Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Что же касается величины А, то ее можно приравнять нулю за счет увеличения функции ю (г) на постоянную величину. Таким образом, функция ю (г) будет определяться формулой е ц> (г) Веоае-ье )и е — ье е(~ (б) е+АЕ о е еех 2я е — Ио л ~~ — Ао о Найдем поверхность жидкости по формуле которая в рассматриваемой задаче принимает следующий вид: Ч = — — з 1п О~ ( йе ю (г)) о о. К 1 тг. ОВРАЗОВАние Волн пульсиРующим источником з7 Пользуясь формулой (6), получаеът х аЛ аа мх Г ~ьвец т) = — — сов(ух — а) ятп от+ — яш ае Кее-мх т— г яе ,) ь — лт Для х, близких к положительной бесконечности, эта формула запи- сывается так: ц = — — а[В соя(тх — а) — д(А соя тх+ Вяштх)[я[пот, (8) г где т с ""ся1 А+Вт = — )— =,т ) с-л о При стремлении х к отрицательной бесконечности формула (7) принимает вид а т[ =- — — [В соя (Ух — а) — д (А соя Ух — В яш Ух)[ яш ой (9) Таким образом, далеко за источником колебаний, как вправо, так и влево от него, поверхность жидкости покрыта стоячими волнами.
Из формул (8) и (9) видно, что амплитуды и фазы этих волн содержат произвольные величины В и а. Для определения этих величин следует применить условие излучения, к составлению которого мы и обратимся. Ераничное условие (2), которому удовлетворяет функция ит(г), остается без всякого изменения, если вместо функции И'(г, г), входящей в формулу (1), мы возьмем функцию И', (г, г), определяемую так: И'г (г, т) = И' (г, т) + Х,е '"' яш От, (10) где К, — произвольное комплексное число: Хт = Вге'"ч Добавочное слагаемое определяет движение от стоячей волны, имеющей уравнение аВ, т) = — соя(ух — а,) соя ад г Присоединяя эти свободные колебания поверхности жидкости к тому двилтению поверхности, которое дается формулой (7), получаем более общее решение задачи: а7т аВ, т) = — — сов (Ух — а) Яш от+ — ' сов (Ух — ат) сов От'+ г г х аа е е'"ха~ + ~ яш ат Кее-"" .
(11) яг гь — лт' е ГЛ. З ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Из этой формулы находим, что для х = сс и для х = — со имеем соответственно следующие уравнения волновой поверхности; т[ = — — [Л соя (тх — а) я1п о1 — Л, соя (тх — а,) соя о1] -]- я + — ~ (А соя тх + В я1п тх) яш о~, (12) т[ = — — (Л соя (тх — а) яш о~ — Л1 соя (тх — а1) соя о~] -]- У + — (А соя тх — В я[п тх) я [п ос. ос Потребуем, чтобы поверхность волны была симметрична относительно оси х = О.
Это условие приводит к заключению, что углы а и а, должны быть нулями. Возможное равенство нулю Л или Л, должно быть отброшено, так как при этом предположении мы пришли бы к случаю только что разобранному. При а = а, = О уравнение (12) для положительных х может быть записано в следующем виде: ц = — [(Л, + Вд) соя(тх — ос) + (Л вЂ” Ад) яш (тх — о~)] + 2д + — [(Л, — Вд) соя (тх+ о~) — (Л вЂ” Ад) вш (тх+ о~)].
(13) Первая строчка в (13) изображает прогрессивную волну, распространяющуюся в направлении увеличивающихся х; вторая строчка изображает волну, распространяющуюся из положительной бесконечности к источнику. Поставим условие излучения: в направлении к источнику не должны идти прогрессивные волны как из положительной бесконечности, так и из отрицательной бесконечности. В силу этого условия вторая строчка в уравнении (13) должна пропадать, и мы получаем, в силу этого, два уравнения для определения Л и Л;. Л,— Вд=О, Л вЂ” АО=О.
