)сй(Н вЂ” Ь) с)с)су+ 2авя Г + (е "в я)с йН + — 'е-и" яЫсй) я)с йу1 — '* Ис.
(9) / 1 А(а) Приступая к анализу этой формулы, которая в соединении с формулой (3) дает частное решение граничной задачи (4), (5), допустим сначала, что скорость потока с больше чем ~/уН. В этом случае путь интегрирования в формуле (9), который шел по комплексной плоскости, можно расположить по полоясительной части оси абсцисс. Пользуясь формулой (1) з 9, мы можем найти форму поверхности жидкости. Выполняя вычисления, имеем „„ав ~ св) (Н вЂ” А) соя )сх с)й. — сь)сР— св вв)сУ ссв (10) Повторяя те соображения, которые в з 13 привели нас от формулы (14) к формуле (23), мы можем и в данном случае преобрааовать интеграл (10) в бесконечный ряд, располоясенный по вычетам подьпггегральной функции. Выполняя необходимые вычисления, получаем )х) ц = — „,Г~ (11) а=с где Π— А савв Суммирование распространяется на все положительные корни р„ уравнения (8).
Формула (11) показывает, что при скорости потока, превосходящей )~~Н, поверхность жидкости имеет форму, симметричную относительно вертикали, проходящей через центр сферы; по мере 80 ГЛ. !. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Ч =а' с)1 )с ! Еà — Ь) соз йх д)с. х са ЕН вЂ” — з)1 Есб 1 Возьмем затем путь интегрирования Гю симметричный пути Г, относительно оси абсцисс. й1ы получим тогда по формуле (9) новый потенциал. Функция 1)„соответствующая этому потен- циалу, может быть представлена формулой 2 1 саа (н ь) )с с()с с г,-!.г, сса с)1 АН вЂ” ~ я'а и Н Г, — путь, симметричный пути Г, относительно начала координат.
Возьмем теперь полусумму потенциалов Ф, и Ф,; потенциалу '/, (Ф, + Фс) будет отвечать поверхность жидкости, определяемая уравнением 1! = — ас ! ., Г сьй(Н вЂ” Ь) соз Йх сУс + г,~-г, сса сЛ А)à — —, аа Ао + —, аа ! . Г сЫс(Н вЂ” Ь) в К соз )ск д)с.
г ег„сса с)1 ЙН вЂ” — з)1 а)г (12) Преобразуем эти интегралы в бесконечные ряды. Это преобрааование выполняется такиы же контурным интегрированием, каким был выполнен при с) )ссдНпереход от интеграла (10) к ряду (11). Но в данном случае надо еще принять во внимание вычеты от действительных полюсов )сс и — )с„присущих подынтегральной Удаления от этой вертикали ордннаты поверхности очень быстро убывают, и поверхность жидкости не имеет волнистого вида. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда скорость потока меньше чем ) грН.
В этом случае интегрирование в формуле (9) нельая вести по оси абсцисс, так как на этой оси будет точка )с = )с„обращающая в нуль функцию Л ()с). Возьмем сначала в качестве пути интегрирования сложный путь Г„состоящий из отрезка оси абсцисс (О, яс — е), полуокружности у, с центром в точке )сс и радиуса е и бесконечной полупрямой ()с + з, сс); полуокружность у, лежит выше оси абсцисс. Возьмем наряду с этны путем путь Г„симметричный пути Г, относительно начала координат. Этот путь будет иметь в качестве составной части полуокружность у,' в нижней полуплоскости.
Потенциалу Ф, (х, у), построенному для пути Г„будет отвечать функция ц„определяемая формулой 1 1о, движение цилннд1'А под повРРхностью жндкостн я1 функции прп с Р яН; отметим, что й,)0 — корень уравнения с = ~ ной«Н. Ьо Выполння необходимые подсчеты, получаем уравнение поверхности жидкости: о Н1 2иао 4«1~Ь«с1оо . 2лао % 1 Ра н 11 =- .+ — ' з!пйох -1- — ~(1 с (13) 1! сао 4 — «И!оо ' ' Н где 1=й Н, В этой формуле знак « — » у первого члена берется для х ) О, знак «+» берется для х ( О.
Бесконечная сумма, входящая в эту формулу, дает возвышение поверхности жидкости, симметричное относительяо начала координат и быстро стремящееся к нулю по мере удалеяия от начала координат. Первое же слагаемое дает с обеих сторон от начала координат периодические синусоидальные волны; длина этих волн равна длине установившейся волны, обрааующейся на поверхности жидкости, текущей со скоростью с. Найденный нами потенциал скоростей 1р (х, у) соответствует частному решению уравнения Лапласа с неоднородными граничными условиями (4) и (5). К этому потенциалу мы можем добавить как решение однородной граничной задачи потенциал скоростей установившихся волн, возникающих на поверхности жидкости, текущей со скоростью с. Такой потенциал и соответствующее ему возвышение поверхности определяются формулами (4) и (5) из з 9.
