Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Наложив на поверхность 1кидкостп стоячие колебании частного вида (25), мы нашли новое частное решение задачи с прогрессивными волнами, разбегающимися в обе стороны от источника. Но мы могли бы пало'кить на волны (14) и другие свободные волны частоты О, 2а, За и т. д. Иными словами, поставленная задача о волнах, возбуждаемых пульсирующим источником, не имеет единственного решения. Чтобы получить единственное решение, следует задачу поставить иначе, как задачу о неустановившемся волновом движении, которое создается в начальный момент времени в покоящейся жидкости источником, который в этот момент времени начинает свои периодические пульсации с предписанной частотой.
Предельное течение жидкости, которое будет наблюдаться по истечении большого промежутка времени, обладающее уже установившимся периодическим характером н симметрией относительно оси ординат, и следует считать истинным решением задачи о волнах, возникающих от периодически пульсирующего источника. Заметим, что таким образом поставленная задача вызывает большие трудности при своем решении. Вместе с тем есть все основания считать, что «истинное решение» задачи должно даваться формулой (26), полученной из достаточно простых соображений.
б 14. Обтекание круглого цилиндра Применим общий метод теории функций комплексного переменного к одной из простейших задач об обтекании твердого тела установившимся потоком тяжелой жидкости. Допустим, что на круглый цилиндр радиуса а, центр которого находится на глубине й под поверхностью тяжелой жид- $ Ы. ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА И'(г) = — сг+ ю(г) = — с(г+ Ь1) — . + — 1п(э+Ь1)+..., (1) причем ненаписанные слагаемые голоморфны во всей области течения жидкости. Положим ю (г) = <р (х, у) + Гф (х, у). На свободной поверхности, а точнее при у — О, функция ф (х, у) должна удовлетворять условию (см.
1 9) Придадим этому условию другой вид: 1ш(1 — „— + ю) = О, (г) рассмотрим теперь следующую функцию комплексного перемен- ного; йихгГ д 1 — — -ч-ю — а с~ аг е 1 (г+ щ)г сг г+ Ы + — — ~+ + З ~ — Ь, + 4 1п (г + Ь1)1, составленную с использованием формулы (1). Построенная функ- ция голоморфна во всей области, занятой потоком, а именно для 1ш г( О. кости бесконечной глубины, набегает поток жидкости со скоростью с. Требуется определить форму волновой поверхности жидкости и силы давления потока на цилиндр. Отметим сразу же, что задача приводит к весьма значительным трудностям при своем решении.
Эти трудности возникают из условия обтекания поверхности цилиндра. Поэтому при начальном рассмотрении задачи довольствуются приближенным соблюдением условия обтекания, считая, что действие цилиндра на поток жидкости, имеющей открытую поверхность, равноценно действию диполя и точечного вихря (если на цилиндр наложена циркуляция), заменяющих цилиндр при его обтекании неограниченным потоком. Таким образом, считается, что характеристическая функция течения около точки г ==- — Ь~ имеет следующий вид: 72 Гл.
е плоскАН 3АдАчА О БескОнечнО мАлых волнАх Установив это, возьмем такую функцию комплексного переменного: Р(г) = 1 — — — 2с — а с ~ 2 1 — ~(2» Ы)2 (.— й1)2 се е+Ы + + з Г 1 1 Г1 2+й11 + 1+ Г + + — )и —.. (4) се г — йс ~ 2я (2+йс 2 — й1 се 2 — й1) ' В силу условия (2) и присоединения надлежащим образом выбранных функций, функция Р (г) принимает на действительной осн действительные значения и может быть продолжена аналитически в верхнюю полуплоскость. Так как функция (3) голоморфна в нижней полуплоскости, а новые функции, добавленные для составления функции Х (г), также голоморфны в нижней полуплоскости, то отсюда вытекает, что функция Р (2) будет голоморфной на всей плоскости комплексного переменного з.
Так как функция е(юЯЗ, изображающая комплексную скорость дополнительных движений, вызванных присутствием диполя и вихря под свободной поверхностью, является ограниченной во всей нижней полуплоскости вне окрестности точки г = — йе, то отсюда можно вывести, как и в з 12, что функция Р (г) сводится к постоянной действительной величине С, которую можно считать равной нулю. Приравнивая правую часть формулы (4) этой константе, получаем линейное уравнение для определения неизвестной функции ш (г). Интегрируя это уравнение, имеем 1л с ! З Ь вЂ” 1Л Постоянная интегрирования Х вЂ” Лес" должна быть определена из дополнительных условий.