При соблюдении этих уравнений вид поверхности жидкости справа от источника, на большом от него удалении, будет представлять собою прогрессивную волну Л соя (тх — о~), я уходящую в область положительных х со скоростью с = о/т = = у'д~~, присущей прогрессивной волне длины 2я!т.
Коэффициент В может быть вычислен так. Мы имеем уравнение $ 12. ОВРАВОВАние ВОлн пульсиРующим источником 59 Применяя теорию интегральных вычетов, находим, что последний интеграл равен 21е-"л, откуда В = е "". Следовательно, ц = — е-" соя(ух — о1). да х (14) Это — уравнение поверхности жидкости для больших положи- тельных х; для отрицательных х, больших по своей абсолютной величине, найдем ) = ео е-.лсоя(ух+ о~).
е (15) Таким образом, при взятом выборе величин а, а1, В, В, соблюдается условие излучения, благодаря которому в обе стороны от источника распространяются одинаковые прогрессивные волны. Пользуясь найденными значениями постоянных К и К1, мы можем написать выражение характеристической функции И', (г, 2), отвечающей поставленным условиям излучения, в таком виде: И',(г, 1) = д(АсояоС+ е- ляшое)е-1"— г д е+61 — — )и соя о~ — — соя о~е-"- ") зо е — Ь1 л 1 ь — Ь1 ' о (16) где 1 ( 1 Соят~ — ля1ат9 Р+ Аг о Вернемся к формуле (11) н придадим ен окончательный вид, используя найденные значения величии а, а1, В, В,.
Получим ц = — е-"'соя(ух ( ог) — — я'ш о1 йее-1'е '~ .; (17) Ео ... до е яе Й верхние знаки берутся для положительных х, нижние — для отрицательных х. Рассмотрим изменение амплитуды а уходящих прогрессивных волн в зависимости от частоты о, ~меем а = — е-И-Л1Е (16) При изменении о от нуля до ф' д!2й амплитуда монотонно увеличивается от нуля до д/)~ 2еуй; при дальнейшем увеличении частоты о до бесконечности амплитуда а монотонно стремится к нулю.
Рассмотрим теперь образование волн двумя источниками, симметрично располон1енными относительно оси Оу; пусть 60 ГЛ. Х ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ дебиты 1,11 и Щв этих источников будут Ч1 = О сов (ог — е), ф, = усов (ог+ е). Обозначим через 21 расстояние между источниками. Применение формул (14), (15) позволяет без труда найти уравнение поверхности жидкости для больших аначений ) х (; имеем Ч = — е "" сов (т1 -~- е) соя (тх + о~). 2до х Отсюда находим амплитуду а, волн, уходящих в направлении увеличивающихся х, и амплитуду а, волн, уходящих в направлении уменыпающихся х: а — е-"" сов (т( — е), 2во 1 а, = — е-" соя(т1+ е).
2до Исследование величин а, и а в зависимости от частоты приводит к интересным заключениям. Зависимость а, от о может быть записана так: / о11 а1 = 2а соя ( — — е), (,в где а определяется формулой (18). Отсюда видно, что кривая, изображающая а, кан функцию от о, имеет бесконечное число экстремальных ординат и вписана между двумя симметричными кривыми 2а (о) и — 2а (о).
Экстремальные ординаты кривой а, отвечают частотам, удовлетворяющим уравнению кроме того, для бесконечного числа частот о = ве~ —, У Я_#_+ — Я+в 2 ордината кривой а, обращается в нуль и, следовательно, наблюдается полная интерференция двух прогрессивных волн, обравующихся действием двух рассматриваемых источников. Затем, при каждом О найдется такая разность фаз е, что амплитуда а1 будет обращаться в нуль, т.
е. будет снова наблюдаться полная интерференция. Аналогичные заключения можно вывести и в отношении амплитуды ав. 5 !3. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ 61 5 13. Задача о пульсирующем источнике, находящемся в жидкости конечной глубины Простые соображения, основанные на методах теории функций комплексного переменного, поаволившие решить задачу об источнике, находящемся в жидкости бесконечной глубины, не дают, однако, возможности решить аналогичную задачу для источника, находящегося под поверхностью жидкости конечной глубины. Для решения такой задачи придется пользоваться другими методами, которые с большим успехом прилагаются к решению пространственных задач.