Выберем постоянные А1 и В„входящие в эти формулы, так, чтобы при наложении на волны (13) соответствующих установившихся волн поверхность жидкости вдалеке перед обтекаемым цилиндром не была покрыта периодическими синусоидальными волнами. Такое новое, добавочное условие задачи приводит к следующим значениям постоянных А д и В,: А=2 д с1оЬ~ В=О. о с!о»4 — «Н1«о ' При наложении новых установившихся волн потенциал скоростей движения жидкости, обтекающей погруокенный цилиндр, будет определяться формулой (3), к правой части которой должно быть добавлено еще слагаемое ~р'(х, у) = — Ь»4 Н „с)1 ' Н $соайох.
(14) 2яаоа с1о Ь4 Н+- П 32 гл. 1. плоскАя зАдАчА О зесконйчно мАлых ВольАх Выпишем окончательное уравнение поверхности жидкости: 0 (м 2яаг г 1 Ес Н 14каг ССЬЬССЬ| н,~л '( н ь ~ — ~1г(. З1п йсх~ . (1б) Заметим, что сумма двух последних интегралов может быть заменена главным значением интеграла по Коши. Возьмем формулу Чаплыгина: Х вЂ” Г = —, р( ~ ®' (г; с интеграл берется по контуру С, окружающему диполь г = — йй Имея своей задачей найти лишь проекцию Х, ограничимся вычислением мнимой части интеграла формулы Чаплыгина; имеем Х = — — р1ш~( — „) дг. с Представим функцию и (г) около точки г = — й( в следующем виде: асс и (г) = — — „+ 6 (г), где 6 (г) — функция, голоморфная около точки г = — йй Из этой формулы получаем сЪ асс — „., + 6'(г), откуда, пользуясь теоремой о вычетах, находим ( — ) аг = 2а с~ .
г(г = 4Я(а с6" ( — й(). 1( ~ / аш '1г Г о' (х) (, аг) с (с+И)с с с Слагаемое, взятое в фигурные скобки, присутствует лишь для х ) О и определяет собой установившиеся периодические волны, развивающиеся далеко за цилиндром. Обратимся теперь к определению сил воздействия потока на цилиндр; ограничимся при этом вычислением лишь горизонтальной слагающей общей силы давления. Составим с этой целью комплекс- ную функцию обтекания цилиндра. Пользуясь формулами (3), (9), (14), находим асс асс ш(г) = — сг + — —,+ х — Й1 х+й( 2ласг сЬ ЬГ + „,, соей,(г+ Н() + + — ~ (Аэшйг+ (Всозйг)~й+ — ~ (Аэ(пйг+ (Всозйг) г1й.
(16) (Г 1 г, г, 84 гл. и плОскАя зАдАчА О ввсконечно мАлых ВОлнАх Таким образом, волновое сопротивление Х будет иметь при $ =- О минимальное значение, если Ь ) у'8/15; для остальных значений числа Ь волновое сопротивление имеет при $ = О, т. е. при г 4 И З Ы Ы 14 Рис. 2. с = )ГфХ, максимальное значение. При стремлении $ к бесконечности, т. е. при убывании скорости потока до нуля, М стремится к нулю. Это простое исследование выясняет в общих чертах зависимость волнового сопротивления от скорости. На рис.
2 приведены результаты подсчета величины ЛУ Х! Н1 для ряда значений параметра Ь: 1 1 1 3 1 3 16 7 .~/ 8 3 13 7 18' 8' 4' 8' 2' 3'23'1О' У 13' 4'18' 8 1Е. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИР ТВЕРДОГО ТЕПА 85 С при изменении числа Е = —; —, именуемого числом Фруда, от )/хн нуля до единицы. Кривые на рнс. 2 указывают на значительное волновое сопротивление при малых погружениях цилиндра (для Ь, близких к единице); с увеличением погружения цилиндра волновое сопротивление значительно уменьшается для большинства значений числа Фруда. При Ь = )/8/15 меняется характер экстремума в точке Е = 1. Для значений Ь ) 1/8/15 кривые волнового сопротивления имеют резко очерченный максимум; при уменьшении Ь от 1 до )/8/15 этот максимум убывает. Присутствие максимума можно заметить и для значений Ь от )/8/15 и до 0,7 (приблизительно).
Для значений Ь (0,7 волновое сопротивление монотонно увеличивается с увеличением числа Е; быстрота увеличения волнового сопротивления наиболее значительна для чисел Е, блиаких к единице. Обратим теперь внимание на следующий важный факт, связанный с отсутствием за цилиндромиериодическоговолнового хвоста прн с ) )/~Н. Если мы станем вычислять для таких значений скорости с величину Волнового сопротивления Х, то получим в результате Х = О. В самом деле, пользуясь формулой Чаплыгина, мы найдем для Х и в этом случае выражение (17), но в правой части формулы (16) будет отсутствовать четвертое слагаемое, так как это слагаемое было присоединено к потенциалу скоростей (3) для устранения периодических волн впереди цилиндра; эти волны развиваются при с ( ~Г~Н, для с ) )/ дН таких волн нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