Ординаты поверхности жидкости определяются по формуле (1) з 9 в следующем виде: Выполняя подсчет по формуле (5), получаем т) = — — З1п~ — — а~+ 2аей + с ~ се / хе ( й2 х —, Н-х) 1 ( х 2а~р) ~ е 1 (б) Чтобы определить неизвестные константы В и сс, предположим, 73 $ !4. ОвтекАние кгуглого цилиндРА что поток вдалеке перед цилиндром имеет гладкую горизонтальную поверхность.
На основании этого дополнительного условия, относящегося к х = — оо, находим, что Л = О. Таким образом, получаем 2ассйс х1 с + Ьс Е1 Е1 1 + л( —" — 2'е)е " ~ — 'И~ (7) х 2 ВЛ ) 1 2 с л с 1сов с (' ) 3!а 1 (с ) =ха+Аз с(х с) ~ ~2+ Лз — С (8) Найдем с помощью формулы (6) вид поверхности жидкости далеко за преграждающим цилиндром, т. е. для х = со. Для больших положительных х интеграл в формуле (6) имеет следующее значение: 11 Л 11 сс Еà — — ' — — х =2лсе "е" (, — Лс Отсюда вытекает, что далеко за обтекаемым цилиндром уравнение поверхности жидкости имеет вид 2 / 2лаадЛ вЂ” — ', . ех 2аса т) = — (х — — ) е '* з1п — + с с ) са х'+Ь' (9) Из формулы (8) видно вместе с тем, что далеко перед цилиндром уравнение поверхности будет 2ааЛ ха+ Лз Таким образом, присутствие в потоке жидкости препятствия соз- дает на поверхности симметричное возвышение, сопровонсдаемое за препятствием последовательностью установившихся волн длины 2 = — сл, 2х е Из формулы (9) видно, что в том случае, если циркуляция х потока вокруг цилиндра имеет специально выбранное значение 2хаае х= —, с за цилиндром не будет развиваться волновой хвост.
Определим теперь воздействие потока на цилиндр. Обозначим через Х и У компоненты по осям координат главяого вектора сил 74 гд. 1. плоскля злдлчл о ввсконвчно мллых волнлх давления потока на цилиндр. Для определения этих величин имеем общую формулу С. А. Чаплыгина: Х вЂ” 11' = — р1 ~~ — ! с)г, 2 )лас) с (10) Из формулы (7) имеем х1 1 + — —. + 2х с+ Л1 2ааг1 - — е ( ес ~Ц с / ) 4 — Лс 1 х1 1 .7 н 2агдд 1 — — — + 1 — — — — — с. 2яс — И1 ~я с )с — М где С— се' контур цилиндра а1с1 агс с+ 111 (е + л1р г (х (х — ш]а Чтобы привести эту формулу к окончательному виду, выразим входящий в нее интеграл через интегральную показательную функцию.
Путь интегрирования, начинающийся в точке ~ = — оо и кончающийся в точке ~ = — Ь1, можно преобразовать в путь Л, идущийиз точки ь = сс1 в точку ь = — Ь1 внизпо мнимойоси с обходом точки ~ = Ь1 небольшой полуокружностью, расположенной левее мнимой оси: а1 а1 — ы с* 4 — Ь1 ~ 4 — Ш' Используя понятие о главном значении интеграла по Коши, мы можем этот последний интеграл преобразовать к такому виду: аз — л я1е '*+*~ полагая вдесь $ = — Ь (2т — 1), получаем окончательно: Г1 аел — Н гл ал г ,с* 4 — и Применяя к вычислению интеграла (10) теорему о вычетах, получаем аг / 4аЮ, хар Х вЂ” Л = рсх1 — рсн1 — ~1 + — ) + 1 — + 2лг ~ сэ ) 4яь 7 ы.