Допустим, что под поверхностью жидкости глубины Н находится источник, дебит которого с! Меняется с течением времени, следуя гармоническому закону при частоте О и амплитуде д: (1 = д соз О1. Предположим, что источник находится в точке Я с координатами (О, — Ь). Мы имеем в виду определить периодическое волновое движение, обладающее частотой О. Возьмем потенциал скоростей Ф (х, у; 1) движения жидкости и представим его так: Ф (х, у; 1) = Ф, (х, у) соз а1. Функция Ф, (х, у) имеет в точке Я (О, — Ь) особенность вида — — 'х! *'Т ь-~м* характеризующую источник. Рассмотрим одновременно вспомогательный сток в точке Я' (О, Ь); потенциал скоростей этого стока будет — 1п у' х'+ (у — Ь)'.
Приняв это, представим потенциал скоростей Ф, (х, у) в виде суммы двух слагаемых: Ф,(х, у) = <р(х, у) — — 1и !, д / хх+ (д+ А)! (2) где !р (х, у) — интеграл уравнения Лапласа, правильный в области течения жидкости — «, — и< у<О. Функция Ф, удовлетворяет следующим граничным условиям: 62 Гл. 1. ЛлоскАя 3АдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Отсюда получаются граничные условия для определения функции ф (х, у): ( — ~,= дф ') д( н+а ду/х= и 2я (хг+(Н+А)г (=- — ),=.= дф ог ') уь ду х ф/о=о я (хг+ Иг) ' Н вЂ” Ь хг+(Н А)г)~ (4) Будем искать функцию ф (х, у) в виде следующего интеграла: ф(х, у) = ~ ((АСЬйу+ ВяЫсу) соя йх+ (Сс)гйу+ РЗЬйу)я)пйх)~й, (5) где А, В, С, Р— некоторые функции переменного й; эти функции мы определим из граничных условий (3) и (4).
К этим условиям мы добавим, кроме того, требование симметрии всего движения относительно оси Оу. В силу этого требования мы должны принять в формуле (5) функции С и Р равными нулю. Таким образом, при высказанном дополнительном условии лгы можем представить искомую функцию ф (х, у) в виде следующего интеграла: х ф(х, у) = ~ (А СЬйу + В ЗЫсу) сов)охг)й. о (6) Составим граничные условия (3) и (4); получим ~ (Вс)гйН вЂ” АЗЬйН)йсовйхг)й — о ~, + о Н вЂ” А х +(Н вЂ” А)г1 ' (7) ( й — — А~ соя йх Ах = — ) ог оь у х (хг+ Аг) о х Н+Ь яг ) ) хг-(-(Н -+ А)г о Н вЂ” А "+(~ — ~)'1 '"*"" С» 2оь ~ оогух ух д Яг ) хо+ Аг о Интегралы, стоящие в правых частях этих уравнений, могут быть Неизвестные функции А и В могут быть найдены из этих уравне- ний с помощью формул обращения преобразования Фурье.
По- лучаем: (В с)гйН вЂ” А ЗЛйН) й = 1 13. ЗАдлчА о пульсиРующем источнике аз вычислены по формуле СОВ йе 22Х Я вЂ” 2Р вв+ Ре 2п е и мы получим ВсЬЙН вЂ” АяЪ12Н = — ~ е-2" яЬйй, ай й — — А = ~ е-2". 22 Отсюда сЬ й (Н вЂ” й) ов йвЬЙН вЂ” — сьйН Ы -ен е 222Ь ЛН + — е йн вЬ йй ей (8) ов й 211 йН вЂ” — сЬ ЛН у Подставим эти значения А и В в формулу (6); получим 2Р(х У) = о2 д сьй(н — й) сьйу+ е ывьйн+ — е йнвьйй) вьйу ай Я ов соя Йх 22Й. е й вЬ ЙН вЂ” — оЬ ЬН у (9) Эту формулу необходимо сопроводить важными разъяснениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
