Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Верхний и нижний потоки будут иметь по отношению к новой системе координат скорости с,' = с, — У и с,' = с, — У. Введем в формулу (6) вместо с, и с, новые скорости с„' и с,', получим А —— 2л (сс+ (г) Рс+ (с~ + (1 ) Р Р1 Р1 Решая это уравнение относительно У, находим У = ' ' ' ' + 1 ~ Р' Р' — Р'Р' (с, — с,)'. (9) рс+ р1 р 2л рс+ р (рс+ р1)1 Этой формулой определяется, таким образом, скорость прогрессивной волны длины ), распространяющейся по поверхности раздела двух неограниченных потоков, имеющих скорости с,' и с,'. Из формулы (8) вытекают различные следствия, например: длина волны А не может быть меныпе, чем 2л р,р, с'О с 1 (с1 с2) с 1 2 и скорость ее распространения есть Г7 Р2 1 + Р1 1 Рс+ Р1 Всякой длине )„превосходящей ).„Отвечают две скорости распространения; если )1 будет меньше, чем 2 1 2т сс Рз+ с1 Р1 )11 Рс Р1 1 1ь ОВ энеРГии Волн то эти скорости будут одного направления и одна из них будет больше, чем 7/„а другая меньше, чем ~У2.
Одна из воли длины Л, будет обладать скоростью 26 „а другая — нулевой скоростью, т. е. будет установившейся волной. Волны длины, превосходящей Л„будут прогрессивными и распространяющимися в противоположных направлениях. При неограниченном увеличении Л скорости этих волн становятся все ближе и ближе к скорости (8) прогрессивных волн на поверхности раздела двух жидкостей, не имеющих основных скоростей движения.
$ 11. Об энергии волн Рассмотрим стоячие колебания, возникшие на поверхности жидкости глубины я. Возьмем часть движущейся жидкости, заключенную между дном и двумя вертикальными прямыми л .= = — — яй, л = я(й, отстоящими друг от друга на расстояние, равное длине волны.
Найдем кинетическую и потенциальную энергию такой массы жидкости. Все движение жидкости описывается двумя формулами (11) 3 3. Из этих формул имеем для величины скорости частиц жидкости такое выражение: 2 азд2а2 У2 =,, „2а„[сЬ2й(у+ Ь) — сов 2ях) соззо1. Отсюда кинетическая энергия Т рассматриваемой массы я.идкости будет равна -,.м Т= '.,~,," соз2О1 ~ г(х ~ (сЬ2й(у+й) — соз2йх]Ну. —:~т — ь Верхний предел внутреннего интеграла можно заменить нулем при взятой степени точности всех подсчетов, и мы получаем, польауясь формулой (8) з 3, Т 4 Дра Л соз О1 (1) Найдем потенциальную энергию 12 рассматриваемой массы жидкости: юа о— Пользуясь выражением функции 2) (х), получаем 1 2 2 1 0 = — йра2Л зш' а1 — — дой2Л.
2 Условимся считать, что при отсутствии волн, т. е. при а = О, 52 ГЛ. 1, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЪ|Х ВОЛНАХ потенциальная энергия жидкости равна нулю. Тогда выражение потенциальной эяергии волны будет Й = — драл)л э[па ад 4 (2) Складывая почленно формулы (1) и (2), находим, что при наличии стоячих волн полная механическая энергия яаидкости, заключенной между двумя вертикалями, разделенными длиной волны, есть число постоянное и равное П = —,ура'). 1 (з) [1ак видно, полная энергия не зависит от глубины канала; формула (3) будет применима, в частности, и для жидкости бесконечной глубины. Определим полную механическую энергию стоячих колебаний слоисто-неоднородной жидкости; обратимся для этого к формулам е 5.