овтвкйник кггглого цилиндра 75 Теперь формула (11) дает значения Х и У в следующем виде: сей (12) са с аа /, 4дИ реса ларса / 2ей са й У = — рсн + — (1+ — ~ рси — — — — ~1+ — + — 1+ 2йе (, са ~ 4яй йа ~ са 2ей,) аай аай „ е с' + 4 (к — ™~х е '* ~ — Нт. (13) Полагая в этой формуле 7с = О, находим силы воадействия бесциркуляционного волнового потока на цилиндр; полагая же а =- О, получаем силы воздействия потока на изолированный вихрь. Отметим для этих случаев отдельно выражения горизонтальной составляющей главного вектора давлений: ай (14) аей кае се КР са (15) первая формула относится к бесциркуляционному обтеканию цилиндра; вторая — к неподвижному вихрю.
Если в первом случае рассматривать глубину погружения и радиус цилиндра как величины неизменные, а скорость движения менять, то величина Х при изменении с от нуля до 1/дй будет монотонно возрастать от 4ла / аа ~а нуля до значения — ря ( — ~; при дальнейшем увеличении с еа (,й~' до бесконечности Х будет монотонно убывать до нуля. Величина Х для вихря обладает таким же характером изменения в зависимости от скорости потока. При неизменных к и Ь составляющая Х монотонно возрастает при увеличении с от нуля до 1/ ай и принимает максимальное значение, равное рва/2ей; при дальнейшем увеличении скорости величина Х монотонно стремится к нулю.
Решение задачи о бесциркуляционном обтекании круглого цилиндра с точным соблюдением условия его обтекания было предложено Хэвелоком [1241. В основу этого решения положена формула, определяющая значения аналитической функции к/ (г), заданной в области, ограниченной осью абсцисс и окружностью, лежащей в нижней полу- плоскости, по значениям этой функции на оси абсцисс и на окружности. Такая формула представляет рассматриваемую функцию в виде двух слагаемых: первое слагаемое есть ряд, расположенный по целым отрицательным степеням разности г — Ы, второе слагаемое представляет собой определенный интеграл, взятый по дей- 76 ГЛ.
Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ ствительной оси и содержащий преобразование Фурье значений аналитической функции на действительной оси. Это второе слагаемое записывается так: р' ()о) е-оы еуо о где О л()о) = 1 ~ ю(а)емз ц. Таким образом, ю(г) = ~ Условие обтекания цилиндра и граничное условие (2) приводят к бесконечной системе линейных уравнений для определения бесконечного числа неизвестных А „. Эта система может быть решена с помощью детерминантов бесконечного порядка. Хэвелок определил неиавестные коэффициенты А в виде степенных рядов, расположенных по параметру аА/е . Применяя 4у Ета о77 а Р Рве.
1. формулу Чаплыгина, Хэвелок нашел компоненты Х, У главного вектора сил давления потока на цилиндр с точностью до восьмой степени указанного параметра. Полученные общие формулы для Х и У он применил к подсчету волнового сопротивления и подъемной силы для двух значений отношения ай, равных 1/4 и 1!2, при значениях параметра ай!со, меняющихся в пределах от 1 до 8. Результаты вычислений даны на рис. 1, построенном для а/Ь = 1/2. По оси ординат отложена величина силы в долях веса воды в объеме цилиндра.
Кривые Л, = — Х, и У, построены по 5 !5. ДВИЖЕНИЕ 11ИЛИНДРА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 77 формулам первого приближения, не учитывагощим условия обтекания цилиндра, а именно при его замене диполем. Кривые Н = — Х и У построены с использованием найденных общих формул. Из этих формул следует, что учет условий обтекания приводит к повышению волнового сопротивления для малых скоростей и к значительному его снижению для больших скоростей; это иаменение в величине вычисляемого волнового сопротивления оценивается по отношению к волновому сопротивлению диполя. $ 15. Движение кругмого цилиндра под поверхностью жидкости конечной глубины — ф =- О.
ду Вдоль свободной поверхности, у = О, функция ф (х, у) должна удовлетворять условию дгф „дф — + — ", — =О. дхг сг да Вблизи центра погруженного цилиндра, т. е. около точки х =- О, у = — — Ь, функция ф должна иметь, на основании высказанных выше допущений, следующий вид; агсх '+ в+а)'+''' Введем две гармонические функции агах ха+ (у+ а)г агсх фг = хг ( (Р 5)г и представим функцию ф в следующем виде: ф (х, у) = фг (х, у) + гр, (х, у) + Ф (х, у), (3) где Ф (х, у) — гармоническая функция, правильная в нижней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