Для колебаний первого рода имеем 1 Т = 4 е [р1+ (ра — р1)е " ]а 2 Соз 011 1 Й = — я [р„+ (ра — р,) е-'"л] аа) з[ваа1, и, следовательно, 1 П = 4 к [р'+(ра — р,)е~~"] а'л., Следовательно, полная механическая энергия в колебаниях второго рода будет П 1 дР~а ) [( р)+реала! Рз Ра Это выражение может быть переписано в ином виде, если вместо амплитуды а внешней волны ввести амплитуду Ь внутренней волны: П = — Ра Р1 еЬа)„[р -]- (р — р ) е-алл] (5) Ра Эта формула показывает, что при данном количестве полной энер- гии амплитуда внутренней волны увеличивается с уменьшением разности плотностей. где а — амплитуда Для колебаний 1 Т=— 4 О— 4 колебаний внешней поверхности. второго рода имеем ) [(ра — р,) + р,е'лл] созе а1, Ре — Ра 'А [(Р, — Ра) + Р,е'""] з1па ай Ра — Ра 1 !1.
ОВ ЭНЕРГИИ ВОЛН Подобного явления не наблюдается для колебаний первого вида, как это следует из формулы (4) после введения в нее амплитуды внутренней волны: П = — дЬ2Х [(о2 — р2) + оге222). (6) Обратимся теперь к вычислению энергии прогрессивных волн. Как и для стоячих волн, будем вычислять энергию объема жидкости, заключенной между двумя вертикалями, отстоящими друг от друга на длину волны Х.
Пользуясь формулами (7) 2 6, находим для квадрата скорости частицы жидкости следующее выражение: Р' =,, „[ОЬ2й(у -[-Ь)+ соя 2(йх — О1)). Отсюда кинетическая энергия будет определяться формулой Х~+Л 2 Т =, 2;„„~ дх ~ [сЬ 2й (у + й) + соя 2 (йх — О1) [ ду. х. Выполняя интегрирование, получаем Т = — ура Х. 2 4 Вычислим затем потенциальную энергию: х2+Л 2 Ха где т[ определяется формулой (2) $6. Выполняя вычисления, получаем в предположении, что при отсутствии воли потенциальная энергия равна нулю, 1 П = — дра2Л. 4 Таким образом, кинетическая энергия прогрессивной волны равна ее потенциальной энергии, и полная энергия будет П = — ура Х.
2 2 Пользуясь вычислениями, которые привели к формулам (5) и (6), можно без труда написать формулы для полной энергии прогрес- сивных волн первого и второго вида соответственно в случае не- однородной жидкости: 1 П.= 2Т =- 2П = д524 [(р, р„) [ р,е222) П = 2Т = 20 = — рэ р' у522 [о, [ (р 1, )е-222[ 2 р, ЗА гл. 1.
плОскАя зАдАчА О весконнчно мАлых волнАх б $2. Образование волн пульспрующям 11сточнпком Потенциал скоростей Ф (л, у; ~) удовлетворяет следующему граничному условию при у = О: дане дев —., +д —.=О. еяв дд Положим ш (х) = тр + ттр. Из граничного условия длн Ф будет вытекать следующее условие для функции ер: д~р са ду д Этому условию можно придать следующий вид: 1ш ~ — + труш) = О, / еЬе (2) где т = ОЧд.
Полученное условие для поверхности жидкости, находящейся в периодическом движении, имеет место для жидкости любой глубины. Предположим теперь, что под поверхностью жидкости на глубине Ь находится источник, дебит ~ которого изменяется периодически с течением времени, обладая частотой о: Ч = д соз ай Тогда функция ш (л) будет иметь вблизи точки л ==- — еет следующий вид: (л) = — —,' )п(в+йт)+... *) Здесь автор на полях рукоапсп указывает работу 10. М.
Крылова [ЗО) о днфракцнн волн жпдкостн. (Приее, редЭ Во всем предыдущем изложении мы предполагали, что внутри движущейся жидкости нет никаких особенностей, благодаря чему потенциал скоростей представлял собой, следовательно, правильную гармоническую функцию во всей области, занятой жидкостью. Но для решения наиболее интересных задач теории волн надо рассматривать волновые потоки с особенностями е).
Рассмотрим сначала потоки с изолированными особенностями, причем наибольшее внимание уделим потокам бесконечной глубины, когда решение всех задач достигается исключительно просто применением методов теории функций комплексного переменного. Сначала мы рассмотрим течения бесконечно глубокой жидкости, обладающие по времени некоторой заданной частотой о. Возьмем характеристическую функцию течения И'(л, ~) в следующем виде: И (ле 1) ш (х) сов От (1) 1 12.
ОБРАЭОВАние ВОлн пульсиРующим истОчникОм зв ггг д — = — — — + ~Ь 2п г+ А1 Отсюда вытекает, что функция комплексного переменного иг — + 1тю+ — ~ + 1т!п(г + Й1)1 м,. д Г 2п ( г+Ь1 (3) будет голоморфна во всей области, занятой потоком, т. е. для 1гп г(О. Заметив это, рассмотрим следующую функцию: /Им , т д Г 1 1 .
2+А11 Р(г) = ( — + 1ти )+ — 1, + +1У1п — ' (, Нг 2Я (г+А1 г — 1и г — Иъ При г действительном выражение, заключенное в фигурные скобки, имеет действительные значения; сумма первых двух членов также действительна при г действительном, как об атом говорит формула (2). Таким образом, функция Р (г) принимает вдоль оси абсцисс действительные аначения; эта функция, будучи составлена из функции и~ (г), определенной в нижней части плоскости, имеет первоначально значения только в атой части плоскости. Но так как функция Р (г) имеет действительные значения вдоль действительной оси, то она может быть продолжена аналитически через эту ось на всю верхнюю полуплоскость, получая для комплексно сопряженных значений аргумента комплексно сопряженные значения. Как было отмечено выше, функция (3) не имеет особенности в точке г = — Ь1; в этой же точке не имеет особенности и сумма — ~ — — 1т !п (г — й1)1 .
д Г 1 2п ( — 1М при больших значениях ~ г ~. Модуль производной г(в/г(г дает величину скорости; будем предполагать, что в удаленных частях плоскости эта скорость стремится к нулю и, следовательно, огранпчепа некоторой величиной г' ) О. Приняв это, возьмем на Следовательно, функция Р (г) будет голоморфна в нижней полу- плоскости; отсюда вытекает, что после аналитического продолжения через действительную ось функция Р (г) будет голоморфна на всей плоскости комплексного переменного г.
В удаленных частях плоскости переменного г сумма первых двух членов функции Р (г), а равно и выражение в фигурных скобках ограничены по модулю. Найдем затем ограничение для функ- ции об ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАНА О БКСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ плоскости какую-нибудь точку г, и рассмотрим формулу е г ыю ю(г) = ю(го) + ~ — дг. Не ее Из етого равенства получаем ! ю (г) ! ~ ! ю (го) ! + Уо ( г — г, (. Отсюда следует, что функция (4) растет при увеличении ) г ! до бесконечности не быстрее, чем линейная функция переменного г.
Отсюда вытекает по обобщенной теореме Лиувилля, что функция Е (г) сводится к линейной функции Р(г) =А +В(г). Таким образом, для определения функции и (г) мы получаем следующее дифференциальное уравнение: — +очо+ — ~, „, +от!и „.(=А+Вг. (5) Нм . Ч ( 2г, о+Ае1 Интегрируя зто уравнение, находим ю (г) )е~о — ье ( г ( А в т г вт 1 )В ' Е-Ье Ц~ д о+АО О . Г еЬС 2л е — ИО я ОЬ вЂ” АЕ о где К = Веха есть постоянная интегрирования. Эта постоянная будет определена ниже из дополнительных условий. Рассматривая вместе зту формулу и уравнение (5), легко обнаружить, что при погружении на бесконечную глубину производная А~Яг стремится к В/(от), но так как скорость в бесконечности равна нулю по допущению, то В = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
